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1、2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题I.已知平面a的一个法向量勺=（3,0,2）,平面夕的一个法向量2=（2/,6）,若。，分，则2=（）9A.B.4 C.1 D.12【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为a，/?,则可得|，生，且1 =（3,0,4）,/?,=（2,1,6）,则可得6+6 2 =0,解得2 =7故选:C2.若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）A.B.3 C.5 D.22【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为。，由等差数列
2、的定义，结合勾股定理即可得到。的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为。，则三边依次为a-2,a,a +2由勾股定理可得（a +2）2 =（4 2）2+/,解 得 且=8或a =0 （舍）即斜边为。+2 =1 0,所以外接圆的半径为9=5故选:C3.己知P为双曲线=l与抛物线y?=2 x的交点，则P点的横坐标为（）A.3 B.2 C.7 6 D.-1【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.（y2=2x x =3【详解】依题意，2 x=y 2 z o,则 由，o 解得x2-y2=3 y=l6所以户点的横坐标为3.故选：A4.若直线3x+4y+，=0与圆f +y2-2y=0
3、相切，则实数加取值的集合为（）A.-1,1 B.-9,1 C.1 D.-8,2【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得”=厂，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆一+），2-2）；=0可得表示圆心为（0,1）,半径为1的圆，则圆心到直线3x+4y+根=0的距离d=）+”,V32+42因为直线3x+4y+机=0与 圆 +y.句 相 切，所以4=r,即1=1 ,解得m=1或加=-9,V32+42即实数，取值的集合为-9,1故选:B5.已知数列%首项为2,且凡-4=2“，则可=（）A.2 B.2-+1 C.2-2 D.2+,-2【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累
4、加法可求数列通项.【详解】由已知得/M-4=2，4=2,则当“2 2时，有%=（一”-2）+（。2 _）=2+2T+.+2,%=2+2i+22+a,=2n+2-+22+2=-|J =2,+l-2经检验当”=1时也符合该式.；=2n+l-2.故选：D6.如图，在直三棱柱ABC-A A C中，CA=CB,P为4 8的中点，。为棱（?G的中点，则下列结论不正确的是（）小GBA.P Q1 B B.AC 平面 4 8。C.PQ 1 CC,D.P。/平面 ABC【答案】B【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C选项先通过类似A选
5、项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，【详解】不妨设棱柱的高为26,A C =CB=x.B选项，根据棱柱性质，C.H A C,而A Q c平面=若AC/平面A 8 Q,无论怎样平移直线4 C,都不会和平面ABQ只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；A选项，计算可得，Q A=Q B =G+*,又尸为AB的中点，故（三线合一），A选项正确；C选项，连接Q4，Q 4,A g,根据平行四边形性质，A4过P,计算可得，QA=QBl=ylx2+h2,又P为A用的中点，故PQLAg（三线合一），结合A选项，PQ AtB,AB,B =P,
6、Aq，A 8 u平面故平面A B B/,由A4,u平面A8BM，故棱柱的侧棱A A/C C-故PQ-LCCt,C选项正确：D选项，取A8中点E,连接尸E,C E,结合P为A/的中点可知，PE为AM,中位线，故依抽，且=即依C Q,且尸E=C Q,故四边形尸ECQ为平行四边形，故PQ C E,由平面ABC,C Eu平面A B C,故 尸。平面ABC,D选项正确.故选：B小G7.在数列%中，若存在不小于2的正整数k使 得 见 且 久 0 ,数列 是单调递增数列，所以数列也 不是“人数列”，故A错误；对 于B,2=2 ,%=2向，-2=2向-2 =2 0,数列也 是单调递增数列，所以数列也 不是“人
7、数列”，故B错误；对于C,对于函数/(x)=x+2(x 0),令占 3,/(寸)-小)=(%-*2 户*二 ,Xxx2xx 9因为所以内-%，*/2 9 ,(xt-x2)-.0 ,所以(%),XX2x)在xe(3,4 )上为单调递增函数，令 0 不 3,/(i)-/(x2)=(2)%2-9,XX2因为0 c 不 ，0&*2 9,(为-9)”*9 0,所以，x)在XX2xe(0,3)上为单调递减函数，n所以对于=+二 当2 4”4 3时，有 力 0）,可 得 自 的=诟 彳，再利用基本不等式可得答案.【详解】设网2 旦丫）（丫 0）,所 以 加 卜 看z2 y所 以 弓 =了 寸=不 可41V+
8、7当且仅当y =!即y =1 时等号成立,y则。“斜率的取值范围是（o,；.故选：A.二、多选题9 .已知正四面体的棱长均为1,分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）A.0 B.C.2 D.7 3【答案】A B【分析】由4 仍=卜卜卜卜8$,=3（4,。-1,1,排除C、D；L a=AD,b=B C ,求出a$=0;取a=A2b=AC,求出=g.即可判断A、B.【详解】在正四面体A 8 C O 中，棱长均为1.D任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任取两个向量。,人 则所以4 乃=卜卜上卜8$（4,/2）=8$（0,今-
9、1,1.故C、D 错误；取a=AO,%=BC.设 8 c 中点为E,连接4E,OE.因为A8C 为正四面体，所以A E L 8cO E L B C.因为 AE O E=E,A E u 面 ADE,O E u 面 AOE,所以8 c 上面AOE.因为4）u 面 A D E,所以BC_LA,所以,今=90。.所以 a-/?=cos（a,6）=cos90=0.故 A 正确；L a=A D,b=A C,则（叫=60。.所以a-b=cos（a,A）=cos6（T=J.故 B 正确.故选：AB1 0.己知椭圆C:+=l（a匕 0）的 离 心 率 为 左，右焦点分别为A，Q,尸为椭圆上一点（异于左，右顶点）
10、，且 玛 的 周 长 为 6,则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦距为1 B.椭圆C 的短轴长为2百C.尸耳6 面积的最大值为G D.椭圆C 上存在点P,使得N 耳P入=90【答案】BC【分析】根据e=g,2a+2c=6解 得 可 判 断 AB；设。伍,几），由此呻,=g 闺用|%|知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆C 上存在点P,设PF=m,PF2 =n,求出?+、mn,见及可看作方程/-4+6 =0,求出判别式可判断D.【详解】由已知得e=,，2 +2c =6,解得a =2,c =l,b2=a2-c2=3,a 2对于A,椭圆C 的焦距为2c =
11、2,故 A 错误；对于B,椭圆C 的短轴长为劫=2 6，故 B 正确；对于C,设夕（X。,/）,5 伤=3 忻 国 闾=0闻，当尸点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时IW=b=K，所 以 面 积 的 最 大 值 为 G，故 c正确；对于D,假设椭圆C 上存在点尸，使得N K P 鸟=9 0,设归用=加产用=，所以加+=2fl=4,+2=1 6-2/w?=4c、2 =4,mn=6,所以加，是方程X2-4X+6=0,其判别式 =1 6-2 4 0）,半径为1 的动圆M 内切于定圆。作无滑动的滚动，切点尸的初始位置为（氏0）.若 R =4,则归。|的 最 小 值 为；若R=2,且已知线段MP的
12、中点N的轨迹为椭圆，则 该 椭 圆 的 方 程 为.+炉=1 答案2 2,4 4【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案.【详解】当R =4 时，w。|的最小值为R 2x 1=4 2=2.当7?=2 时，N初始位置为（|,0；圆。的四分之一弧长为卜 2nx 2=i t,圆A 7 的半周长为工x 2?tx l =兀,2所以N的轨迹过点N (0,；),所以a=g,6 =!，椭圆焦点在X 轴上,2 2江+=1所以椭圆方程为9 +1 1.4 4 2,21-1故答案为：2;9 1一4 4五、解答题17.如图，孙是三棱锥P-4 B C 的高，线段BC的 中 点 为 且 他 上 A C,AB =A C
13、=PA=2.(1)证明：平面RA；(2)求A到平面P B C的距离.【答案】(1)证明见解析(2)组.3【分析】(1)根据已知条件证明5 C L A M,P A LBC,由直线与平面垂直的判定定理即可证明.(2)法一：在平面PAM中，过 A点作A“_ L P M,证明A H _L 平面PBC,再求值即可；法二：A到平面尸8 c的距离，是三棱锥A-P 8 C 的高，利用等体积法求解.【详解】(1)因为A B =AC,线段8 c的 中 点 为 所 以 B C L A M.因为P4是三棱锥P-ABC的高，所以PA，平面ABC,因为8 C u平面A 6 C,所以PAL8c.因 为%u 平面总，AMu平
14、面2 4 ,PA A M =A,所以8C 1平面/VLW（2）法一：（综合法）在平面R4M中，过A点作AH_LPM,如图所示，因为8C 1平面R4M,A H u平面P 4 W,所以3C_LA”.因为 BCu 平面 P8C,PMu 平面 P8C,PM 8C=M，所以 AH_L 平面尸5c.在Rt-BAC中，AM=-BC=-X/AF+A CT=-X74+4=72.2 2 2所以在Rt_RAM 中，P M=I P#+A M?=4+2=的，所以4=生也=平=毡，所以A到平面PBC的 距 离 为 亚.P M 近 3 3法二：（等体积法）设A到平面P3C的距离为d,则在Rt.BAC中，A M =-B C
15、-4 A B-+A C2=1X74+4=72.2 2 2在 RLE4M 中，1 1 1 4因为以是三棱锥P-A 5 c的高，所 以/T6c=3S,cxPA =X5x2x2x2=,%-A BC=A-PBC-S&PBC*=*5*2 夜 x 屈 解得 d =“f ,所以A到平面P B C的 距 离 为 毡.31 8.已知等比数列%的首项为2,前项和为5,且2s2-3邑+5=0.求知；己知数列圾 满足：b=na,求数列圾 的前项和，.【答案】（1）4=2(2)7；,=(_1 2向+2【分析】(1)根据题意，由2 s2-3 S 3 +S=0可得公比夕，再由等比数列的通项公式即可得到结果；(2)根据题意，
16、由错位相减法即可求得结果.【详解】(1)设等比数列%的公比为4，因为2 52-3 53+S,=(),所以 2区 5 3)+一$3 =0，所以。4=2 3,所以q=2,所以4,=。q二=2 .(2)由(1)得，b=nx2n,所以 =1 x 2 +2 x 2 2+nx2 .所以2 =1 x 2 2 +2 x 2 3+(-l)x 2,+r tx 2n+l,.-,得一(=2 +2 2+2 -nx2+=2 2向+2.2 2Q1 9.已知双曲线C:0-*l(aO力 0)的实轴长为2,右焦点F到X，的距离为(1)求双曲线C的方程；若直线y =x-l与双曲线C交于M,N两点，求尸的面积.【答案】(1)/_工=
17、13尾【分析】(1)由双曲线实轴长为2可得。=1,再利用右焦点F到X =|的距离为3可得c =2,即可求得双曲线C的方程；(2)联立直线和双曲线方程容易解出，N两点坐标即可求得,M V尸的面积.【详解】(1)设双曲线C的焦距为2 c(c 0),因为双曲线C的实轴长为2,所以2 a =2,解得“=1.因为右焦点F到x 的距离为所以解得c =l或c =2.因为所以C =2 .可得以=七-02=4-1=3所以双曲线C的方程为/-=1.3(2)设(,Y)，N(x2,y2),y=x-联 立 直 线 和 双 曲 线 匕 _._ 可 得 3/-1)2-3 =0,即丁+犬-2 =0,x =l 或x =-2不妨
18、设西=1,=一2,所以M =0,必=一3.所 以 工.产 3削尸卜河=*一卜回|=1,卜3 =.即 一 MNF的面积为。22 0.已知数列 4 的首项为1,前,项和为S“，且满足.&2=2,an+2-an=2-2 S.=(n +1)%；S“+1 =(+2)S”.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：求。“；(2)求 数 列 一的前n项和T.a,.a+2)【答案】(1)%=【分析】(1)当选时，分为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选时，根据S,与应的关系，即可得到结果；当选时，根据条件得到 Lt b是常数数列，从而得到结果；(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】(1
19、)选 1因为4+2-%=2,所以当 为奇数时，4,=4+2 x 了=：同理，当为偶数时，a“=%+2x-=.所以4=.选因为2 s“=(+1)4,(*)所以当2 2 时，2 s M=/_,(*)(*)-(*),得(-1)4=解 1，即%=n n-所以数列 21是首项为1 的常数列，所以4,=.选S s f o l因 为 吗=(+2)S,所以(+2/+|)=而而，所 以 数 列|肃 高 是 首 项 呜 的 常 数 列,所以S.二当D所以当“2 2 时，1=用当 =1 时，也符合上式.所以1 1 1(1 1 、(2)由(1)得，-=(-二，的“+2 (+2)2 n n+2)rr I f.1 1 1
20、 1 1 1 1 A l f 3 1 1 2 3 2 4 3 5 n n+2)2(2 n+1 n+2)2 1.三棱柱 A 8 C-A A G 中，A B =A B 1=A 4,=4 C =2,Z B A C =1 2 0 ,线段 A M 的中点为M,且2(2)点P 在线段Bg上，且 片尸求二面角尸-B I A-A 的余弦值.【答案】(1)证明见解析迹13【分析】(1)由ABLA/、B C,AM根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 平 面 A B C；(2)以A为原点，以A N、A C、40所在的直线为x、y、z 建立空间直角坐标系，求出平面线惧、平面A的一个法向量由二面角的向量求
21、法可得答案.【详解】(1)三棱柱ABC-A A G 中，AB AB ,在AB|A中，A B|=441,线段A S 的中点为M,所以A A A M,所以A8_LAM；因为8c_L4W,3 C u 平面 ABC,A B u 平面 ABC,A B c B C =B,AB、3 C u 平面 ABC,所以 4W 1平面A B C；(2)做 ANJ_AC交 BC于 N 点，以A 为原点，以A N、AC、AM所在的直线为x、A z 建立空间直角坐标系，则 A(),0,0),B(7 3-1,0),8情,C(0,2,0),历(0,0,矶所 以 破=倍，-;，6,BC=(-73,3,0),AM=(0,0,2 2因
22、为用尸=号与。I=3 0 =所以AP=J W 4,石6 2设平面6 例 的 一 个 法 向 量=a，*,z j,则，“/A S =*X|_ g y+G z|=0“AM=任=0解得4=0,令 y、=拒,则 占=1,所以勺=(1,6,0),设平面PBtA的一个法向量%=(x2,y2,z2),则.3 i AP=-x2+必 +v3z,=06 2n2.Ag 二高工2 一；+=0令 y2=上,则“2=3,、=T,所以叼=(3,百，一 1),设二面角尸-4 A-A 的平面角为。(0 4 6 4 1 8 0),则COS。=C0S（,2）=ny-n2 _ 6 _ 3/13时同2 x后13 由图知二面角P-B.A
23、-A.的平面角为锐角，所以二面角P/A-A 的平面角的余弦值为誓.2 2.己知尸i f 为椭圆Ej +/=l(a b 0)上一点，上、下顶点分别为A、B,右顶点为C,且/+b2=5.求椭圆E 的方程；点 P为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC与 研 交 于 点。，直线CP交 y 轴于点R.求证：直线RQ过定点.【答案】上+2=14(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件求得/，从，从而求得椭圆E 的方程.(2)设出直线所的方程，求得点。的坐标，联立直线BP的方程和椭圆E 的方程，求得尸点坐标,进而求得直线PC的方程，从而求得R点的坐标，由此求得直线RQ的方程并确定定点坐标.【详解】因 为
24、小 岑)为 椭 圆 氏。=1 g b 0)上一点，所以+1=1-1 Q IS因 为 +从=5,所 以=y+义=1，整理得4b-19+15=0,解得从=1或力、?5-b 4 b 4当，:时,a2=,与ab矛盾.所以加=1,a2=4.4 4椭圆E 的方程为三+y J l.(2)设直线研的斜率为左,则&：y=H-L因 为 儿：=-；x+l,由，y=kx-1 解得%Q=y=2x+xy=kx-42k-2火+1%-2）1+1因为，d 2 _，所以 x?+4（6-l f-4 =0,T+-V整理得（1 +4%2卜2-8履=0,所以%=8k4公 1必2+i ZF+T4k2-1所以M，c4公+14k2-12k+l8A 2-8 k？+8氏-2 4k-24 r+1所 以 腹：y=-会(x-2).TK 一乙令 x=0,阳 2Z+1得 以=为所以原 =2k+l 2k-l2A-1-2%+1（2k+l）2-（2k-l）2所以4：y=-42l+14k-42k+3k4k2一 1 二 2&4-2k-12k+1十”之2k-l所以：y+i=-2k2k-4k-x+-2 1 2k 12k2k-（x-2）.所以直线R。过定点(2,-1).