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1、2022-2023学 年 广 东 省 湛 江 市 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 I.已 知 集 合 4=何 怆*1,8=3 2,则 A 8=()A.(-B.(0,1)C.(0,2)D.(1,10)【答 案】C【分 析】求 出 集 合 A,再 根 据 交 集 的 运 算 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：A=x|lgxl=x|0 x 10,所 以 A 8=(0,2).故 选：C.2.已 知 数 列“为 等 比 数 列，若=2,4=3 2,则%的 值 为()A.8 B.8 C.16 D.16【答 案】A【分 析】利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 即 可
2、求 解.【详 解】因 为/为 等 比 数 列，设%的 公 比 为 4，则“2=4,4=2,%=4 0=32,两 式 相 除 可 得，=1 6,所 以 才=4,所 以%=4=32+4=8,q故 选：A.3.正 方 体 A B C 0-A 4 6 R 中，E 是 棱 8 的 中 点，若 他=2,则 点 8 到 平 面 AAE的 距 离 是 A.石 B.逑 C.史 D.空 5 5 5【答 案】B【解 析】由 题 意 结 合 几 何 体 的 结 构 特 征 利 用 等 体 积 法 求 解 点 面 距 离 即 可.【详 解】设 点 8 到 平 面 AAE的 距 离 为 八，由 等 体 积 法 可 知：V
3、B-E=VAl-ABE,即 g x S小 心 g x(g x 2 x 6)/=g x(；x 2 x 2)x2,解 得：h=6【点 睛】本 题 主 要 考 查 点 面 距 离 的 求 解，等 价 转 化 的 数 学 思 想 等 知 识，意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和计 算 求 解 能 力.4.设 i 为 虚 数 单 位，a e R,“=1是 复 数 z=匚 是 纯 虚 数”的（）条 件 2 1-zA.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】先 化 简 z,再 根 据 纯
4、 虚 数 的 定 义 求 出。的 值，利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 得 定 义 即 可 判 断.【详 解】复 数 一 吉 了 一(j)(l+i)cr 1+i t?2 1 i=不 是 纯 虚 数,则/一 1=o,解 得 a=l 9o 故=1”是“复 数 z=匚 是 纯 虚 数”的 充 分 不 必 要 条 件，2 1-?故 选：A.【点 睛】对 于 复 数 的 乘 法，类 似 于 多 项 式 的 四 则 运 算，可 将 含 有 虚 数 单 位 i 的 看 作 一 类 同 类 项，不 含 i 的 看 作 另 一 类 同 类 项，分 别 合 并 即 可：对 于 复 数 的 除 法，关 键
5、 是 分 子 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 较 复 数，解 题 中 要 注 意 把 i 的 幕 写 成 最 简 形 式.5.已 知/（x）=s in x c o s x,则 f（x）的 最 小 值 与 最 小 正 周 期 分 别 是（）A.，兀 B.1,兀 C.，2兀 D.2,2兀 2 2【答 案】A【分 析】根 据 正 弦 的 二 倍 角 公 式 化 简，即 可 根 据 周 期 公 式 求 解 出 周 期，由 正 弦 函 数 的 性 质 求 出 最 小 值.【详 解】/（x）=sinxcosx=l s i n 2 x,故 最 小 正 周 期 为 称=兀，最 小 值 为 故 选：A.体
6、重（单 位：kg）6.目 前，国 际 上 常 用 身 体 质 量 指 数 8乂 1=耳 布 记 忘 来 衡 量 人 体 胖 瘦 程 度 以 及 是 否 健 康.某 3公 司 对 员 工 的 B M I值 调 查 结 果 显 示，男 员 工 中，肥 胖 者 的 占 比 为 京；女 员 工 中，肥 胖 者 的 占 比 为 2.已 知 公 司 男、女 员 工 的 人 数 比 例 为 2：1,若 从 该 公 司 中 任 选 一 名 肥 胖 的 员 工，则 该 员 工 为 男 性 的 概 率 为（)A.1D-1B-蔡【答 案】D【分 析】先 求 出 任 选 一 名 员 工 为 肥 胖 者 的 概 率 和
7、 肥 胖 者 员 工 为 男 性 的 概 率，再 根 据 条 件 概 率 计 算 即 可.【详 解】设 公 司 男、女 员 工 的 人 数 分 别 为 2 和，则 男 员 工 中，肥 胖 者 有 2/3袅=3?人，100 50女 员 工 中，肥 胖 者 有 X 2=白 n人，100 50设 任 选 一 名 员 工 为 肥 胖 者 为 事 件 A,肥 胖 者 为 男 性 为 事 件 8,3/2 3/2 n则 P（AB）=领,P（A）=更 互=工，3 50 3n 75则 叱）=盗 号 小 75故 选：D.7.P 是 椭 圆+表 MKa 方 0）上 的 一 点，A 为 左 顶 点，F 为 右 焦 点
8、，PF_Lx轴，若 tan/PA尸=；,则 椭 圆 的 离 心 率 e为（）【答 案】D【分 析】P F L x 轴 得 归 目=与，在 直 角 P4F中 由 正 切 的 定 义 可 得。，尻 c的 齐 次 式，从 而 得 出 e的 方 程，求 得 结 论.【详 解】解：尸/U x 轴，=.1 PF 1而|A耳=a+c,.,.由 tan/PAF=7 得 吃 肉=彳 2 A/y 2=（a+c）,即 2（片-c2）=a2+ac a 22/+e-1=0,解 得 e=-l（舍）或 e=；.故 选：D.8.庄 严 美 丽 的 国 旗 和 国 徽 上 的 五 角 星 是 革 命 和 光 明 的 象 征.五
9、 角 星 是 一 个 非 常 优 美 的 几 何 图 形，且 与 黄 金 分 割 有 着 密 切 的 联 系.在 如 图 所 示 的 五 角 星 中，以 A,B,C,D,七 为 顶 点 的 多 边 形 为 正 五 边 UUII形，且 图=生 1.若 ES-AP=28Q（X G R）,则 入=（）AT 2AA x/5+1 R 7 5-1 r 百+1 n 1-V52 2 2 2【答 案】D【分 析】根 据 图 象 的 对 称 性 和 向 量 的 运 算 法 则，化 简 得 到/?。=存 1。8,即 可 求 解.【详 解】根 据 图 形 的 对 称 性，可 得 ES=RC，AP=QC,由 和 向 量
10、 的 运 算 法 则，可 得 E S-A P=R C-Q C=RC+CQ=RQ,又 由 做 卜|力 1，I 8 Q I=|A T|,故/?。=浮 1。8,所 以 人 与 叵.故 选：D.二、多 选 题 9.已 知 抛 物 线 C：V=2 p x(p 0)的 焦 点 为 尸(4,0),P 为 C上 的 一 动 点，4(5,1),则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.p=4 B.当 P F L x轴 时，点 尸 的 纵 坐 标 为 8C.|P F|的 最 小 值 为 4 D.|%|+|尸 产|的 最 小 值 为 9【答 案】CD【分 析】根 据 焦 点 坐 标 可 得 P=8,即 可 判 断
11、A,根 据 坐 标 运 算 即 可 判 断 B,根 据 焦 半 径 以 及 自 变 量 的 范 围 即 可 判 断 C,根 据 三 点 共 线 即 可 判 断 D.【详 解】对 于 A,由 抛 物 线 C:y 2=2 p x(p 0)的 焦 点 为*4,0)可 知 勺 4 n p=8,故 A 错 误，对 于 B,当 P F L x轴 时，则 点 尸 的 横 坐 标 为 4,将 其 代 入 V=i 6 x中 得 y=8,故 B 错 误，对 于 C,设 一 伍,几)，则|PF|=x0+与=x0+4,由 于/2 0,所 以|P尸 上 飞+4,故 归 目 的 最 小 值 为 4,故 C 正 确，对 于
12、 D,过 户 作 PM垂 直 于 准 线 于，过 A作 A E垂 直 于 准 线 于 E,则|到+归 耳=|必+|回 21AMi可 他=6,当 P,E,A三 点 共 线 时 等 号 成 立,故 D正 确；10.将 函 数.f(x)=Asin(5+o)的 图 象 向 左 平 移 g 个 单 位 长 度 后 得 到 y=g(x)的 图 象 如 图，则()C.方 程 x)=l在(0,2万)内 有 4 个 实 数 根 D.f(x)的 解 析 式 可 以 是 x)=2sin(2 x-5)【答 案】BC【分 析】利 用 图 象 可 求 得 函 数 g(x)的 解 析 式，利 用 函 数 图 象 平 移 可
13、 求 得 函 数“X)的 解 析 式，可 判 断 D选 项；计 算”0)可 判 断 A选 项；利 用 正 弦 型 函 数 的 单 调 性 可 判 断 B选 项；当 x e(0,2万)时，求 出 方 程/(力=1对 应 的 2-胃 可 能 取 值，可 判 断 C 选 项.【详 解】由 图 可 知，函 数 g(x)的 最 小 正 周 期 为 T=g(普+()=乃，./=寿=2,A=g(x)1rax=2,所 以，g(x)=2sin(2 x+),贝！|=2$山(葛+,=2,可 得$亩(葛+9)=1,所 以，葛+*=2jUr+(A w Z),得 e=2氏 一(Z eZ),因 为 网、，则 e=-,所 以
14、，g(x)=2sin(2x-?J,将 函 数 g(x)的 图 象 向 右 平 移 g 个 单 位 可 得 到 函 数 x)的 图 象,故，(x)=2sin对 于 A 选 项，因 为 0)=2sin卜 q j/O,故 函 数/(x)不 是 奇 函 数，A 错；对 于 B 选 项，当?x。时，-g 2 x-g 0,故 函 数/(x)在 区 间 马 上 单 调 递 增，B 对;对 于 C 选 项，由/(x)=2sin(2x-5|=1,可 得 sin(2x-引=；,当 X0,2劝 时,-y 2 x-y i y,所 以,2%-y G7C 51 13乃 17%6 6 6 6,C 对;对 于 D 选 项，/
15、(x)=2sin(2x-言*2sinl 2x-y,D 错.故 选：BC.11.已 知 数 列,满 足 6=1,。向=3a“+l,wN*,贝 I()A.121是 数 列 中 的 项 B.a,t-an=3nC.是 等 比 数 列 D.存 在 AeN*,-+=I 2J t a2 ak 2【答 案】ABC【分 析】由 递 推 关 系 式 4川=3。,+1可 知，通 过 构 造 等 比 数 列 可 求 得 数 列”“的 通 项 公 式 为 3-1an=,即 可 计 算 并 判 断 出 A B C 正 确；再 利 用 不 等 式 进 行 放 缩 可 得 出 对 于 任 意 的 21 1 T 1 3+L+彳
16、，可 得 D 错 误.4%2【详 解】由。,用=3q+1可 得，4用+；=3卜“+|,又 4+；=,，所 以 卜,+；是 首 项 为|,公 比 为 3 的 等 比 数 列，即 C 正 确；所 以，由 等 比 数 列 通 项 公 式 可 得 为+3-31=2x3，an J T1 2 2 1 3所 以 二 T(3 F=F 当=i时 4=1 3；1 1 1,1 1 1 1-T 3（1）3当 2 2 时，-+-+乙 1+三+/=口=511一 下 卜 5，31 1,1 3 1 1 1 3即 对 于 任 意 的“eN*,+L+4 2 a 2 a,a2 ak 2即 D 错 误.故 选：ABC12.如 图，在
17、 平 行 四 边 形 ABC。中，AB=,A=2,ZA=60。，沿 对 角 线 BO将 AB折 起 到 P8Z）的 位 置，使 得 平 面 PBO1平 面 BC）,连 接 P C,下 列 说 法 正 确 的 是（）A.平 面 PCDJ_平 面 P8力 B.三 棱 锥 P-8 C。外 接 球 的 表 面 积 为 KhrC.与 平 面 P8C所 成 角 的 正 弦 值 为 立 4D.若 点 M 在 线 段 PO上（包 含 端 点），则 A B C M面 积 的 最 小 值 为 叵 7【答 案】ACD【分 析】结 合 线 线 垂 直，线 面 垂 直 与 面 面 垂 直 的 相 互 转 化 关 系 检
18、 验 A,根 据 外 接 球 的 球 心 位 置 即 可 结 合 三 角 形 的 边 角 关 系 求 解 半 径，可 判 断 B,结 合 空 间 直 角 坐 标 系 及 空 间 角 及 空 间 点 到 直 线 的 距 离 公 式 检 验 CD.【详 解】BCD中，8=1,BC=2,NA=60。,所 以 8。=追，故 B）2+C2=和 2,所 以 或）_LCD,因 为 平 面 P B D _ 1 _ 平 面 BCD,且 平 面 PBD 平 面 BCD=B D,又 BDLCD,COu 平 面 BCD所 以 C O,平 面 PBD,Cu平 面 PCD,所 以 平 面 PC。L 平 面 B P D,故
19、 A 正 确；取 BC的 中 点 为 N,尸 8 中 点 为。，过 N 作 ON/PB,ON=PB,由 平 面，平 面 B C D且 平 面 2PBD）平 面 8 8=%,又 比）_LP 3,PBu平 面 尸 8D,故 PB_L平 面 BC）,因 此 ON_L平 面 8 c。，由 于 8 8 为 直 角 三 角 形，且 N 为 斜 边 中 点，所 以 OB=O C=OD,又 ON/PB,ON=gpB,所 以 QB=ON,BQ/ON，因 此 OP=0 8,因 此。为 三 棱 锥 P-B C D 外 接 球 的 球 心，且 半 径 为 OB=BQ2+BN2=M-+F=立，故 球 的 表 面 积 为
20、 47f；=5兀，故 B 错 误，以。为 原 点，联 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 8(6,0,0),C(0,1,0),p(G,o,1),因 为 BP=(0,0,1),BC=(-/3,1,0)DP V3,0,lj,设 平 面 尸 8 c 的 法 向 量 为%=(x,y,z),m-BP=0 f z=0/r 所 以=r-,取 X=G，则 机=6,3,0m-BC=0-j3x+y=Q)所 以 85=常 篇=晨 后=9，故 P C 与 平 面 P8C所 成 角 的 正 弦 值 为 半，故 C 正 确,因 为 M 在 线 段 尸)上，设 M(小，0,a),则“B=(百-百”，0,
21、-a),所 以 点 M 到 8 c 的 距 离 d=向-(幽 匹);=户-迎+3=,V BC V 4 2 4 V4 7 7当 4=3 时，d 取 得 最 小 值 包，此 时 A M 8 C 面 积 取 得 最 小 值=叵，D 正 确.7 7 2 7 7三、填 空 题 13.写 出 过 点 P(-2,2)且 与 圆(+1)2+产=1相 切 的 一 条 直 线 的 方 程.【答 案】3x+4y-2=0(答 案 不 唯 一)【分 析】根 据 题 意：先 讨 论 斜 率 不 存 在 的 情 况 是 否 成 立；斜 率 存 在 时，设 出 切 线 方 程，利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于
22、半 径 即 可 求 解.【详 解】当 过 点(-2,2)的 直 线 斜 率 不 存 在 时：方 程 为：x=-2,此 时 直 线 到 圆 心 的 距 离=l=r,满 足 题 意；当 过 点 尸(-2,2)的 直 线 斜 率 存 在 时：设 方 程 为：y=k(x+2)+2,即-y+2&+2=0,因 为 直 线 与 圆（x+iy+y 2=相 切,所 以 4=11里 单=1,解 得：k=_ lt所 以 直 线 方 程 为：3 x+4 y 2=0,J1+公 4所 以 过 点（-2,2）且 与 圆（x+l）2+/=l相 切 的 一 条 直 线 的 方 程 x=-2 或 3 x+4 y-2=0,故 答
23、案 为：3 x+4 y-2=0（答 案 不 唯 一）.1 4.等 差 数 列 4 的 前 项 之 和 为 S“，若=6,则 S“=.【答 案】66【分 析】直 接 利 用 等 差 数 列 前 项 和 公 式 和 等 差 数 列 的 性 质 求 解 即 可.【详 解】由 已 知 条 件 得 L=（4+4）=玛=66,2 2故 答 案 为：66.1 5.若。4、O B、O C为 空 间 三 个 单 位 向 量，OAJLO8，且 O C与。4、OB所 成 的 角 均 为 60。，贝 OA+OB+O C|=.【答 案】石【分 析】根 据 向 量 的 模 长 公 式 即 可 代 入 求 解.【详 解】由
24、 题 意 可 得 CM OB=0，OA OC=OC-OB=M x c o s 6 0=gy）A+OB+OC|=loA2+OB2+OC2+2OAOB+2OAOC+2OCOB=Jl+1+1+0+2?-2?-亚,V 2 2故 答 案 为：石 1 6.已 知 椭 圆 1+1=1的 右 焦 点 为 凡 点 P 在 椭 圆 上 且 在 x 轴 上 方.若 线 段 P F 的 中 点 M在 以 原 点 25 16。为 圆 心，1。尸 1为 半 径 的 圆 上，则 直 线 P F 的 斜 率 是.【答 案】-2 0.【分 析】设 椭 圆 得 左 焦 点 为 F，连 接 根 据 线 段 P尸 的 中 点 M在
25、以 原 点 O 为 圆 心，1。用 为 半 径 的 圆 上，可 得|O M|=|O尸 卜 c,从 而 可 求 得|P,|P F|,在 二 P F F,利 用 余 弦 定 理 求 得 N P F F的 余 弦 值，从 而 可 得 出 答 案.【详 解】解：设 椭 圆 得 左 焦 点 为 尸，连 接 O M,PF.,由 椭 圆+耳=1 得，”=5,0=4,c=3,则 尸(-3,0),尸(3,0),|FT|=2c=6,|P尸|+|P尸 1=2a=10,因 为 点 M 在 以 原 点 O 为 圆 心，IOFI为 半 径 的 圆 上，所 以|OM|=|OF|=c=3,因 为 O,时 分 别 为 FF,P
26、F得 中 点,所 以|PF=2|O町=6,所 以|产 石=10-|尸 尸=4,所 以 cos NPFF=1,则 sin ZPFF=巫,2x4x6 3 3所 以 tan/PFF=2及，因 为 点 P 在 椭 圆 上 且 在 x 轴 上 方，则 直 线 P F 的 倾 斜 角 与 ZPFF互 补,所 以 直 线 P F 的 斜 率-2&.故 答 案 为：-2夜.四、解 答 题 17.在 A A B C 中，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,已 知 b=5 cosA=.求 sin 8；若 3 是 钝 角，求 4 C 边 上 的 中 线 长.【答 案】(1)2(2)1【分 析
27、】(1)根 据 同 角 基 本 关 系 可 得 正 弦 值，进 而 根 据 正 弦 定 理 即 可 求 解，(2)根 据 余 弦 定 理 可 求 解。，利 用 向 量 得 BD=g(8A+BC),平 方 后 即 可 求 解.【详 解】由 cosA=,A 0,兀）,则 siM=Jl-COS24=由 正 弦 定 理 得 舟/5b a Z?sinA 5 五,sinB sinA a 6 2（2）由 于 3 是 钝 角，故 cosB=.-,2由 余 弦 定 理 可 得 cosB=m=2：5=-显,解 得 c=i（负 值 舍 去），2ac 2 J2c 2设 A C 边 上 的 中 线 为 B O,则 BO
28、=g（3A+8C）,所 以 QB。）?=（B4+BC）2=/+/+2accosB=+（后 1+2xlx 点,所 以 即 A C 边 上 的 中 线 长 为;.2.N2 218.设 第 一 象 限 的 点 材（知 九）是 双 曲 线 C:?+=le 0）上 的 一 点，已 知 C 的 一 条 渐 近 线 的 方 程 是 多.（1）求 人 的 值，并 证 明：-xoyo；2 X。（2）若 直 线/：y=x-3和 曲 线 c 相 交 于 E,F两 点,求|EF|.【答 案】（1）6=&,证 明 见 解 析 4s【分 析】（1）根 据 渐 近 线 方 程 可 得 人=&，进 而 根 据 分 析 法 即
29、 可 求 解，（2）联 立 方 程，由 韦 达 定 理 以 及 弦 长 公 式 即 可 求 解.【详 解】c：?=i s o）的 渐 近 线 方 程 为 了=士 界，故 匕=&,双 曲 线 方 程 为 片-二=1,（,九）在 双 曲 线 上，所 以 子-与=i,要 证 只 需 证 1g%-3 0，%。，若?与 一 3 4 0,显 然 成 立，若 2 xQ 2 xQ 2 x0孚 飞-3（）时，只 需 要 证 明 俘$一%2,即 证;为 2+3-3&2件 一 1,因 此 只 需 要 证 2%I 2/J 2 X。I 4 JQ.-9 9 OOQ Q Q Q,明 丁 2,-,TfU-+2/2=-3/2-
30、2,故 1 3 a _ 2 成 玉）/4 1 6 4 4 或）(2)联 立 直 线 与 双 曲 线 方 程,工 一=1=/-1 2+22=0,、y=x-3设 厂(孙 必)，E(x”M，则 玉+占=1 20?2 2,所 以 由 弦 长 公 式 得：EF=72(%,+x,)2-4X,X2=V 1 22-4?22 45，1 9.如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-A A G A 中，E 为 A Q中 点.(1)求 平 面 与 平 面 E B 0夹 角 的 余 弦 值;(2)探 究 线 段 B C上 是 否 存 在 点 F,使 得。尸/平 面 B R E?若 存 在，确 定 点 F
31、的 位 置；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】(1)正 2(2)存 在，点 尸 为 线 段 B C上 靠 近 点 C 的 三 等 分 点 见 解 析【分 析】(1)以。为 原 点，DA,D C,所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,求 出 平 面 BRE的 法 向 量，平 面 B D Q的 一 个 法 向 量.利 用 空 间 向 量 的 数 量 积 即 可 求 解(2)假 设 在 线 段 8 c 上 存 在 点 F,使 得 DF 平 面 B R E.通 过 向 量 共 线 以 及 向 量 的 数 量 积 为 0,求 解 即 可.【详 解】
32、(1)如 图，以。为 原 点，DA,D C,。所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),E(1,0,0),B,(2,2,2),D,(0,0,2).D,E=(l,0,-2),EB=(1,2,0),设 平 面 B%E 的 法 向 量=(x,y9z),n-D.E=0 x-2z=0,，即，n-EB=0 x+2y=0令 x=2,则 y=-l,z=l,连 接 AC,A C-L B D,由 于。，平 面 AC,A C u 平 面 AC,所 以，A C,D,DcBD=D,D、D,BDu平 面
33、 8 O Q,二 4。工 平 面 8。，；.A C=(-2,2,0)为 平 面 B O Q 的 一 个 法 向 量.,.cos,MACr,n)、=-A-C-n-6 G=T=-产=-,ACn 2平 面。B R 与 平 面 E B R 夹 角 不 超 过 90,故 平 面 与 平 面 EB。夹 角 的 余 弦 值 为 也 2(2)假 设 在 线 段 B C 上 存 在 点 尸，使 得。尸/平 面 BRE.CF=2CB,(2 e 0,1),CB,=(2,0,2),DF=D C+CF=DC+ACB,=(0,2,0)+2(2,0,2)=(22,2,22),。尸/平 面 BE,.I O F，BP D F
34、n=0,.(2/1,2,2A).(2,-i,1)=0,即 62 2=0,解 得 4=g w 0,，在 线 段 8 c 上 存 在 点 尸，使 得 O F 平 面 B A E,此 时 点 尸 为 线 段 g C 上 靠 近 点 C 的 三 等 分 点.2 0.甲、乙 两 人 组 成“新 队”参 加 猜 成 语 活 动，每 轮 活 动 由 甲 乙 各 猜 一 个 成 语，已 知 甲 每 轮 猜 对 的 概 率 为 P,乙 每 轮 猜 对 的 概 率 为 4(。夕).在 每 轮 活 动 中，甲 和 乙 猜 对 与 否 互 不 影 响，各 轮 结 果 也 互 不 影 响.已 知“新 队”在 一 轮 活
35、 动 中 都 猜 错 的 概 率 为 9，只 猜 对 一 个 成 语 的 概 率 为;.(1)求 P M 的 值;(2)求“新 队”在 两 轮 活 动 中 猜 对 2 个 成 语 的 概 率.【答 案】(1)2p=31q=一 2嗯【分 析】(1)根 据 相 互 独 立 事 件 发 生 的 概 率 公 式 求 解；(2)分 情 况 讨 论，根 据 相 互 独 立 事 件 发 生 的 概 率 公 式 计 算.【详 解】(1)都 猜 错 的 概 率 为(1-。)(1-幻=!，即 p+q-pq=3，6 6只 猜 对 一 个 成 语 的 概 率 为(1 一/+(1-=；，即，+4-2%=；，7 2p+q
36、=_ P-所 以 1 6 解 得：.,w=3 r i(2)“新 队”在 一 轮 比 赛 中 猜 对 2 个 的 概 率 为 1-工=!，6 2 3所 以“新 队”在 两 轮 活 动 中 猜 对 2 个 成 语 的 概 率 为?*!+底?+院:=?.3 6 6 3 2 2 3621.设 等 比 数 列 6 的 前 项 和 为 S,且 凡”=2S,+1,(eN)求 数 列 为 的 通 项 公 式；在。，与。向 之 间 插 入 个 实 数，使 这+2 个 数 依 次 组 成 公 差 为 4,的 等 差 数 列，设 数 列 的 前 项 和 为 T.，求 证：丁“妹.O【答 案】4=3T(2)证 明 见
37、 解 析【分 析】(1)利 用 数 列 的 递 推 关 系 和 等 比 数 列 的 性 质，即 可 求 出 数 列%的 通 项 公 式；(2)根 据 等 差 数 列 的 性 质，可 得 4,=一，可 得 7=不 干，再 利 用 错 位 相 减 法 即 可 得 出.7 2+1 C ln 2 3【详 解】U)解：4IU=2 S“+1 时，勺=2L1+1 =%+12 2=%=3a(n2)而 4=2 q+l,由%为 等 比 数 列，.2q+1=3 6=q=1,(2)解：dt l=,+1 n+1 _+1%=2.3 72 3 4 n n+小=寸 寸 后+”.+声+1 _ 2 3-1 n n+T“=-H-+
38、-I-7-F-3 2-31 2-32 2 3”-2 2 3小 2 3”2 _ 1 1 1+1 F=l+9+士+厘-打 iLflY-1,6 U J J”+1 1 n+1=5_2n+5=1+-一 方=1+门 一 疗 4 4.3-3.15 2/1+5 15 8 8 3T 82 2.已 知 椭 圆 C的 中 心 在 原 点，一 个 焦 点 是（-2,0）,一 个 顶 点 的 坐 标 是（0,夜 求 C的 方 程.设 动 直 线：丫=丘+力 与 椭 圆 C相 切 于 点 P,且 与 直 线 x=3交 于 点 Q,证 明：以 尸。为 直 径 的 圆 恒 过 定 点“，并 求 出 M 的 坐 标.【答 案】
39、鸟+$=16 2 M（2,0）,证 明 见 解 析【分 析】（1）根 据 椭 圆 几 何 性 质 可 得 c=2,b=应，进 而 可 求.=而，（2）联 立 方 程，根 据 判 别 式 为。得 病=2+6 K，进 而 可 得 尸（一 与。，Q（3,3Z+M，根 据 向 量 垂 直 的 坐 标 运 算 可 得 小+/一 3x+2+（x-2）-B-+3+m y=0对 任 意 的 玄 加 恒 成 立，即 可 求 解 定 点.7 m 穆？【详 解】（1）由 焦 点 是 耳（-2,0）,可 知 焦 点 在 x轴 上，故 设 椭 圆 方 程 为 三+3=1（。），有 题 意 可 知 C=2,力=y/2,故
40、=限，2 2故 C的 方 程 为 三+工=16 2(2)联 立 兰=16+2 n（l+3 公 产+6 加 a+3苏-6=0,y=kx+m故 D=（6叫 2-4（1+3/）（3/-6）=0,化 简 得 加=2+6炉,/3mk 6k,m设 P（X。，儿），贝 I JX=-T75F=-藐，%=5+=-?75?故,中（3,3%+加），设 M（x,y）,则 P M?2 M 1_ 2,=一，m喏（”3）+|彳 1-（3*+m）=0,化 简 得 v+V-3x+2+（x-2）华-1+3&+根 y=0对 任 意 的 匕 山 恒 成 立，故 满 足 x2+y2-3x+2=0 rfx=2,x-2=0=故 以 P Q
41、 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 M 且 M（2,0）,y=0 I【点 睛】本 题 考 查 了 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，圆 锥 曲 线 中 常 涉 及 范 围 或 最 值 问 题，以 及 定 点 定 值 问 题.根 据 题 意 构 造 关 于 参 数 的 目 标 函 数，然 后 根 据 题 目 中 给 出 的 范 围 或 由 判 别 式 得 到 的 范 围 求 解，解 题 中 注 意 函 数 单 调 性 和 基 本 不 等 式 的 作 用.另 外 在 解 析 几 何 中 还 要 注 意 向 量 的 应 用，如 本 题 中 根 据 向 量 的 垂 直 关 系 得 到 点 的 坐 标 之 间 的 关 系，进 而 为 消 去 变 量 起 到 了 重 要 的 作 用.