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1、2023年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷 理工农医类一、填空题1 .计算：li m+20=_I-3+1 3【测量目标】数列极限的运算.【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法那么算出极限.【难易程度】容易【参考答案】-31+2 0【试题解析】根据极限运算法那么，li m3上型 =li m a=1.n o o 3+1 3 勺,1 3 32 .设m eR,加2+/2 +（，”2 ）i是纯虚数，其中i是虚数单位，那么加=【测量目标】复数的根本概念.【考查方式】给出复数，由纯虚数的根本概念算出m的值.【难易程度】容易【参考答案】m =-2【试题解析】卜 :T =n m =-2.加2
2、_ 彳02?X V X X3.假 设 ,=，那么x+y =_ _ _ _ _ _.-1 1 y -y【测量目标】行列式的初步运算.【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法那么计算出x+y的大小.【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】f+y 2=2盯 二%+丁 二。.4.A B C的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,假设3/+2出?+3/一3 c?=0 ,那么角C的大小是.（结果用反三角函数值表示）【测量目标】余弦定理，反三角函数.【考查方式】利用余弦定理解出角C,再用反三角函数值表示.【难易程度】中等【参考答案】C =TT-a rc c os，39【试题解析3 2+2ab+3b2-3
3、c2=0 c2=a2+b2+-ab,3故 cosC=,C=TI-arccos.3 35.设常数a e R,假设（小+0）的二项展开式中/项的系数为一，那么。=【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值.【难易程度】容易【参考答案】一2【试题解析】7；句=（2；（/）5-，（与，,2（5 ）一=7=1,故 ；4=-10=。=一2.x3 16.方程-+-=3T的实数解为_ _ _ _ _ _.3V-1 3【测量目标】指数方程.【考查方式】给出了指数方程，化简求值.【难易程度】容易【参考答案】x=log34【试题解析】原方程整理后变为32 t-23
4、、-8=0=3=4 n x =log34.7.在极坐标系中，曲线P=cos6+l与pcos6=l的公共点到极点的距离为【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离.【难易程度】容易【参考答案】上 述2【试题解析】联立方程组得。（P一l）=】n/?=与后（步 骤1）,又夕0,故 所 求 为 一 .（步骤2）8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，那么这两个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是 （结果用最简分数表示）.【测量目标】古典概型，随机事件的的概率【考查方式】所求事件为一个随机事
5、件，利用随机事件概率的求法求出答案【难易程度】容易13【参考答案】18C2 13【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1-二=巴.C：189.设A B是椭圆厂的长轴，点C在 厂 上，且NC 8 4 =，假设A 8=4,B C =6,那么厂4的 两 个 焦 点 之 间 的 距 离 为.【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.【难易程度】容易【参考答案】2c 二 蛔32 2【试题解析】不妨设椭圆，的 标 准 方 程 为 上+与=1,于是可算得C(l,l)(步 骤1),得4 b=孚 步骤2)1 0.设非零常d是等差数列%,尤
6、2，刍，西9的公差，随机变量J等可能地取值天,刍，m 9 ,那么方差【测量目标】随机变量的期望和方差.【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.【难易程度】中等【参考答案】而|d|【试题解析】4 _ 1s9 M H-1-9-x-1-8d JE J =%*9 =-2=x +9 d =xl(1(步骤 11 9 1 9 1 1 0D=-(92+82+12+02+12+9 2)=30/.(步骤2)1 21 1.假设c o s xc o s y+s i n xs i n y =,s i n 2 x+s i n 2 y =,那么 s i n(x+y)=【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.【考查
7、方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.【难易程度】【参考答案】【试题解析】*2-.3./、2sin(x+y)=.21 2.设。为实常数，y =/(x)是定义在R上的奇函数，当x l 时，A =(-o o,1 a,+o o),Z?=a-l,+o o),(步骤 1)假设 A 1 8 =R,那么。一1?1,:A a 2,(步骤 2)当a =l 时，易得A=R，此时A 3 =R 成立，(步骤3)当 a V l 时，A -(-o o,a l,+o o),B =a-l,+o o),假设A B =R,那么a l?。显然成立(步骤4)/.O B m 0 C m 0,M =0 D m
8、 0,M 0,其余均有q.4”0,应选 D.三、解答题19.（此题总分值12分）如图，在长方体AB C O-Ai B i G。中，AB=24O=14p4=l,证明直线BC,平行于平面D.A C,并求直线BG到平面DXA C的距离.第 19题图【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积.【考查方式】给出长方体及假设干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公式求出答案.【难易程度】容易【试题解析】因为AB C。A S G。为长方体，A B C R,A B =C n，故A 8 G。为平行四边形，故B Ct A D（步 骤 1）,显然B不在平面R A C上，于是直线B C平行于平面A C（
9、步骤2）；直线BG到平面OA C的距离即为点8 到平面OA C的距离设为考虑三棱锥AB C。的体积，以A 8 C 为底面，可得V =gx（g x l x 2）xl =；（步骤3）而 A C 中，A C =D、C =#,A D =0 ,故 1c =g所以，V =-1x3-x/?=-1 /=-2 ,即直线BG到平面。N2C的距离为工.（步骤4）3 2 3 3 32 0.（6分+8 分）甲厂以x千克卜时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1 领Jx 1 0）,每小时可获得利润是1 0 0（5 x +l-）元.X（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 0 0 0 元，求尢的取值范围；(2)要使生
10、产9 0 0千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值.【考查方式】给出实际问题建立函数模型，求出其最值.【难易程度】容易【试题解析】(1)根据题意，2 0 0(5 x+l-)JS 3 0 0 0 n 5 x 1 4-2 0XX又1领Jx 1 0,可解得3领k 1 0 (步骤1)设利润为y元,那么 y =.1 0 0(5 x+l-)=9 x 1 04-3(-)2+x x x 6 1 2故x =6 时，y m a x=4 5 7 5 0 0 元.步骤 2)2 1.(6分+8分)函 数/(x)=2 s i n(g x),其中常
11、数0；7F 2 71(1)假设y =/(x)在-：,亍 上单调递增，求。的取值范围；7T(2)令。=2,将函数y =/(x)的图像向左平移士个单位，再向上平移1个单位，得到函数6y =g(x)的图像，区间3,例(a,eR且a b )满 足:y =g(x)在 a,b 上至少含有3 0个零点，在所有满足上述条件的3,切中，求。的最小值.【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.【考查方式】将三角函数进行变化求出。的取值范围；将三角函数进行平移和变换求出零点进而求出答案.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为。0,根据题意有7 1 兀-。-4 2no s i n(2 x +)=-=x=kn-
12、x=E+兀M e Z,IT 2 7 r即g(x)的零点相离间隔依次为m和,(步骤2)故假设y =g(x)在 a,b上至少含有3 0个零点，2 7 1 7 1 4 3 兀那么方a的最小值1 4 X巧+1 5 4=士 吧.(步骤3)3 3 32 2.(3分+5分+8分)如 图，曲线C：)2 =1,曲。2：1田=1幻+1，P是平面上一点，假设存在过点P的 直 线 与 都 有 公 共 点，那么称P为“GC 2型点”.(1)在正确证明G的左焦点是“GC 2型 点 时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y =履 与G有公共点，求证|的1，进而证明原点不是“GC
13、 2型点”；(3)求证：圆/+尸=；内的点都不是，GC 2型点”.第2 2题图【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.【考查方式】给出了“GC 2型点”的概念，证明3个命题的正确性.【难易程度】较难【试题解析】：(1)G的左焦点为尸(-6,0),过尸的直线x=-G与C i交于(-6,”)，2与C 2交于(一百，土(百+1),故C l的左焦点为“G-C 2型 点 ，且直线可以为x=步 骤1)(2)直线y =H与C 2有交点，那么 y =kxn(|%|l)|x|二l,假设方程组有解，那 么 必 须(步 骤2)3=|幻+1直线y =依 与C 2有交点，那么2 ，=(1-2公)/=2,假设方程组有解，那么必
14、须二 上%2-2/=2 2故直线y =近至多与曲线C i和C 2中的一条有交点，即原点不是“G-C 2型点”.(步骤3)(3)显然过圆V+y 2=；内一点的直线/假设与曲线C I有交点，那么斜率必存在；根据对称性，不妨设直线/斜率存在且与曲线C 2交于点(r/+l)(r 0)，那么直线/与圆/+y 2=J.内部有交点，故三g也2 7 F 7 T 2化简得，(1 +好 求)2耳左2+k-y =1l 2化简得，（1 +t 切2 2伏2 g）由 得，2（公 _3）,（1 +f 4,&2 +）=%2 （步骤 6）但此时，因为/庞0,1+1-幻2 1,1（后2+1）0,定 义 函 数/（x）=2|x+c
15、+4|x+c|,数列%,“2,。3，满足 4,+1 =/（），N”.（1）假设q=-c -2,求生及3；（2）求证：对任意 w N,a+-a”c,；（3）是否存在q,使得q,q,4，成等差数列？假设存在，求出所有这样的q，假设不存在，说明理由.【测量目标】间接证明，等差数列的综合应用.【考查方式】给出函数解析式及数列，间接证明出命题的正确，利用等差数列的综合应用证明是否存在【难易程度】较难【试题解析】（1）因为c0,q=（c+2）,故为=/（4）=2|4+c+4|%+c|=2,a3-f（a2）=2 1 利+c+4 1-|%+c|=c+1 0 （步骤 1）（2）要证明原命题，只需证明/（x）x+
16、c对任意x eR都成立，即只需证明2|x+c+4|.x+c|+x+c（步骤2）假设x+c”0,显然有2|x+c+4|.|x+c|+x+c=0成立；（步骤 3）假设 x+c 0 ,那么 2|x+c+4|.Jx+c|+x+c ox +c+4 x+c 显然成立综 上,/（幻 x+c恒成立，即对任意的“GN*,an+i-an.c（步骤4）（3）由（2）知，假设%为等差数列，那么公差dc0,故无限增大时，总有a“0此时,an+i=f（an）=2（an+c+4）-（a“+c）=an+c+8即 =。+8 （步骤5）故。2 =/（4 ）=2|q+c+4|-|q+c|=q+c+8,即2|%+c+4|=|q +c|+4 +c+8,（步骤6）当q+c 0时，等式成立，且2时，40,此时%为等差数列，满足题意；假设 +c 0,那么|%+c+4 1=4 n 4 =-。一8,此时，2=，。3=。+8,%,=（一2）（。+8）也满足题意；综上，满足题意的4的取值范围是 c,+0 0）.-。一8 .（步骤7）