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1、第5讲函数的单调性与最值,1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.,1.函数的单调性,(续表),f(x0)M,2.函数的最大(小)值,1.函数yx26x的单调递减区间是(,),D,A.(，2C.3，),B.2，)D.(，3,2.(2018年北京)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立，则f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_.,ysinx(答案不唯一),3.(2016年北京)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的,是(,),D,A.y,11x,B.ycosx,C.
2、yln(x1),D.y2x,4.(2016年北京)函数f(x),xx1,(x2)的最大值为_.,2,考点1,函数单调性的判断,考向1,利用定义(或性质)判断函数的单调性,例1：(1)(2017年新课标)函数f(x)ln(x22x8)的单调,递增区间是(,),A.(，2)B.(，1)C.(1，)D.(4，),解析：x22x80，x4，f(x)ln(x22x8)的定义域为(，2)(4，).又yx22x8(x1)29，当x1时单调递增，所以函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，).故选D.,答案：D,(2)(2017年广东深圳第二次调研)下列四个函数中，在定义,域上不是单调函数的是(,
3、),答案：C,考向2,利用导数判断函数的单调性,例2：(1)(2017年广东广州模拟)已知函数f(x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数.则函数f(x)的单调递增区间为_.,的单调递增,(2)(2017年西藏日喀则一中统测)函数f(x),lnxx,区间是_.,答案：(0，e),考点2函数单调性的应用,考向1,比较大小,答案：B,考向2,解不等式,例4：(2017年新课标)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值,范围是(,),A.2,2,B.1,1,C.0,4,D.1,3,解析：因为函数f(x)为奇函数，f(1)1，f(1)1，1f(x2)
4、1f(1)f(x2)f(1)，函数f(x)在(，)单调递减，有1x21，解得1x3.故选D.答案：D,考向3,求参数的范围,答案：C,的最小值为2，则实数a的取值范围是_.,解析：当x1时，f(x)2；当x1时，f(x)a1.由题意,知a12，a3.,答案：3，),3x2,(2)y2,(3)y2,考点3,函数的最值与值域,例6：求下列函数的值域：,(1)y,x2,；,x2xxx1,；,x1xx2,(x1)；,(4)y|x1|x2|.,3x2(3x6)8,3,解：(1)方法一，y,x2x2,8x2,，,8x2,0，y3.,函数y,3x2x2,的值域是y|yR，且y3.,方法二，由y,3x2x2,
5、2(y1)，得xy3,.y3.,解得y1.又y1，故该函数的值域为,方法二，x2x10，对函数去分母，整理，得(y1)x2(y1)xy0.易知y1，故上式可看作是关于x的二次方程.xR，方程有实根，(y1)24y(y1)0.,13,.,(4)方法一：绝对值不等式法：,由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以函数值域为3，).,2x1(x2).,画出此分段函数的图象如图2-5-1，可知值域为3，).,图2-5-1,【规律方法】常用的求值域的方法有：代入法：适用于定义域为有限集的函数；分离系数法：若函数yf(x)的解析式中含有|x|，x2，sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些
6、元素的有界性解出y的范围；配方法：适用于二次函数类的函数；,反函数法：适用于形如y,axbcxd,类的函数；,mxnxp,判别式法：适用于形如y,ax2bxc2,类的函数；,换元法：主要处理一些根式类的函数；不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值；最值法：通过求导数进而求出最值；求三角函数的值域主要有三条途径：将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinxf(y)，再由|sinx|1得到一个关于y的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围.,【互动探究】,难点突破正确理解函数在区间A上单调与f(x)的单调区间为A的区别例题：(1)若f(x)x36ax的单调递减区间是(2,2
7、)，则a,),的取值范围是(A.(，0C.2,B.2,2D.2，),答案：C,(2)若f(x)x36ax在区间(2,2)内单调递减，则a的取值,范围是(,),A.(，0C.2,B.2,2D.2，),答案：D,【规律方法】(1)在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域.函数的单调性是对某一个区间而言的.f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在AB上不一定单调.,(2)注意f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A的区别.本题(1)中f(x)的单调递减区间是(2,2)是指方程f(x)3x26a0的两根为2；(2)题f(x)在(2,2)上单调递减是指f(x)3x26a0在(2,2)上恒成立.,【互动探究】2.已知函数f(x)x3ax22x3在区间(1,2)单调递减，则,a的取值范围是_.,