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1、2022 2023学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛 物 线 的 准 线 方 程 是()A.k2 B.片 一 2 c.D.V=T【答案】D【解析】【分析】根据抛物线准线方程的概念即可选出选
2、项.【详解】解:由题知一 二4 y,所以2=2,且抛物线开口向上，所以其准线方程为:丁 二 -1.故选:D2.双曲线 3 的渐近线方程是(),V3，1A)”一 丁 B.尸 土 后 C.尸3x D.-V=3 V【答案】B【解析】【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.犬 一 片=1 r r【详解】在双曲线 3 中，a=l,6=,3,因此，该双曲线的渐近线方程为丁=J3x故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.3.在V轴上截距为-2,倾斜角为60的直线方程为()A y/3x y 2 0 g x f3y 2柩=0Q y/3x-y+2=0 D x-/y
3、+2=0【答案】A【解析】【分析】根据斜截式直接整理可得.【详解】因为倾斜角为6 0 ,所以斜率左二百.由斜截式可得直线方程为：丫 =瓜-2,即G x-y-2=0故选：A4.中国古代数学著作 张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了 700里路，则该马第七天走的里数为()350 700 1400 2800A.国 B.而 C.市 D.而【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求得结果.【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，设 第 天
4、 行 走 的 里 数 为%,则 数 列 是 公 比 为 5 的等比数列；由七天一共行走了 700里可得 244800 _(1 Y _ 44800 1 700解得=下厂，所以%，=丁讶=由,700即该马第七天走的里数为127.故选：B5 .已知函数/G)=s m 2 x,则 AJC()13A.2 B.1 C.2【答 案】B【解 析】【分 析】根据导数的定义以及复合函数的求导法则即可求解.D.Gl i m【详 解】由导数的定义可知/,(x)=2cos2x故选：B6 .已知集合A和B分 别是由数列V”+3 和 的 前i o。项 组成，则ZcS中 元 素 的 和 为()A.270B.273C.363D
5、.6831【答 案】A【解 析】【分 析】先 求 出 数 列 4 +3 和 的公共项，满足公共项小于等于数列 4+3 的I。项，求出项数,然后再求和.【详 解】设 数 列 4+3 的第?项与数列即4机+3 =3 ,所以_(4-1 -3 _ 中(-1)+C：4-(-1)+。4-2 (-J +.+d(1 +仁4。(-1)-3Z 7 7 -44又 因 为 九 w N ,所 以 2 +l(e N)所 以 数 列 4 +3 与 数 列 的公共项构成的数列为又 因 为 4 +3 的 第i o。项 为4 0 3,而3 2 7 6 0）7.已知4”分别为椭圆 a-b 的左、右顶点，点尸在直线x =。上，直 线
6、 网 与0的另外一个交点为，为坐标原点，若PLBQ,则C的离心率为（）J.也 也A.3 B.2 C.2 D,2【答案】C【解析】P（a y=（X+a）【分析】由题，设 人 可得直线P/方程为：2a，,将其与椭圆方程联立，后利用韦达定理可表示出。坐标，后利用“可得答案【详解】由题，设尸3 ）,因/（一/）,则直线正/方程为:将其与椭圆方程联立:f(x +a)7 +=1 片 ,消去y并化简得:(4 b2+产)x 2 +2at2x+a2t2-4 a2b2=0V 7,由韦达定理有:3与a2(t2-4 b2)4 b2+t2.又 肛=aXQ则。4 b2+t2y代入五()Q可得a(4 -J)4 fb24/,
7、2+t2 4 b2 +/2/P Q则-2at24 tb2 14 b2+t2 4/+t2,O P=(a,t)又。P L B Q,OP BQ 则4法22以24 b2 +12=0 =2b2-a2e2=fL =不-b，_ Z 2 _ 1 7 2则 a2 a2-2 一 5 =T故选：C8 已知a=0.9 9-l n0.9 9,b =l,c=1.0 1 1.0 iinL0 1 刚，、A.abc c h aC.bca D,ba0,利用导数可得/(x)在(0,1)上单调递减，从而有“0.9 9)1)=1,即 外 令g(x)=x r l n x(x0),利用导数可得g(x)在口,+0 0)上单调递减，从而有g(
8、L0 1)g(l)=l,即c 0,则有=所以当0 x l时，/(x)1时，八 幻 0,小)单调递增；所以“0.9 9)1)=1,即有0.9 9-l n0.9 9 l,故“g令g(x)=x _ _ dnx(x 0),则？()=一(1+1)=_ 山丁所以当0 x 0,g(x)单调递增；当x l时，g(x)0,g(x)单调递减；所以g(L0 1)g=1 ,即L(H 1.0 1 1 nL0 1 0,解得 4|a T 0|=4所以Ml 明的前 16 项和为(1-%)+(1-%)+(1-%)+(%-1)+(%叫-,+际-10)=(6 +4+2)+(0+2 +4 +-+2 4)=12+(+24)13=16
9、8 2 ，故D正确,故选：ACD11.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若/（X）的图象是一条连续不断的曲线,/），/G）的导函数/（X）都存在，且/（X）的导函数（X）也都存在.若上。e（力）,使得/（X。）=，且在与的左、右附近,/G）异号，则称点（X。，/（X。）为曲线歹=/（x）的拐点.则以下函数具有唯一拐点的是（）/（x）=（x +l）2/（X）=X3+2X2+3XD.c f(x)=xexD /(x)=In x +x?+s i n r【答案】BCD【解析】【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号
10、零点即可.详解】关于选项A：x)=(X +1)2 ,所 以/G)=2(X +1),/()=2叫根据拐点定义可知，=/()没有拐点；关于选项 B：/(X)=/+2厂+3 x,所以/(x)=3 x +4 x +3,2即+4 =0,解得，且5高 时,小)。,故(为夕=/(x)的拐点；关于选项 C：/(x)=x e/(x)=(x +l)e 令/)=G+2)e=,解得 x =-2,且 x 8,-2)时 J(x)0故(一2,/(一2)为 丁 =/(x)的拐点；关于选项.+“加小)十2/(x)=-y+2-s i n x%j/-=-2-s i n _ 0 /.x 1.1 A因为 UJ 2 /(1)=1-s i
11、 n lo,所以 e (2/使 得 了 a)=成立，由 于/G o)在(0,+8)是连续不断可导的，所以/(%)在+)有异号函数值，故7=/G)存在拐点.故选:BCD12.在平面直角坐标系X。中，已知椭圆4 3 的左、右焦点分别为月，与，点A,凤。在椭圆上，且0 4 _ L 0 8,则（）A.当尸不在x轴上时，尸百鸟的周长为6B.使 村 鸟 是 直 角 三 角 形 的 点 尸 有4个AB=3%,所以，=3 _故答案为：31 5.已知函数/(x)T1 1 r一以一1,若/(x)4 恒成立，则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】L e-)【解析】八 I n x-1 aJ l n x-1 分 析/
12、Q)0恒成立即 X在(&+/)上恒成立，只需V X L a x即可，构造新函数求导求单调性及最大值即可.【详解】解:由题知/(X)，恒成立，即h u-o r-l W O在(0，+。)上恒成立，八 l n x _ 1 q Jl n x .l 即 X在 +)上恒成立，即I X人a x,g(x)=g g，(x)H l)=空记 X ，所以 X2 X2,当x e(0,e )时 g(x)O,g(x)单调递增，产伫+o o)时,g )O,g(x)单调递减,所以 g()g(e)5,ae-T，+o o j所以L e-)!+8)故答案为:L e )W已知抛物线V=4x的焦点为凡”为 上点，以线段叱为直径的圆C与E
13、交于另外一点N，。为圆心，。为坐标原点.当 N O C时，N的长为，点C到 了 轴 的 距 离 为.3+亚【答案】.1 .2【解析】【分析】易知焦点尸（1，）,根 据 在 抛 物 线 上 设 出 坐 标，易知圆心C为心的中点即可求出仆 J+4 2?I 8 2J,由MN/O C利用斜率相等可得凹为=4,再根据直径所对的圆周角为9 0 可得MN LN F ,即仪 八以，利用向量数量积为。可 得 于 一 靖+1 6 =0,联立及可解得乂2=8+4石,3+亚根 据 两 点 间 距 离 公 式 可 得=点C到N轴的距离为其横坐标的绝对值等于 2 .W，凹N匡，必、【详解】由题意知K N在抛物线上，设 1
14、 4 人 1 4 人如下图所示：疗+4及 抛物线焦点尸Q）,圆心为 叱 的 中 点，所 以I 8 2）-了2 =2由 M N/O C 可得拆w =k（）c，即 4 4 84 =4 乂整 理 可 得%+%乂2+4,即 必 必=4；又 因 为?为 直 径，且点N在圆C上，所以MN LN F ,又因为MN O C,所以O C _ L N F,可得O C FN=0,又利空图，丽=（中,+4*%2 4门 科=0 2 2 ,C即8 4 2 整理得为 一,+16=0,联立“%=4可得必4-16必2-16=0,解得乂2 =8+46或弘2 =8-4石0（舍）%14;4 1所 以4%2 8+4/5 2+亚,因jL
15、22=b W+盛邛-4夙4 5 2）;m_ 8+4V5+4_ 3+V58 23+亚故答案为：1,2【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何关系实现从形到数的转化，将直线平行转化成斜率相等,将直径所对的圆周角为直角转化成向量数量积为0,从而得出坐标之间的等量关系在进行计算求解.四、解答题：本题6 小题，共 70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.17.在为=9,S5=20，%+为=13这三个条件中选择两个,补充在下面问题中，并进行解答.已知等差数列 的前项和为S,，e N*,（1）求数列 的通项公式；（2）设“牝+1 ,求数列色；的前项和2注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分
16、.【答案】%=+LGNT=-2（+2）【解析】【分析】（1）根据 是等差数列，设出公差为“，选择两个选项，将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量，写出通项公式;（2）根据（1）中的通项公式，写出 4 的通项，利用裂项相消即可求得前项和九【小 问1详解】由 于 应 是等差数列,设公差为4,依=4 1+7 /=9 幅=2当选时：H=5%+1 O d =2 0,解得j =1 ,所以J的通项公式4=2+(7)x l =+l,e N%=6 +7 1 =9 4=2选时:”2+%=2%+9 d =1 3,解得 j d =l ,所以 4的通项公式%=2 +(一l)x l =+l”N*S5=5q +1 0 d
17、 =2 0 ax-2选时：1 4 2+%=2%+9 4 =1 3,解 得(=1 ,所 以 也 的通项公式4=2+(-1)X1=+1,GN【小问2详解】由知，%=+Le N*,=-1-=1=_L所以 的“+1(+l)(+2)n+2所 以 北 叫 一 扑 一（1 +.+（击A1 1 n-2 +2 2（7 2 +2）1 8已知圆 ：X2+V+2X 6N+5=,圆 g：x 2+y 2 _ i 0 x +5 =（1）判断G与。2的位置关系；（2）若过点*，4）的直线/被G、G截得的弦长之比为1:2,求直线/的方程.【答案】外 切（2）x-y +l =0或x +5 y-2 3=0【解析】【分析】（1）计算
18、出I G G I,利用几何法可判断两圆的位置关系;（2）对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直线验证即可：在直线/的斜率存在时，设直线/的方程为去一+4-34=0 ,利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于k的方程,解出左的值，即可得出直线/的方程.【小 问1详解】解：圆a：（X +1）+3 -3）一 =5的圆心为G（T 3）,半径为a=石,圆。24-5）+必=2 0的圆心为G（5,0）,半径为弓=2石因为|G G|=7（-I-5）2+（3-O）2=3有=（+弓，所以圆弓与圆G外切【小问2详解】解：当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为*=3,直线/与圆G相离，不符
19、合题意;当直线/的斜率存在时，设/的方程为丁=（一3）+4,即幻c-+4 -3左=0,则圆心G到直线/的距离为所以，直线/被圆G截得的弦长为直线/被圆G截得的弦长为由题意可得口 +4|丫J +1 )22心 1即4（-&）=（24）,解得 X 或左二一二k=-经检验，”=1或 5均符合题意.所以直线/的方程为x y +l =0或x +5 y _ 2 3=01 9.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已 知 空 地的 一边 是直 路 余 下 的 外 围 是 抛物 线的一段，Z8的中垂线恰是该抛物线的对称轴，。是的中点,拟在这块地上划出一个等腰梯形/BCD区域种植草坪，其中4 8,C,0均
20、在该抛物线上经测量，直 路 段 长 为60米，抛物线的顶点P到直路4 B的距离为40米.以为坐标原点，4B所在直线为x轴建立平面直角坐标系x y.(1)求该段抛物线的方程；(2)当 8 长为多少米时，等腰梯形草坪NBC。的面积最大?y=-x?+40,30 x30【答案】(1)45(2)20 米【解析】【分析】y=小+c,把(30,),0(0,4)两点坐标代入求解即可；C|x,40-x2|(2)1 45 A由梯形的面积公式，可得梯形48C。的面积为5=2(x+30)f 2 0-X21OX3O/(x)=(x+30)f 2 0-x2l o x 30I 45 J,构造函数,I 45 J,求导可知当x=
21、10时，该函数/(X)有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.【小 问1详解】设该抛物线的方程为y=“x2+c,由条件知，5(30,0)1(0,40)c=40c=40 v 2所以i3()2+c=4 0,解 得 45,y=-2 x 9+40,-30 x 30故该段抛物线的方程为 45【小问2详解】由（1）可设C x,40-X2I 4 5,所以梯形488的面积i z(25 =-(2 x +6 0)4 0-2 I 4 524 5、2X7=2(x +30)f 2 0-x2,0 x 30/(x)=(x +设_ _ Lx24 5,0 x 301 r2 4 Y+20-(XT 0)(X+30)贝
22、/一IT(x+2 0-令/()=0解得x =l ,当0元，/（）在（/）上是增函数；当1 0 x 3 0时，/&）处的切线与x轴的交点为（x，+），e N ,且“5.（1）求数列 的通项公式;S 12 5（2）设S”为数列 的前”项和，求 使 得“64成立的正整数”的最小值.【答案】（1）2（2）8【解析】【分析】（1）根据切线方程的求解得切线方程为k 2 x,（x-x,）+x,得%产8 ）,即可判断为等比数列，进而进行求解，（2）根据错位相减法求解S，即可根据S，的单调性求解.【小 问1详解】因为kV所以v=2 x,所以曲线c上点（演，乂）（）处的切线方程为y=2xn(x-xn)+xv-0
23、X,+I=；X （X 令y-o,）于 =g得 2 ，即z 2,i又“2 ,所以 4 是以万为首项，5为公比的等比数列.x -i x f i Y-1-故 “的通项公式为“2 2）2”【小问2详解】nn-x=由（1）知，2”,所以1 2 H 1 1 2 n3 二 I-4-1-,-=r H-1-2 22 2 2 22 23 2+|两式相减得,所以S,=2 -2M+2,%=不 0$S因为 2 ,所以用 ,。.7+2 2 47 12 5。.8+2 2 51 12 5又 邑=2-=该 所以使得 6 4成立的正整数的最小值为8.c x2 人0b02 1.已 知 双 曲 线 彳 一 瓦-的左、右 焦 点 分
24、别 为 耳 勺 且 上 勾=匕 过6的直线/与C的左支交于4 8两点，当直线/垂直于X轴时，”=2 0.（1）求C的标准方程；（2）设为坐标原点，线 段 的 中 点 为E,射 线 交 直 线 =-1于点。，点G在 射 线 上，且即=2O D-O E,设直线片G,g G的斜率分别为勺，右，求的值.=1【答案】（1）2 2(2)1【解析】【分析】（1）根据题意列出关于兄。的方程，解出即可得结果:（2）设直线/的方程为“二 叼-2,联立直线与双曲线的方程结合韦达定理求出E点坐标，根据题意得出y 2 G，由斜率计算公式即可得结果.【小 问1详解】一a将x =c代入双曲线可得由条件知,a22b+h=42
25、=2 72、a解得a2=b2=2尤2/1所以C的标准方程为2 2【小问2详解】设直线/的方程为“=一2,联立f V 12 2=叩 一2消去x并整理得，（病-1-4町+2 =0,w2-l 0时，由g （x）=0得”疡，0X/时8 8）-r-7=I=l n r l=-1（i i）若 2 e,因为。2 a ,且所以g（x）在区间内有一个零点.今h（尤）=I n x x +1 h（冗）=1V，则 X当0 x&（x）在（）上是增函数；当X 1时，（x），（x）在（L+0 0）上是减函数所以，故 1nx I.g =I n-2 1-2 =3 _ y 1所以 va7 a a a a,又。yJ2a所以g（x）在区间l疝 J内有一个零点.综上可知：当“2 5时，gG）有两个零点，故a的取值范围为 外）【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数：（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.