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1、*-2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类) 一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.若为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表 示复数的点是 （ ）A.E B.F C.G D.H 第1题图 【测量目标】复平面，复数代数式的四则运算. 【考查方式】通过计算复数代数式，确定位于复平面中哪一点. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】由图知z=，所以，故选D.2.设集合A=，B=,则AB的子集的个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D.1【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出A
2、，B集合，利用图象法判断它们交集中有2个元素，从而判断交集的子集个数.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由题意知AB中有两个元素，所以AB的子集的个数是4个，故选A. 第2题图 3.在ABC中，a=15，b=10, A=，则 ( )A. B. C. D.【测量目标】正弦定理，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出三角形中两边一角，由三角函数解三角形求出一角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由正弦定理得，解得，又因为，所以（步骤1）故，所以,故选C.（步骤2）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A
3、，B中至少有一件发生的概率是 （ ） A. B. C. D.【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】将事件分明A,B两个事件，由求对立事件概率的方法求出答案.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】因为事件A，B中至少有一件发生与都不发生互为对立事件，故所求概率为，选C.5.已知和点满足.若存在实数使得成立，则= （ ）A.2 B.3 C. 4 D. 5【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】由三角形内一点所构成的向量的关系，判断该点为重心，从而求出满足线性关系的m的值【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由知，点M为的重心，设点D为底边BC的中点，则=，所以有，故=3，选B
4、.6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600.采用系统抽样疗法抽取一个 容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001 到300在第I营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区.三个营区被 抽中的人数依次为 （ ） A 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9【测量目标】系统抽样.【考查方式】给出了总体，利用系统抽样抽取样本并求出在三个营区中的抽取人数.【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】由600名学生中抽取一个容量为50的样本抽取“比例”；（步骤1）因为随机抽得的号码为003
5、，得系统抽样规则为：（，）；所以：第I营区（从001到300）抽取的号码为：003，015，291，共25人；第II营区（从301到495）抽取的号码为：303，315，495，共17人；第III营区抽取的人数为：5025178人故选（步骤2）7如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则 （ ） A. B. C. D. 第7题图 【测量目标】数列的极限与运算. 【考查方式】图形的面积构成了一个数列，利用数列的极限运算求出极限.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别
6、为：r，即（步骤1）则面积依次为：所以，故C正确.（步骤2）8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 （ ） A.152 B.126 C.90 D.54【测量目标】排列，组合及其应用.【考查方式】给出了5名同学所能从事的工作，根据排列组合算出不同的分配方案.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.
7、来源:9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与双曲线有公共点求出b的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆（步骤1），当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍）（步骤2），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.（步骤3）10记实数，中的最大数为，最小数为.已知的三边长为，定义它的倾斜度为则“”是“为等边三角形”来源: A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件C.充要条件
8、D.既不充分也不必要的条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】给出三角形倾斜度的定义，判断命题的充分必要性.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】若ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则=1（步骤1）；若ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时=1仍成立但ABC不为等边三角形,所以A正确.（步骤2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在展开式中，系数为有理数的项共有 项.【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式的展开式求出系数
9、为有理数的项数.【难易程度】容易【参考答案】6【试题解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12己知，式中变量满足约束条件则的最大值为 . 第12题图 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出了约束条件，判断可行域，求出目标函数的最大值.来源:】 【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2z，来源:当直线经过A（2，1）时，z取到最大值,. 13圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同
10、）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm第13题图 【测量目标】柱，球的体积.【考查方式】给出了3个球和水的体积相加等于圆柱形容器的体积，由圆柱的体积公式以及圆的体积公式求出圆的半径. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】设球半径为r，则由，解得r=4. 14某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 p x 0.1 0.3 y已知的期望，则y的值为 【测量目标】数学期望，古典概型.【考查方式】给出了古典概型的概率和数学期望，算出未知数.【难易程度】容易【参考答案】0.4【试题解析】由表格可知（步骤1）联合解得.（步骤2）15设，称为a，b的调和平均数如图，C
11、为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作OD的垂线，垂足为E连结OD，AD，BD过点C作OD的垂线，垂足为E则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数 第15题图 【测量目标】射影定理，几何、调和平均数.【考查方式】给出几何图形以及算数平均数的几何意义，判断几何、调和平均数所表示的线段.【难易程度】中等【参考答案】CD，DE【试题解析】在RtADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数（步骤1），将OC=代入可得故，所以ED=ODOE=，故DE的长度为a,b的调和
12、平均数.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤来源:学+16（本小题满分12分）已知函数，（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出了两三角函数解析式，通过化简求出的最小正周期；求出新函数的解析式，通过化简求出函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】（I） = 的最小正周期为.（步骤1） （II）当时，取得最大值.（步骤2）取得最大值时，对应的的集合为.（步骤3）17（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙
13、需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（I）求的值及的表达式；（II）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值【测量目标】函数模型的构建，利用导数求函数的最值以及导数在实际问题中的应用.【考查方式】给出实际问题，根据所给条件构建函数模型从而求出k的值，利用导数求的总费用的最小值，主要考查了运用数学知识解决实际问题的能力.【难易程度】容易【试题解析】（I）设隔热层厚度为xcm，由题设每年
14、能源消耗费用为可由,得k=40，因此而建造费用为（步骤1）最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（步骤2）（II）令，即.解得（舍去）.（步骤3）当时当5x10时，故x=5是的最小值点，对应的最小值为.当隔热层5cm厚时，总费用达到最小值70万元.（步骤4）18. (本小题满分12分) 如图, 在四面体ABOC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1.（I） 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQOA,并计算的值；（II）求二面角的平面角的余弦值. 第18题图 【测量目标】立体几何的探索性问题，三垂线定理，二面角.【考查方式】给出了四面体及若干边角
15、条件，由P为AC的中点探索是否有满足条件的定点,根据线面之间的关系以及三垂线定理，求出二面角的余弦值.【难易程度】中等【试题解析】（I）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC，又OAOC，故OA平面ONC OANC（步骤1）取AN的中点QPQNCPQOA（步骤2）在等腰三角形AOB中，AOB，OABOBA在RtAON中，OBAON在ONB中，ONBNBONBONAQ3（步骤3）（II）由ACNPOPN是二面角OACB的平面角在RtPON中，ON，PN（步骤4） 第18题图 19. (本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.（I
16、）求曲线C的方程；（II）是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】抛物线的定义、标准方程，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】由题中已知条件得到抛物线的第二定义，从而求出曲线的方程;给出条件探索不等式是否成立，利用直线与曲线方程联立求解问题.【难易程度】中等【试题解析】（I）设点是曲线C上任意一点，那么点P满足：化简得（步骤1） （II）设过点M（的直线与曲线C的交点为A，设的方程为，由得，于是（步骤2）又， （步骤3）又于是不等式等价于（步骤4）把式代入不等式有（步骤5）对任意实数t，4
17、的最小值是0，所以不等式对于一切t成立等价于，即由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有,且m 的取值范围是（步骤6）第19题组 20. (本小题满分13分)已知数列满足: , 0；数列满足: =（n1）.（I）求数列，的通项公式;（II）证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.【测量目标】已知数列关系求通项，反证法.【考查方式】给出了两个数列之间的关系，利用递推关系求出数列的通项公式，利用反证法证明命题的正确性.【难易程度】较难【试题解析】（I）由（步骤1），1，又0，0 11 （步骤2）（II）用反证法证明.假设数列bn存在三项（rsbsbt，则
18、只可能有2bs=br+ bt成立.，（步骤3）两边同乘，化简得.由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.（步骤4）21. (本小题满分14分)已已知函数的图象在点（1，f（1）处的切线方程为yx1（1）用a表示出b，c；（2）若在1，上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：【测量目标】利用导数求函数的单调区间、解决不等式问题.【考查方式】给出函数某点的切线方程，利用导数求出解决不等式问题，主要考查了综合能力.【难易程度】较难【试题解析】（1）=a，则有，解得（步骤1）（2）由（1）知，f（x）=ax+12（步骤2）令= ax+12a，x1，+，则=0，= a=（步骤2）1）当0a时，1.若1x，则0，是减函数，所以0,g(x)是增函数，所以g(x)g(1)=0,即f(x)lnx.故当x1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是.（步骤3）3）.当a时，有f(x)lnx(x)，令a=,有f(x)= (x)lnx,令x=，有ln即ln(k+1)lnk 上述n个不等式依次相加得到结果，即得到（步骤4）