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1、*- 2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的模为 ( )A. B. C. D.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】.2已知集合，则 （ ）A B C D 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】，.3已知点，则与向量同方向的单位向量为 （ ）A. B. C. D.【测量目标】向量的基本概念
2、.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】，则与其同方向的单位向量.4下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列； ：数列是递增数列；：数列是递增数列； ：数列是递增数列；其中的真命题为 （ ）A. B. C. D.【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出的等差数列，求数列的增减性.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.,是真命题， （步骤1）,但是的符号不知道，是假命题. （步骤2）同理是假命题.,是真命题. （步骤3）5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于
3、60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ）A. B. C. D.第题图 【测量目标】频率分布直方图. 【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于分的频率是，所以该班的学生人数是. 6在上，内角所对的边长分别为且则 ( )A B C D 【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得, （步骤1）又, ,.（步骤2）,. （步骤3）7使得 的展开式中含有常数项的最小的
4、为 （ ）A B C D 【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.，当是常数项时，当，时成立.8执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 （ ）A B C D 第题图 【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出输入值，求输出值.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】， ，（步骤1），输出.（步骤2）9已知点若为直角三角形，则必有 （ ）A B C D【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形的边的性质，求出之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】根据
5、直角三角形的直角的位置求解.若以为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意；（步骤1）若，则，若，根据斜率关系可知，即.以上两种情况皆有可能，故只有满足条件.（步骤2）10已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为 （ ）A B C D 【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中,且为过底面是截面圆的直径，取中点，则底面，则在侧面内，矩形的对角线长即为球直径，,即. 11已知函数，.设，表示中的较大值，表示中的较小值，记的最小值为，的最小值
6、为，则( )A. B. C. D.【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由，得 ， （步骤1）当和时，两函数值相等.图象为开口向上的抛物线，图象为开口向下的抛物线，两图象在和处相交，则 （步骤2），（步骤3）12设函数满足，则时， （ ）A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的灵活应
7、用能力.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】由题意知.（步骤1）令，则.（步骤2）由得，当时，即，则当时，（步骤3）故在上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 第题图 【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】给出三视图，求体积.【难易程度】容易【参考答案】【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为14.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则
8、 .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数列为递增数列求出数列的前项和. 【难易程度】中等【参考答案】63【试题分析】是方程的两个根，且数列是递增的等比数列，15已知椭圆的左焦点为椭圆C与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率 .【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为，直线过原点，,.（步骤1）在中，设
9、，由余弦定理得，（步骤2）解得，即.,是直角三角形，（步骤3）,即.（步骤4）又在中，即，（步骤5）.（步骤6）16为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值.【难易程度】较难【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为则由题意知五个整数的平方和为，则必为，由可得或，由可得或，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据
10、中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量（I）若求的值； （）设函数，求的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求的值，函数的最大值. 【难易程度】容易【试题解析】（） （步骤1）又，. （步骤2）（）当时，取最大值1. （步骤3）的最大值为. （步骤4）18（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（I）求证：平面平面（II）若求证：二面角的余弦值.第18题图 【测量目标】面面垂
11、直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力.【难易程度】中等【试题解析】()由是圆的直径,得,（步骤1）由平面,平面,得,又,平面,平面,平面平面平面平面.（步骤2）()解法一：如图（1），以点为坐标原点，分别以直线,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.在中,.又,.（步骤3）故,.设平面的法向量为，则不妨令，则.（步骤4）,设平面的法向量为,则（步骤5）不妨令，则.于是.由图（1）知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.（步骤6）第18题图（1） 解法二：如图（2），过
12、作于，平面,平面,.又,且平面,平面,平面.过作于,连接,由三垂线定理得为二面角的平面角.（步骤3）在中,由,得,.在中,由,得.,.（步骤4）在中,二面角的余弦值为.（步骤5）第18题图（2） 19（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式
13、】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力.【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有 “张同学所取的3道题都是甲类题”，.（步骤1） (2)所有的可能取值为,.（步骤2）；（步骤3）；（步骤4）；（步骤5）.（步骤6）的分布列为：（步骤7）.（步骤8）20（本小题满分12分）如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于），切线的斜率为.（I）求的值；（II）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程. 第题图 【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意
14、义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直线的位置关系及待定系数法求解.【难易程度】中等【试题解析】（）抛物线上任意一点（的切线斜率为，且切线的斜率为，点坐标为（，）， （步骤1） 切线的方程为. (步骤2) .点（在切线及抛物线上， （步骤3）由得. （步骤4）（）设为线段中点，. （步骤5）切线的方程为，. （步骤6）由得的交点（的坐标为 （步骤7）点（在上，即 （步骤8）由得 （步骤9）当时，重合于原点中点为，坐标满足中点的轨迹方程为 （步骤10）21（本小题满分12分）已知函数，.当时，（I）求证： ；（II）若恒成立，求实数取值范围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立
15、问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化.【难易程度】较难【试题解析】()证明：要证时，只需证明.（步骤1）记，则，（步骤2）当时，因此在上是增函数，（步骤3）故.所以（步骤4）要证时，只需证明.（步骤5）记，则，（步骤6）当时，因此在上是增函数，（步骤7）故.所以，（步骤8）综上，（步骤9）()解法一： （步骤10）设，则.（步骤11）记，则，（步骤12）当时，于是在上是减函数，（步骤13）从而当时，故在上是减函数（步骤14）于
16、是，从而.（步骤15）所以，当时，在上恒成立（步骤16）下面证明当时，在上不恒成立 ，（步骤17）记，则，（步骤18）当时，故在上是减函数，（步骤19）于是在上的值域为（步骤20）因为当时，使得，（步骤21）此时，即在上不恒成立（步骤22）综上，实数的取值范围是（步骤23）解法二：先证当时，.（步骤10）记，则.（步骤11）记，则，（步骤12）当时，于是在上是增函数，（步骤13）因此当时，从而在上是增函数（步骤14）因此，所以当时，.（步骤15）同理可证，当时，.（步骤16）综上，当时，.（步骤17）当时，.（步骤18）所以当时，在上恒成立（步骤19）下面证明当时，在上不恒成立，（步骤20）
17、(例如取和中的较小值)满足（步骤21）即在上不恒成立（步骤22）综上，实数的取值范围是（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，为半圆的直径，直线与半圆相切于，垂直于，垂直于，垂直与，连接.证明：（I）； （II） 第题图 【测量目标】几何证明选讲. 【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解.【难易程度】容易【试题解析】()直线与相切， （步骤1）为的直径，,； （
18、步骤2）又,. （步骤3）. （步骤4）（）,是公共边，,. （步骤5）类似可证,得. （步骤6）又在中，,，. （步骤7）23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为（I）求与交点的极坐标；（II）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为（为参数），求的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立与方程求交点；由参数方程的性质求解.【难易程度】容易【试题解析】()圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.解得 (步骤1)与交点的极坐标为. （步骤2）注：极坐标
19、系下点的表示不是唯一的.（）由（）可得，点与点的直角坐标分别为.直线的直角坐标方程为， (步骤3)由参数方程可得1. （步骤4）解得 （步骤5）24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数，其中.（I）当时，求不等式的解集； （II）已知关于的不等式的解集为，求的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数的值.【难易程度】中等【试题解析】（1）当时， (步骤1)当时，由得，解得； （步骤2）当2时，无解； （步骤3）当时，由得，解得. （步骤4） 的解集为或. （步骤5）（2）记则 （步骤6）由，解得. （步骤7）又的解集为， . （步骤8）