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1、2022-2023学年江苏省宿迁市高二上学期期末调研测试数学试题一、单选题I .在等差数列%中，4=6,即=0,则4的 值 为()A.1 8 B.2 0 C.2 2 D.2 4【答案】B【分析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为d,由题意得：%-%=3d=-6,解得：d=-2,所以4=4-74=6 +1 4 =2 0.故选：B2 .若直线：以+2 勺+1=0 与直线/2：(a-l)x-(a+l)y-l=0 垂直，贝 I J a的 值 为()A.0 B.-1 C.-2 D.-3【答案】D【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系即可求解.【详解】直线4：ar +2
2、ay +l =O 与直线/2：3-1)-(0 +1*-1 =0 垂直，当4 =0 时不满足，当4 H 0 时，a(a-l)-2 a(a+l)=0,解得。=一3.故选:D.3 .若直线/：x+y+a =0 是曲线C：y =x 2 1 n x的一条切线，则实数。的 值 为()A.-3 B.3 C.-2 D.2【答案】C【分析】根据导数的几何意义分析运算.2【详解】y=x-2 n x,则了=1 ,X2设直线/与曲线C 的切点R x。,%),则直线/的斜率 =y k =1 一,X()I 2 ,由于直线x+y +a=0 斜率为-1,则1-=T,解得=1,所 以%=l-2 1 n l=l,即切点为(1,1
3、),故 1 +1+。=0,解得 a=2.故选：C.4 .体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构.如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为），=日x,上焦点坐标为0,羊，那么该双曲线的标准方程为（）A.=1B.C.=1D.宜旦=14 4y2 3M-=14 4【答案】B【分析】设双曲线的标准方程为工a b根据题意求出。、8 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线的标准方程为-p-=l(a0,/?0),因为该双曲线的渐近线方程为I 冬，则/冬又因为该双曲线的上焦点坐标为所以，a=空,b=2,因此，该双曲线的方程为止 一 片=1.3
4、 4 4故选：B.5.圆O：/+2=1 与圆c：x2 +/-8 x-6 y +22=0 的公切线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】先判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数.【详解】由圆O：Y+y2=,可得圆。的圆心为（O R）,半径为1,由圆C:X?+y-8 x-6y+22=0,可得圆C 的圆心为（4,3）,半径为石,圆。与圆 C 的圆心距1=，（4-0）2+（3-0）2 =5 1 +石，.圆。与圆C 相离,故有4 条公切线.故选：D.6.已知数列 4 是各项均为正数的等比数列，若应，。2 2 是方程-3*+2 =0的两个根，则1 0 g2 4 +lo g,a2+lo
5、 g,a3+lo g,a20 23 的 值 为（）2 0 2 3 2 0 2 3A.B.C.2 0 2 3 D.1 0 2 23 2【答案】B【分析】由韦达定理，可得4%）2 2 =2,后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理，可得4=2,由等比数列性质可得巴-4 0 2 f =2，n e 1,2 0 2 3 ,n e N 设 5 =lo g2 q +lo g2 a2+lo g2 4 +lo g2 a2O23,则 2S=lo g2 q +lo g2 2 0 2 3 +l oS2 a2+lg2。2 0 2 2 +1 S2 2 0 2 3 +l oS2 4，得 2s=lo g2
6、（6 7,a2O23-a2-a2O22 a20 23 q）=lo g2 22 0 2 3=2 0 2 3 =S=2 2.故选：B-27.已知双曲线6 。）的左、右焦点分别为5，J,过 片的直线/与圆O:x2 +y 2=/相切，直线/与双曲线左右支分别交于48两点，且/耳88=?,若双曲线C 的离心O率为e,则/的 值 为（）A.13-6A/3 B.6A/3 C.8-6/D.6【答案】A【分析过。作O T，/交/于T,过心作与用，/交/于M，利用双曲线的定义和性质、离心率的计算公式求解即可.【详解】过。作O T L/交/于T,过尸2 作月用，/交/于M，由题意可得|叫=，|片。卜 c,所 以 助
7、 卜 7?二7=匕，因为。是 中 点，所以悭 段=4目=2 f l,|网=2|=力,又因为/48 居=4,所以忸M|=26 4,怛图=4 a,62由双曲线定义可得|斫|一|名|=2 a,即劝+2 后-4。=2 a，,2=+，e 2=,联立可得/=13-66.故选：AA 7 -8.已知=I n ,b=,c =e，则()7 13A.a b c B.b a cC.h c a D.a c b【答案】D【分析】注意到I n9 0,0.7 13后构造函数 x)=l n(x+l)x,可判断6 与 c 大小.A 7 6【详解】注意到I n-0,e 7 0.则a b,a 1.则尸（、）=M-xx+l得/（X）在
8、（-1,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减.则 小)/(0)=0 n I n图 67.2_ 6 7 6又函数y =e 在R上单调递增，贝！J/E e-7=彳，即b c.故a vc vb.13故选：D【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构造函数.二、多选题9.已知数列也 的前“项和S,=-2+31，则下列说法正确的是（）A.a“=2n+32c/+%+%+/_7 生+。4+。6+a2 6【答案】ACB.5口为S,中的最大项D.国+同+同+1goi=430【分析】根据题意，先由S”求 得 然 后 根 据 等 差 数 列 求 和，以及性质逐
9、一判断，即可得到结果.【详解】对于 A：当”=1 时，a,-3 0；当“2 2 时，a=S-S_t=-In +32,经检验，当”=1 时，=-2+32=30,故 a“=-2 +32,A 正确;对 于 B：令q=-2 +3 2 2 0,则“4 1 6,故当”17时，-!时，户x）存在单调递增区间B.当a -。时，/（“）存在两个极值点C.a W-!是/（X）为减函数的充要条件D.V aeR,f（x）无极大值【答案】AC【分析】由题，x 0,f （x）=ax+1 -=6 +X 7X X设 g（x）=2 +X-1,X 0.A选项，判断当时，g（x）0在（0,田）上有无解即可；B选项，判断当时，g（x
10、）=O在（。,+8）上是否有两根即可；C选项，由充要条件定义验证即可判断选项正误；D选项，由A选项分析可判断选项正误.【详解】由题，x 0,/（6 =公+1 -1=+1.X X设g （x）=ax2 4-x -1,x 0.A选项，当且。工0时，方程g（x）=。的判别式4 a +l 0,则 g（x）=O的两根为玉=T -.当-；。超 0，则g（x）0的解为伍,王），则此时f（x）存在单调递增区间（工2，*|）;当a 0时,xi 0 0的解为（w，+oo）,则此时/（X）存在单调递增区间（,4 00）；当0=0时，g（x）o的解为（1,+0,则此时八X）存在单调递增区间（1,一）.综上：当时，八%）
11、存在单调递增区间.故A正确：B选项，由A选项分析可知，当-：0时，,八x）存在唯一极值点/；当a =0时，f（x）存在唯一极值点1.故B错误.C选项，当aW-；,g（x）40在（0,+e）上恒成立，得八x）为（0,+功上的减函数；若户x）为（0,+功上的减函数，则/（x）0在（O,+a）上恒成立，z i Y 4-Y 1 /、。0 1得-（x）a-.x）4。+10 4综上，aW-J是/（x）为减函数的充要条件.故C正确.D选项，由A选项分析可知，当-；a 2-忘y-4 =0可得y =2夜，或丫=-应，即 =-代入y =2应x-2虚，可得=；,即所以|凶=/2-一+仅四+夜=1,故选项C正确；,2
12、&+&0h,2y/2+y2 y/2因为“N=2 _ i =PN=n_i=T 心。=0，2 T-2所以 t a n 2 Z P N Q =六党=2 =心=,-2所 以 2 N P N Q =N M N Q,所以PN平分/MN。，故选项D正确.1 2.若圆 O:/+y 2=i,A(-L O),8(1,0),点 尸 在直线/:x+y-2 =0 上，则()A.圆。上存在点N使得归时=夜B.圆。上存在点M使得Z O P M =4 5C.直线/上存在点P使得|酬+|冏=31 P A iD.直线/上存在点尸使得扁=3【答案】A B D【分析】A选项根据点到直线的距离公式可求解，B选项当PM与圆相切时符合题意
13、，C选项利用对称性可以判断，D选项当P点坐标为(2,0)时符合题意.【详解】对于A,圆心到直线的距离为=m=0,故+圆。上存在点N使得|/W|=0 ,A正确；对 于 B,过户作圆。的切线，切点为Q,则$出/。尸。=黑=焉4*，N O P Q 4 4 5。，故当/WX-/1 乙与圆相切时，NOPM=45,B正确：对于C,设点B关于直线/的对称点为点9，则8 （2,1）P+PB =PA+PB A B =y/w 3,故 C 错误；对于D,当P点坐标为（2,0）时，|网=3,|阳=1,故 线-3,故 D正确.PB故选：A B D.三、填空题1 3 .在数列 ,中，q=l,all+t-an=n,neN*
14、则即=【答案】4 6【分析】利用累加法求解即可.【详解】由a,-a =n,则有a-a,2）,所以当“N 2 时，a=（4 _。1）+3一生）+（“4 _%）_1-H（an a-）+ai=1 +2 +3+-1 +1所以4 o=4 6,故答案为：4 61 4 .过点（3,2）的直线/,被直线4：2 x-5 y +9=0,/2：2 -5）-7 =0 所截得的线段48的中点恰好在直线x-4 y-1 =0上，则直线/的方程为.【答案】x-2 y +l =0【分析】先求出线段A8的中点，在求出直线/的斜率，最后用点斜式即可求出直线/的方程.【详解】设 A8中点为因为4 区,所 以 M 在直线2 x-5 y
15、 +l =0 上,由M 在直线x-4 y -1=。上,联立可得 2x-(5y+八 i=0，解得 x=-3 即A3 中点为/(3,-1),x-4 y +l =0 y =T所以直线/的斜率4=碧=3,所以/的方程为y =；(x-3)+2,即x-2 y +l=0.故答案为：x-2 y +l =0.1 5.己知椭圆C：，+r =l(“6 ()的左、右焦点分别为，鸟，过 B作x 轴的垂线，交椭圆于点 p,若直线尸片的斜率为:，则椭圆C的离心率为_ _ _ _ _ _ _ _ _.4【答案】1#0.5【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可.【详解】由题意可得6(-。，0),玛(c,0),工、a
16、,因为P _ L x 轴，且“%0,所以P c,-0 2则*：。J=3 ,PF c-(-c)lac 4又。2 =匕 2 +0 2，联立得2 c 2 +3a c -2/=0,所以2/+3e2 =0，解得e=g或-2 (舍去),故答案为：；1 6.若不等式如2 _ 小l n x 2 0 对恒成立，则实数用的取值范围是.【答案】-2 如2,也)【分析】当机川时显然成立，当机 0,时，/n r2 0 ,-e1 Vl n x 0,所以皿2 -e“I n x 2 0恒成立；当m =0,x e(。，；时，I n x N O恒成立；当机 0,x e|0 时，由7 n x 2-e，i n x 2 0可得一2 J
17、对恒成立，2 I n x mx I 2 _构造则-”)=喘，所以当0 f e时，/e时，/0,/单调递增，又0 x g e,0 em t/(era),由单调性可知x 4 e“，整理得，2处 对x e(0,恒成立，x V 2 _令 g(x)=(，x e(o，g，则 g(x)J a X，所以当0 0,g(x)单调递增，所以，2 g(x)1 rax =g(；)=-2 1 n 2,综上，实数m的取值范围为-2 l n 2,4 w).故答案为：2 I n 2,+8).【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调
18、性、极(最)值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为一匚2二，再构造函数，问题就会迎刃而解.I n x mx四、解答题1 7.已知正项等比数列%的前项和为S,4=2,且.请在5 2 +&=2 0；&是 生 与 小 的等差中项；2 a?+%=1 6,三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求解下面的问题：(1)求数列 为 的通项公式;若勿=(/i +l)1 0 gA,求 数 列、的前项和，.【答案】”n +1【分析】(1)根据等比数列基本量的计算即可逐一求解，(2)根据裂项求和即可求解.【详解】(1)选:当4=1时，不符合题，当#1 时，处3 1+但=20则”皿+史必Hl=20,l-
19、q 1-47 1-0,时,r(x)0.得 x)在(0,上单调递增，在(当，兀)上单调递减，则函数f(x)在x=g处有极大值，满足题意，故/(x)=x+2 s i n x.(2)当xe 0,2兀 时，令/,x)。，得x e 0,U,2,令r(x)/3 j =0.故函数f(x)在 0,2兀 上的最大值为2兀，最小值0.1 9.已知圆 ：(x-l)3+(y-2)2=4,直线/过点 A(3,2).(1)若直线/被圆所截得的弦长为2月，求直线/的方程；若直线/与圆交于另一点8,与x轴交于点C,且A为BC的中点，求直线/的方程.【答案】3-3 y+6-3后=0或 岳+3 y-6-3 6 =0(2)l：y=
20、-x+5.【分析】(1)根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解，(2)根据中点坐标公式即可根据点8在圆上求解C(5,0),进而可求直线方程.【详解】(1)当直线斜率不存在时，/:x=3与圆相切不符合题意，舍去.当直线斜率存在时，设直线/：丫-2 =左(-3),即依7 +2-3%=0,圆心坐标为(1,2),由弦长为2退 可 知，圆心到直线的距离为1,即也一；：2一网=1,所以k=立收+1 3则直线/方程为6 x-3 y +6-3 百=0 或 后+3 y-6-3 =()(2)设C(r,0),因为A 为3 c 中点，则 B(6 f,4),由 B在圆 M 上得(6 f 1)+(4 2)=4即
21、f=5,贝 i C(5,0).7-0所以直线/：y-0 =；(x-5)即直线/：y=-x+5.22 0.己知数列 4 的各项均为正数，前项和为5“，S”=纹 詈 .(1)求数列%的通项公式；(2)设bn=2+(-1)如，求数歹IJa 的前项和T.【答案】(1)q=2 7；=2用 _ 2+(-1)”_ 【分析】(1)根据S,M”的关系可得4,-4I=1(22),进而根据等差数列的性质即可求解，(2)根据并项求和以及分组求和即可求解.2 2【详解】(1)由得2 2 时，5%2 22 2两式相减得q=%生詈,整理得4,+的=&+的)(%-的)因为4 0,所以4-4,T=1(N22),所以数列 4 是
22、以1为公差的等差数列2在S“=4*中令=1解得4=12所以 q,=l+(n-l)=n(2)b=2+(-1)n2令数列(-1)/的前”项和为工当为偶数时，/,=(-12+22)+(-32+42)+-(-l)2+n2=(2+l)(2-I)+(4+3)(4-3)+(2-1)一 (-1)=1+2+3+4+5-1)+几=2)_n+n2当”为奇数时，+1为偶数，弋=4 川-5 +1/=心半型-(+1)2=-反 产 即勺=(-1)詈2所以 7；=2向-2 +(-1)安 士2 1.设抛物线。：/=2内(2 0)的焦点为尸，点矶夕,0),过户的直线交抛物线C 于 A B两点，当直线A E L x轴时，|AF|=
23、2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AE,BE与抛物线C 的另一个交点分别为点R,S,记直线AB,RS的斜率分别为匕，后，求善的值.k2Q【答案】丁=(2)2【分析】(1)首先求出A 点坐标，再根据抛物线的定义得到方程，求出。的值，即可得解；2(2)设A(X1,y),B(x2,y2),/?($,%)，$(%,%)，设 A 8的方程为=冲 +1(冲 0),联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出卷,从而得解.【详解】(1)解：当直线AE_Lx轴时，令x=P,则 丁=2/，解得),=&p,不妨取A(p,&p),因 为|叫=2,所以0+勺2,解得/，=：,所以C 的方程为y 2=x；
24、(2)解：设A(X1,yJ,B(x,y2),R(玉,),S(x4,y4),由题可知直线A 8斜率存在且不为0,故设A B 的方程为x=，孙+；(机二0)联立V=，得 V-冲 弋=0,r,8机 16则有 X+%=彳，乂%=，_4直线AE方 程 为r_X|-3 v,4,x-y 十 彳X 3o T_4*3 2联立得人号二八四=0,则.=一 所以 3=一嬴,3 y l 9,3 2同理可得为=一 丁，9%/y 3 f _ y3f J _ i _因为博幻3%+”3 ”2 =14 y,+y2 2m，又因为*产上，ink.c所以7t=2.k22 2.已知函数/(x)=2 +l n x.(1)讨论函数/(x)的
25、单调性;若函数f(X)有两个零点，三且不 2占 二o e.【答案】(1)答案见解析；(i)0 -；(i i)证明见解析e【分析】(1)对/(力 求导，利用导函数的正负讨论单调性即可；(2)(i)利用/(可 单调性及零点存在性定理求解即可；(i i)要 证 明 应-,只需证明,构造函数9&)=6 2-2 x+e,不妨设一元二次方程g(x)的两根为七，匕且石 x2 aX3 之，即可.a a x x2【详解】(i)由题意可得f(x)的定义域为(o,+8),r(x)=-点+：=?，当a 4 0时，制x)0恒成立，“X)在(0,+句单调递增，当a 0时，令/(x)=0解得x =a,所以当0 x a时，/
26、(x)a时，/)0,f(x)单调递增，综上，当a 4 0时，x)在(0,+8)单调递增；当”0时，“X)在(0,“)单调递减，在(。,舟)单调递增.(2)(i)由(1)可 得 当 时，f(x)在(0,+s)单调递增，此时/(x)至多有一个零点，故a 0,若函数/(x)有两个零点斗王，则/(力由=/(a)=ln a +l 0,解得0 a 0,/(/)=：+2 1 n a,令g(0)=：+2 1 n a,所以g )=一 十+=笔1 g(j =e-2 0,即/0,所以当0 4 2中2 a-状,只需证明 !_J。四),%x2 a1 1 1 1由(i)可知芭 一a，,2=x一 0 ,所以9(x)有两个零点不，心，不妨令三 ln e +=2,gp /,I n/,-2/,+e 0 ,%e又 叫=ln*所以的2-2 q+e o,即。0,所以外 匕，同理可得夕(幻(),所以月 也应，再构造函数W x)=G：2-2 x+e,利用一元二次方程e(x)的x x2 a两 根 之 差 的 绝 对 值 得 到 一 ),再 利 用 )中结论放缩即可求解.