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1、函数与导数 03 函数 函数的值域与最值 一、具体目标：理解函数的最大值、最小值及其几何意义 二、知识概述：1.函数的最大值与最小值 一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f(x0)M_，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)对于任意的xI，都有_f(x)M_；存在x0I，使得_f(x0)M_，那么我们称M是函数yf(x)的最小值 2.求函数最值及值域的常用方法：1）单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2）图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点
2、或最低点确定函数的最值.3）分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4）导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.利用导数研究函数极值、最值的方法：(1)若求极值，则先求方程f(x)0 的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值 5）线性规划法求目标函数的最值及值域 记牢三种常见的目标函数
3、及其求法【考点讲解】(1)截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yabxzb，通过求直线的 截距zb的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z|PM|2.(3)斜率型：形如zybxa，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM.6）基本不等式法求函数的最值及值域，掌握基本不等式求最值的 3 种解题技巧：(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直
4、接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为 0,0AymBg xABg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：22,2a bababR，当且仅当ab时取等号；,a bR，2abab，当且仅当ab时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的
5、妙用”1.【2019 优选题】函数f(x)ln1|x|1的值域是_【解析】因为|x|0，所以|x|11.所以 01|x|11.所以 ln1|x|10，即f(x)ln1|x|1的值域为(，0【答案】(，0 2.【2019 优选题】设函数33,()2,xx xaf xx xa.若0a，则()f x的最大值为_；若()f x无最大值，则实数a的取值范围是_.【解 析】如 图 可 作 出 函 数 33g xxx与 直 线2yx 的 图 象，两 图 象 的 交 点 分 别 为1,2,0,0,1,2AOB，可知在=1x 时，函数 g x有极大值.当0a 时，33,0()2,0 xx xf xx x因此()
6、f x的最大值是 12f.由图象知当1a 时，()f x的最大值是 12f，只有当1a 时，332aaa，因此函数()f x无最大值，所以所求a的取值范围是(,1)【真题分析】【答案】2，(,1).3.【2018 年高考江苏】若函数 3221f xxaxaR在0，内有且只有一个零点，则()f x在上的最大值与最小值的和为_【解析】由 2620fxxax得0 x 或3ax，因为函数 f x在0,上有且仅有一个零点且 0=1f，所以0,033aaf，因此32210,33aaa 解得3a.从而函数 f x在1,0上单调递增，在 0,1上单调递减，所以 max0,f xf minmin1,11f xf
7、ff，maxminf xf x 0+11 43.ff 【答案】3 4.【2017 年高考天津】若,a bR，0ab，则4441abab的最小值为_【解析】442241411142 44aba babababababab，（前一个等号成立的条件是222ab，后一个等号成立的条件是12ab，两个等号可以同时成立，当且仅当2222,24ab时取等号）【答案】4 5.【2019 年高考天津卷理数】设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_【解析】方法一：(1)(21)2212662xyxyyxxyxyxyxyxyxy.因为0,0,25xyxy，所以2522xyxy，即5252,028
8、xyxy，当且仅当522xy时取等号成立.又因为6622 24 3xyxyxyxy，当且仅当62 xyxy，即=3xy时取等号，结合258xy 可知，xy可以取到 3，故(1)(21)xyxy的最小值为4 3.方法二：0,0,25,xyxy 0,xy(1)(21)22126622 12=4 3xyxyyxxyxyxyxyxyxy.当且仅当3xy 时等号成立，故(1)(21)xyxy的最小值为4 3.【答案】4 3 6.【2018 年高考天津卷理数】已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为 .【解析】由360ab可知3=6ab，且312=228aabb，因为对于任意,20 xx，恒成
9、立，结合基本不等式的结论可得：336122222=22=4abab.当且仅当32236abab，即31ab 时等号成立.综上可得128ab的最小值为14.【答案】14 7.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值 C有最小值1，无最大值 D有最大值1，无最小值【解析】结合题意可以作出函数g(x)1x2和函数|f(x)|2x1|的图象如图所示，得到函数h(x)的图象如图所示，由图象得函数h(x)有最小值1，无最大值 【答案】C 8.【201
10、9 年高考全国卷理数】设函数()f x的定义域为 R，满足(1)2()f xf x，且当(0,1x时，()(1)f xx x若对任意(,xm，都有8()9f x ，则m的取值范围是（）A9,4 B7,3 C5,2 D8,3【解析】(1)2()f xf x，()2(1)f xf x(0,1x时，1()(1),04f xx x；(1,2x时，1(0,1x，1()2(1)2(1)(2),02f xf xxx；(2,3x时，1(1,2x，()2(1)4(2)(3)1,0f xf xxx，如图：当(2,3x时，由84(2)(3)9xx 解得173x，283x，若对任意(,xm，都有8()9f x ，则7
11、3m.则m的取值范围是7,3.故选 B.【答案】B 9.【2019 年高考北京】设函数 eexxf xa（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是 R 上的增函数，则a的取值范围是_【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用()0fx可得a的取值范围.若函数 eexxf xa为奇函数，则,fxf x 即eeeexxxxaa，即1e e0 xxa对任意的x恒成立，则10a，得1a .若函数 eexxf xa是 R 上的增函数，则()ee0 xxfxa在 R 上恒成立，即2exa 在 R 上恒成立，又2e0 x，则0a，即实数a的取值范围是,0.【答案】1;
12、,0 10.【2019 年高考浙江】已知aR，函数3()f xaxx，若存在tR，使得2|(2)()|3f tf t，则实数a的最大值是_.【解析】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a ttatt23，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.存在tR，使得2|(2)()|3f tf t，即有332|(2)(2)|3a ttatt，化为22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)11ttt，可得403a.则实数a的最大值是43.【答案】43 11.【2019 年高考北京】李明自主创业
13、，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_ 【解析】10 x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60 8010130元.设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，当120y 元时，李明得到的金额为80%y，符合要求；当1
14、20y 元时，有80%70%yxy恒成立，即87,8yyxy x，因为min158y，所以x的最大值为15.综上，130；15.【答案】130；15 12.【2018全国卷】若()cossinf xxx在,a a是减函数，则a的最大值是（）A4 B2 C34 D【解析】本题考点三角函数单调性，集合间的包含关系，确定待定参数.由题意可知：4cos2sincosxxxxf 所以由Zkkxk2420得Zkkxk24324.由题意可知，给定区间,43,4,aa所以有43,4,aaaa，也就是40 a，从而a的最大值为4，选 A.【答案】A 13.【2015 四川理 9】如果函数 212810,02f
15、xmxnxmn在区间1,22上单调递减，那么mn的最大值为（）A.16 B.18 C.25 D.812【解析】当2m 时，抛物线的对称轴为82nxm；当2m 时，822nm，即212mn.因为2262mnmn，所以18mn.由2mn且212mn，得3,6mn；当2m时，抛物线开口向下，根据题意可得，8122nm，即218mn.因为2292mnmn，所以812mn.由2nm且218mn，得92m，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有2182,8mnmn.所以182182 8816mnn n .所以最大值为18.故选 B.【答案】B 14.(2017北京高考节选)已知函数f(x)excos xx，
16、求函数f(x)在区间0，2上的最大值和最小值 【解析】f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)ex(cos xsin x)1，则g(x)2sin xex0 在0，2上恒成立，且仅在x0 处等号成立，g(x)在0，2上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)0，且仅在x0 处等号成立，f(x)在0，2上单调递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf22.15.【2016 上海理 22】已知aR，函数 21logf xax.（1）当5a 时，解不等式 0f x；（2）若关于x的方程 2log4250f xaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函
17、数 f x在区间,1t t 上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.【解析】（1）由题意221log50log 1x，即151x，整理得410 xx，即410 xx，故不等式的解为104x xx 或；（2）依题意221loglog425aaxax，所以14250aaxax，整理得24(5)10axax，即 1410 xax，当4a 时，方程的解为1x ，代入式，成立；当3a 时，方程的解为1x ，代入式，成立；当3a 且4a 时，方程的解为1x 或14a，若1x 为方程的解，则110aax，即1a，若14xa为方程的解，则1240aax，即2a.要使得方程有且仅有一个解，则12aa或1
18、2aa，即12a.综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为12a或3a 或4a.（3）法一：当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以 fx在0,上单调递减.因此 fx在,1t t 上单调递减.故只需满足 11fxf t，即2211loglog11aatt，所以1121aatt，即12111tattt t，设1tr，则10,2r，2111232trrt trrrr.当0r 时，2032rrr；当102r时，212323rrrrr，又函数2yxx在0,2递减，所以219422rr.故112293332rr.故a的取值范围为23a.法二：本题还可从二次
19、函数的角度考查，由1121aatt整理得2110atat对任意1,12t成立.因为0a，函数211yatat的对称轴0102ata，故函数在区间1,12上单调递增.所以当12t 时，y有最小值3142a，由31042a，得23a.故a的取值范围为2,3.1.若x，y满足|1|xy，且y 1，则 3x+y的最大值为（）A 7 B1 C5 D7【解析】由题意1,11yyxy 作出可行域如图阴影部分所示.设3,3zxy yzx,当直线0:3lyzx经过点2,1时,z取最大值 5.故选 C【答案】C【模拟考场】2.已知函数23,1,()2,1.xxxf xxxx设aR，若关于x的不等式()|2xf x
20、a在 R 上恒成立，则a的取值范围是（）A47,216 B47 39,16 16 C 2 3,2 D39 2 3,16【解析】不等式()|2xf xa可化为()()2xf xaf x(*)，当1x时，(*)式即22332xxxaxx，即2233322xxaxx，又22147473()241616xxx （当14x 时取等号），223339393()241616xxx（当34x 时取等号），所以47391616a，当1x 时，(*)式为222xxaxxx，32222xxaxx 又3232()2 322xxxx （当2 33x 时取等号），222222xxxx（当2x 时取等号），所以2 32a综
21、上，47216a故选 A【答案】A 3.设函数f(x)2|xa|，x1，x1，x1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为()A1,2)B1,0 C1,2 D1，)【解析】法一：f(1)是f(x)的最小值，y2|xa|在(，1上单调递减，a1，2|1a|2，即 a1，|1a|1，a1，0a2，1a2，故选 C.法二：当a0 时，函数f(x)的最小值是f(0)，不符合题意，排除选项 A、B；当a3 时，函数f(x)无最小值，排除选项 D，故选 C.【答案】C 4函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，若xf(x)f(x)ex，且f(1)e，则()Af(x)的最小值为 e Bf(x)的
22、最大值为 e Cf(x)的最小值为1e Df(x)的最大值为1e【解析】设g(x)xf(x)ex，所以g(x)f(x)xf(x)ex0，所以g(x)xf(x)ex为常数函数 因为g(1)1f(1)e0，所以g(x)xf(x)exg(1)0，所以f(x)exx，f(x)exx1x2，当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0，所以f(x)f(1)e.【答案】A 5.【2017浙江高考】若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关 【解析】法一：设x1，x2分别是函数f(x
23、)在0,1上的最小值点与最大值点，则mx21ax1b，Mx22ax2b.Mmx22x21a(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选 B 法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间0,1的最大值M和最小值m变化，则Mm的值在变化，故与a有关故选 B【答案】B 6.【2018 年高考江苏卷】在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且
24、1BD，则4ac的最小值为_【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【答案】9 7.已知偶函数yf(x)(xR)在区间1,0上单调递增，且满足f(1x)f(1x)0，给出下列判断：f(5)0；f(x)在1,2上是减函数；函数f(x)没有最小值；函数f(x)在x0 处取得最大值；f(x)的图象关于直线x1 对称其中正确的序号是_【解析】因为f(1x)f(1x)0，所以f(1x)f(1x)f(x1)，所以f(2x)f(x)，所以f(x4)f(x)，即函数f(x)是周期为 4 的周期函数由题意知，函数yf(x)(xR)关于点(1,0)对称，
25、画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知正确 【答案】8.某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则1a4b的最小值为_【解析】由甲班学生成绩的中位数是 81，可知 81 为甲班 7 名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第 4 个数，故x1.由乙班学生成绩的平均数为 86，可得(10)(6)(4)(y6)57100，解得y4.由x，G，y成等比数列，可得G2xy4
26、，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G2，ab2G4，所以1a4b141a4b(ab)141ba4ab4 14(54)94(当且仅当b2a时取等号)故1a4b的最小值为94.【答案】94 9.已知函数f(x)3x1，x0，x12，x0在区间1，m上的最大值是 2，则m的取值范围是_【解析】f(x)3x1，x0，x12，x0作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在1，m上的最大值为2，又f(1)f(4)2，所以10，则函数yx22x132的最小值为_【解析】yx22x132x121x122220.当且仅当x121x12，即x12时等号成立【答案】0 12函数f(x)1x，x1，x2
27、2，x1的最大值为_.【解析】当x1 时，函数f(x)1x为减函数，所以f(x)在x1 处取得最大值f(1)1；当x0)上的最大值为M，最小值为m，则Mm_ _.【解析】f(x)ln(x 1x2)3ex1ex1ln(x 1x2)32ex1，函数f(x)在 R 上为单调递增，Mf(k)ln(k 1k2)32ek1，mf(k)ln(k 1k2)32ek1，Mmf(k)f(k)4261111261lnkkee【答案】4 14.设函数f(x)ln x2mx2n(m，nR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值ln 2，求mn的最小值【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1
28、x4mx14mx2x，当m0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当m0 时，令f(x)0，得 0 xm2m，令f(x)m2m，f(x)在0，m2m上单调递增，在m2m，上单调递减(2)由(1)知，当m0 时，f(x)在(0，)上单调递增，无最大值 当m0 时，f(x)在0，m2m上单调递增，在m2m，上单调递减 f(x)maxfm2mlnm2m2m14mnln 212ln m12nln 2，n12ln m12，mnm12ln m12.令h(x)x12ln x12(x0)，则h(x)112x2x12x，由h(x)0，得 0 x0，得x12，h(x)在0，12上单调递减，在12，上单调递增，h(x)minh1212ln 2，mn的最小值为12ln 2.