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1、第17讲,导数与函数的极值、最值,1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.,1.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0),是极大值；,f(x)0,f(x)0,如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值.,(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；,求方程f(x)0的根；,极
2、大值,检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.,2.函数的最值,(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：,如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断,的曲线，那么它必有最大值和最小值.,(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小,值，f(b)为函数的最大值；,若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，,f(b)为函数的最小值.,(3)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：,求函数yf(x)在(a，
3、b)内的_；,极值,将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一,个是最大值，最小的一个是最小值.,端点值,3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)并确定定义域；(2)求导数f(x)，解方程f(x)0；(3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案.,1.(2016年四川)已知a是函数f(x)x312x的极小值点，,),则a(A.4C.4,B.2D.2,在(t，t1)上存在极值点，则实数t的取值范围为_.,D,(0,1
4、)(2,3),D,4.(2015年陕西)函数yxex在其极值点处的切线方程为,_.,考点1,函数的极值,答案：(1)a1,(2)5(3)(，1)(1,0),【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数f(x)的定义域；,求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；,确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判,定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.,(2)可导函数极值存在的条件：,可导函数的极值点x0一定满
5、足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点；,可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0),0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.,【互动探究】1.设函数f(x)x33axb(a0).(1)若曲线yf(x)在点(2，f(x)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.解：(1)f(x)3x23a(a0).曲线yf(x)在点(2，f(x)处与直线y8相切，,f(2)0，f(2)8,3(4a)0，86ab8,a4，b24.,考点2,函数的最值,例2：(2018年新课标)已知函数f(x)2sinx
6、sin2x，则f(x)的最小值是_.解析：由题意，可得T2是f(x)2sinxsin2x的一个周期，故只需考虑f(x)2sinxsin2x在0,2)上的值域.先来求该函数在0,2)上的极值点，求导数，可得f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cosx1)(cosx1).,【规律方法】,求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；,(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；,(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大,值，最小的为最小值.,【互动探究】,2.(2018年江苏)若函数f(x)2x3a
7、x21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_.,答案：3,考点3,利用导数解决生活中的优化问题,例3：(2016年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图2-17-1)，并要求正四棱柱的,图2-17-1,高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？,【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f(x)0和f(x)0；若2axa，则g(x)0.当xa时，有极小值.,g(x)在(0,2)上有极小值，0a0；若ax2a，,则g(x)0.,当x2a时，g(x)有极小值.g(x)在(0,2)上有极小值，02a2，得1a0.,由，得存在整数a1，使得函数f(x)在区间(0,2)上,存在极小值.,【互动探究】,