高中数学1理 第二章.pdf

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1、1.从 近 儿 年 高 考 考 题 分 析.本 章 考 查 内 容 丰 富.主:要 考 查 函 数 的 有 关 概 念.函 数 性 质.指 数 函 数 与 对 数 函 数,函 数 的 图 象 及 其 应 用.函 数 零 点.2.函 数 后 方 程 思 想,数 形 结 合 思 想 也 是 高 考 的 热 点.第 二 章 DI ER ZH AN G函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 考 查 内 容 I.本 章 涉 及 的 方 法 很 多.如：克 接 法、消 元 法、配 方 法、构 造 法 等 邮 很 常 见.分 离 常 数 法,换 元 法、特 殊 值 法 也 偶 有 使 用.解 题 方 法

2、 2 通 性 通 函/碳 是 解 决 本 章 试 题 的 笫 一 选 择.命 题 规 律 1.函 数 每 年 必 考,分 值 般 不 少 于 1。分.2.试 题 难 度 不 定.高、中、低 睢 度 的 题 都 彳 r.题 型 多 为 选 择 题 或 填 空 趣.考 频 赎 分 精 教 科 固 基 砒-基 固 为 根 必 备 知 识 1.函 数 与 映 射 的 概 念 基 础 自 梳 函 数 映 射 两 集 合 A,BA,B 是 两 个 非 空 数 集 A,8 是 两 个 非 空 集 合 对 应 关 系/：A-B按 照 某 种 确 定 的 对 应 关 系 f,对 于 集 合 A 中 的 任 何

3、一 个 数 x,在 集 合 B 中 都 有 唯 二 的 数 式 X）和 它 对 应 按 照 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系/,对 于 集 合 A 中 的 每 一 个 元 素 x,在 集 合 8 中 都 有 唯 二 的 元 素 y 与 之 对 应 名 称 那 么 就 称/：A-8 为 从 集 合 A 到 集 合 B的 一 个 函 数 那 么 就 称 对 应/：A-B 为 从 集 合 A 到 集 合 8 的 一 个 讽 射 记 法 y=7(x)，(xGA)对 应/：A-B 是 一 个 映 射 点 拨 映 射 只 能 是 一 对 一 或 多 对 一 的 对 应 关 系.函 数 是 特 殊 的

4、 映 射，两 个 集 合 是 非 空 数 集.2.函 数 的 三 要 素 函 数 由 定 义 域、对 应 关 系 和 值 域 三 个 要 素 构 成，对 函 数 y=Kx）,X G A,其 中 定 义 域：自 变 量 x 的 取 值 范 围；值 域：函 数 值 的 集 合 他）此 川.3.函 数 的 表 示 法 表 示 函 数 的 常 用 方 法 有：解 析 法、列 表 法、图 象 法.4.分 段 函 数 若 函 数 在 定 义 域 的 不 同 子 集 上，因 对 应 关 系 不 同 而 分 别 用 几 个 不 同 的 式 子 来 表 示，这 种 函 数 称 为 分 段 函 数.思 考 拓 展

5、 I.(I)确 定 函 数 的 定 义 域 常 从 解 析 式 本 身 有 意 义，或 从 实 际 出 发.(2)如 果 函 数 y=/(x)用 表 格 给 出，则 表 格 中 x 的 集 合 即 为 定 义 域.(3)如 果 函 数 y=/(x)用 图 象 给 出，则 图 象 在 x 轴 上 的 投 影 所 覆 盖 的 x 的 集 合 即 为 定 义 域.2.值 域 是 一 个 数 集，由 函 数 的 定 义 域 和 对 应 关 系 共 同 确 定.3.(1)分 段 函 数 虽 由 几 个 部 分 构 成，但 它 表 示 同 一 个 函 数.(2)分 段 函 数 的 定 义 域 是 各 段

6、定 义 域 的 并 集，值 域 是 各 段 值 域 的 并 集.(3)各 段 函 数 的 定 义 域 不 可 以 相 交.基 础 自 测 1.(教 材 改 编)函 数 火 x)=4口+=的 定 义 域 为()A.0,2)B.(2,+8)C.10,2)U(2,+8)D.(8,2)U(2,+8)答 案 C1,x0,2.(教 材 改 编)设 於)=0,x=0，则 加 的 值 为()1,x0.A.1 B.0 C.-1 D.7t 答 案 A3.下 列 函 数 中，与 函 数 y=x+l 是 相 等 函 数 的 是()A.尸(5+1 尸 B.yyf+1C.y=1+l D.y=?+l 答 案 J B4.(2

7、019全 国 H 卷 T6改 编)设 函 数 式 x)=F-a，且 式 0)=0,则 4 x)=.答 案/壮 二:产 一 15.(易 错 点)若 函 数 Xx)的 定 义 域 为 1,1,则 y=Hx+l)的 定 义 域 为.答 案-2,0 研 考 点 练 方 法-点 明 为 纲 关 键 能 力 考 点 一 函 数 的 概 念 例 1(1)下 列 各 曲 线 表 示 的 y 与 x 之 间 的 关 系 中，y 不 是 x 的 函 数 的 是()答 案 C(2)以 下 给 出 的 同 组 函 数 中，表 示 同 一 函 数 的 有.(只 填 序 号)Y/i(x)：y=7 及(X)：y=l;1,(

8、2)/i(x)：y=2,lx2,3 Q 2,及(x)：_X xWl lx2 x22y1 2 3y=2x,如 图 所 示.解 析 不 是 同 一 函 数.力 的 定 义 域 为 xGRIxWO,我(x)的 定 义 域 为 R 是 同 一 函 数.x 与 y 的 对 应 关 系 完 全 相 同 且 定 义 域 相 同，它 们 是 同 一 函 数 的 不 同 表 示 方 式.是 同 一 函 数.理 由 同,答 案(3)已 知 A=xx=2,nGN),给 出 下 列 关 系 式：/(x)=x；J(x)x2；/U)=f*；刨 x)=d；/3)=炉+1,其 中 能 够 表 示 函 数 尸 AA的 是.答

9、案 方 法 指 导 I.函 数 的 定 义 要 求 第 一 个 数 集 A 中 的 任 何 一 个 元 素 在 第 二 个 数 集 B 中 有 且 只 有 一 个 元 素 与 之 对 应，即 可 以“多 对 一”，不 能“一 对 多”，而 8 中 有 可 能 存 在 与 A 中 元 素 不 对 应 的 元 素.2.构 成 函 数 的 三 要 素 中，定 义 域 和 对 应 关 系 相 同，则 值 域 一 定 相 同.思 维 变 式 I.下 列 图 形 中 可 以 表 示 以 M=x|0WxWl为 定 义 域，N=)，|OWy l为 值 域 的 函 数 的 图 象 是(答 案 c2.下 列 五

10、组 函 数 中，表 示 同 一 函 数 的 是.(填 序 号)/U)=L A)=y=7U)与 y=/U+1)-I解 析 中 定 义 域 不 同，中 对 应 关 系 不 同，正 确.答 案 J 考 点 二 函 数 的 定 义 域 3 r例 2(1)函 数/U)=+l g(3 x)的 定 义 域 是(A.(3,+0)B.(2,3)B 本 题 考 查 函 数 的 定 义 域.由 题 意 得，C.一 20,3-x 0,)2,3)D.(2,+8)解 得 2V x 3,故 选 B.(2)若 函 数、=/3)的 定 义 域 是 0,3,则 函 数 g(x)=售 的 定 义 域 是()A.0,1)B.0,1C

11、.0,l)U(l,9 D.(0,1)0W3xW3,A 依 题 意 得 即 O W x V I,因 此 函 数 g(x)的 定 义 域 是 0,1),故 选 AJlx1W0,方 法 指 导 1.具 体 函 数 y=7(x)的 定 义 域 _序 号 大 处 解 析 式 定 义 域 1 整 式 R2 分 式 分 母 W03 偶 次 根 式 被 开 方 数 2 04 奇 次 根 式 被 开 方 数 eR5 指 数 式 霖 指 数 GR6 对 数 式 真 数 0;底 数 0且#17 底 数 xWO2.抽 象 函 数(没 有 解 析 式 的 函 数)的 定 义 域 解 题 方 法：精 髓 是“换 元 法”

12、，即 将 括 号 内 看 作 整 体，关 键 是 看 求 x,还 是 求 整 体 的 取 值 范 围.(1)已 知 y=/(x)的 定 义 域 是 A,求 y=/(g(x)的 定 义 域；可 由 g(x)C 4,求 出 x 的 范 围，即 为 y=/(g(x)的 定 义 域.(2)已 知 y=Ag(x)的 定 义 域 是 4,求 y=r)的 定 义 域；可 由 x C A求 出 g(x)的 范 围，即 为 y=/(x)的 定 义 域.3.函 数 定 义 域 问 题 注 意 事 项(1)函 数 式 g(x)的 定 义 域 指 的 是 X的 取 值 范 围，而 不 是 g(x)的 取 值 范 围；

13、(2)求 函 数 的 定 义 域 时，对 函 数 解 析 式 先 不 要 化 简；(3)求 出 函 数 的 定 义 域 后，一 定 要 将 其 写 成 集 合 或 区 间 的 形 式.思 维 变 式 1.函 数 y=普 击 的 定 义 域 是()A.(-1,3)B.(-1,3 C.(1,0)U(0,3)D.(1,0)U(0,3 D 显 然 x#0,而 x=3 有 意 义，故 选 D.2.将 本 例(2)g(x)变 为 g(x)=等，其 条 件 不 变，求 g(x)的 定 义 域.晔 x+3W 3,解.-3*0 且 1 4-1 x+lW O定 义 域 为-3,-1)U(-1,O 考 点 三 求

14、函 数 的 解 析 式 角 度 1 用 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式 例 3 已 知 二 次 函 数 满 足 犬 求 y(x)的 解 析 式.解 析 设./(x)=qx2+6x+c(4*0),则火 1+x)=a(1+x)2+h(1+x)+c=ax1+(2 a+b)x+a+b+c,fi2+x)=a(2+x)2+b(2+x)+c=ax2+(4a+h)x+4a+2h+c.因 为+外+式 2+；0=加+41+3,所 以 2/+(6。+26)%+5。+38+2 C=2+4X+3,2。=2,所 以=1.故 所 求 解 析 式 为 人 r)=2x3 或 J(x)=2x+1.答 案 f(x)=2

15、x3 或/(x)=2 x+l2.如 果 娟=亡，则 当 月 0 且 时，段)等 于()B 令/=：,得*-A0=r=7-r，人*i i1-7/W=3.已 知 函 数 兀 r)满 足 火 x)=?/(1)+x,求 _/(x)的 解 析 式.解 析 由 段)=24：)+x，得 娟=2危)+：，2+义 2 得 人 幻=工+轨%)+?2 1则 加 0=一/_ 乂 2 1 答 案 1 J(x)=-y考 点 四 分 段 函 数 角 度 1 分 段 函 数 求 值/-2*(xW0),15 J 6(1)(2021江 西 南 昌 一 模，4)设 函 数 Hx)=、则 1 5)的 值 为()t/(x-3)(x0)

16、,A.-7 B.-1 C.0 D.1D 贸 5)=/(5_3)=犬 2)=火 2_3)=/(_1)=(_1)2_2-1=3.故 选 口.|sin(x1)兀,x 0,I(2)(2021.山 东 师 范 大 学 附 中 高 三 月 考)已 知 函 数 氏 v)=L 八 贝 1/伏 1。4)，x0,乙=()A.埠 B.邛 C坐 D.一 坐 D AIog14)=X-2)=2-2=1,所 以 州 log；4)=0=sin g-1)兀=sin(潮 一 坐 角 度 2 分 段 函 数 构 成 的 方 程 例 7 设 函 数 段)=、A 1 若 则 b=()7 3 1A.1 B.z C.T D.zo 4 Z5

17、 3若/b5时，7解 得 b=Q,不 合 题 意 舍 去.O5 3 5 若 即 匕 W 菱,则 巧 一%=4,解 得 8=5 1角 度 3 分 段 函 数 不 等 式 x+1,xWO,例 8(2021 陕 西 西 安 八 校 第 一 次 联 考)设 函 数 负)=八 贝 I满 足 式 x)+y(x,2,x 0,1)1的 x 的 取 值 范 围 是.1解 析 当 xW O时，X1 1,l)=x+1+(%-1)+1=2 x+l 1,即 x 0,此 时 无 解.当 0 c x W1 时，x-lW O,凡 外+犬-1)=2+。-1)+1=2+x,V 2 20=l,此 时 r)+y(x-l)l 恒 成

18、立.当 x 时，x-l 0,：.j(x)+於-1)=2*+2L=3 X 2*r,此 时 火 的+危-1)1恒 成 立.综 上 所 述，满 足 l的 x 的 取 值 范 围 是(0,+).答 案(0,+8)方 法 指 导 I.求 值 问 题 的 解 题 思 路(1)求 函 数 值：当 出 现 加)的 形 式 时，应 从 内 到 外 依 次 求 值.(2)求 自 变 量 的 值：依 据 题 设 条 件，在 各 段 上 得 出 关 于 自 变 量 的 方 程，然 后 求 出 相 应 自 变 量 的 值.2.交 汇 问 题：与 方 程、不 等 式 交 汇 时，要 依 据“分 段 问 题，分 段 解 决

19、”进 行 讨 论，最 后 将 结 果 并 起 来.思 维 变 式、/%+_ 工 0.当 0 f l l 时，由 式 4)=/(一 1),即 2a=yfaf解 得 a=；,则 0=4 4)=8,当 时，由 犬.)=1/(4-1),得 2a=2(“一 1),不 成 立.故 选 D.logu,Q 1,2.(2021.河 南 郑 州 第 一 中 学 第 二 次 联 合 质 量 测 评，8)已 知 函 数 次 0=1-I 则 J-X不 等 式 的 解 集 为()A.(00,2C.10,2B.(8,0U(l,2D.(一 8,0JUl,2D 当 时，不 等 式,/U)W1 为 log2x l,即 10g2x

20、W10g22,函 数 y=log2X在（0,+8）上 单 调 递 增，lWxl（舍 去），.g）W l 的 解 集 是（一 8,0JUl,2J.故 选 D.黄 高 考 提 素 养 素 养 为 本 创 新 应 用 2x xWO,、则 满 足 y（x+i）0,A.(8,1 B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,0)D 作 的 图 象 如 图,要 使 犬 x+l）7（2x）解 2xx+12x0.,.x0,1,x=2|=2,如 图，y=2与/1（工）=4，的 图 象 有 1 个 交 点,不 满 足题 意;当 AVO时，如 图，此 时），=欧 一 2|与（幻=玲，的 图 象 恒 有 3 个 交 点

21、，满 足 题 意；当 k 0 时，如 图，由=-2 与=*2联 立，得/一 心：+2=0,令/0,得 公 一 8 0,解 得 k 2吸 或 0,令 yulfcc22 x|=0,解 得 x=0 或 x=/,如 图.当 x V O时，一 1=止 一 2%无 解，此 时 两 函 数 图 象 无 交 点.2当 时，由 心：2 2=如，得 2履+2=0.由/0,得 好 一 8 0,解 得 A 2吸 或 AV2镇（舍 去），此 时 有 两 实 根 X1,2=2.当 2 2吸 时，两 函 数 图 象 有 2 个 交 点.2当 OWxW%时，由 一 行 2+2 x=x3,得 武 如+日 2）=0,此 时 有

22、两 实 根 xi=0,X2=-,两 函 数 图 象 有 2 个 交 点.因 此，当 心 2/时，两 函 数 图 象 有 4 个 交 点，排 除 B,C.若 A V O,取&=一 上 验 证，如 图，两 函 数 图 象 有 4 个 交 点.排 除 A.故 选 D.点 评 解 决 此 类 问 题 的 关 键 点：（1）转 化，把 已 知 函 数 零 点 的 存 在 情 况 转 化 为 方 程 的 解 或 两 函 数 图 象 的 交 点 情 况;(2)列 式，根 据 零 点 存 在 性 定 理 或 结 合 函 数 图 象 列 式；(3)下 结 论，求 出 参 数 的 取 值 范 围 或 根 据 图

23、象 得 出 参 数 的 取 值 范 围.课 时 作 业(四)A 级 基 础 达 标 1.函 数 了=笠 誓 的 定 义 域 是()A.(1,+)B.1,+0)C.(-1,2)U(2,+8)D.-1,2)U(2,+8)x2W0C 由 题 意 知，要 使 函 数 有 意 义，需,即 一 lx2,所 以 函 数 的 定 义 域 x+l0为(一 1,2)U(2,+8).故 选 C.0,x0,2.已 知 函 数.小 0=卜，x=0,则 火 以 一 1)的 值 等 于(),7t2+1,X0,A.7 C2 1 B.兀 2+1 c.71 D.0C 由 函 数 的 解 析 式 可 得 用 8 1)=欢 兀 2+

24、1)=-的 定 义 域、值 域 均 为(。，+).4.设 段)=2、x0,贝 山 2)=(3-2D1-2c1-4B A)c 7 2)=2-24.胆 一 2)=娟=1 一=/故 选 C.5.设 X G R,则 ZU)与 g(x)表 示 同 一 函 数 的 是()A.。)，与 g(x)=1屏=l(x0)的 定 义 域 相 同，对 应 关 系 也 相 同，所 以 是 同 一 函 数：对 于 C,凡)=1。2,与 gCOna-DOniaWl)的 定 义 域 不 同，所 以 不/1 9是 同 一 函 数；对 于 D,x)=、1=;r-3(x#3),与 g(x)=x-3(xGR)的 定 义 域 不 同，所

25、 以 不 是 同 一 函 数.故 选 B.6.已 知 函 数 兀)=2x+l(lWxW3),则()A./(xl)=2r+2(0WxW2)B.A V-1)=2 JT-1(2 W X W4)C.yu l)=2x-2(0WxW2)D.1)=-2x+l(2WxW4)B 因 为./U)=2x+1,所 以 y(xl)=2xl.因 为 函 数 x)的 定 义 域 为 1,3,所 以 10,9.已 知 函 数 若 大 白)=3,则 八-2)=()21,%W0.A.-77 B.3IoC.一 震 或 3 D.-II或 3A 当 a0时，若-a)=3,则 log2a+a=3,解 得 a=2(满 足 a0);当 a

26、W O 时，若 加)=3,则 4。-21=3,解 得”=3,不 满 足 a W O,所 以 舍 去.于 是，可 得”=2,故-2)=_/)的 定 义 域 是 0,2 016,则 函 数 g(x)=?的 定 义 域 是()A.-1,2015 B.-1,1)0(1,2015C.0,2 016 D.-1,1)0(1,2016B 要 使 函 数 式 x+1)有 意 义，则 0Wx+lW2 016,解 得 一 1WXW2 015,故 函 数/(x+1)-1 W XW2015的 定 义 域 为-1,2 015,所 以 函 数 g(x)有 意 义 的 条 件 是,故 函 数 g(x)的 定 义 I%1W0域

27、 为-1,1)0(1,2015.J11.函 数=於)的 图 象 是 如 图 所 示 的 折 线 段 048,其 中 A(l,2),8(3,0),函 数 g(x)=x：/(x),八 3C.0,2D.0,40 2B 由 题 图 可 知，直 线 0 4 的 方 程 是 y=2 x;因 为 必 8=十 7=一 1，所 以 直 线 A S的 方 程 为 y=-（X-3）=x+3.所 以 yu)=2x,OWxWl,x+3,1aW 3,所 以 g(x)=x r)2x2,OWxWl,A+S X,14W 3.当 OW xW l时，g(%)=2x2,此 时 函 数 g(x)的 值 域 为 0,2;H9 3 92+

28、不 显 然，当 时，函 数 g(X)取 得 最 大 值；91当 x=3 时，函 数 g(x)取 得 最 小 值。.此 时 函 数 g(x)的 值 域 为 0,1.综 上 可 知，函 数 g(x)的 值 域 为，1.故 选 BJ1 2.设 尸(沏，yo)是 函 数 7U)图 象 上 任 意 一 点，且 此?焉，则 危)的 解 析 式 可 以 是()A.f i x)=x-B.j(x)=e-l4C.J(x)=x+D.y(x)=tan xC A 项，当 x=l 时，火 1)=1 1=0,此 时()2212不 成 立；B 项，当=一 1 时，犬-1)=：-1 6(1,0),此 时 0 一 1)22(一

29、1)2不 成 立；D 项，当=苧 时，(引=1,此 时 1 2 2$1)2不 成 立.故 选 CJ1 3.已 知 函 数 x)=ox32%的 图 象 过 点(一 1,4),则=.解 析 由 题 意 可 知(一 1,4)在 函 数 图 象 上，即 4=a+2,2.答 案 一 214.若 函 数,/(x)=2x+3,g(x+2)=/(x),则 函 数 g(x)的 解 析 式 为.解 析 令 x+2=f,则 x=r-2.因 为/(x)=2 x+3,所 以 g(x+2)=/(x)=2 x+3,所 以 g=2(f2)+3=2 r-l.故 函 数 g(x)的 表 达 式 为 g(x)=2 x.答 案 g(

30、x)=2 x-lB 级 能 力 提 升 1+log2(2 J C),J C 1,15.设 函 数 x)=则 八-2)+川 o g 2 1 2)=()2-G 1,A.3 B.6 C.9 D.12C 由 于 大-2)=l+lo g 2 4=3,Alog212)=21og21 2-1=21og26=6,所 以 式-2)+_/(log212)=9.故 选 CJ16.给 出 定 义：若，一 鼻 W?+/其 中 m 为 整 数)，则?叫 作 离 实 数 x 最 近 的 整 数，记 作 x,即 x=，.现 给 出 下 列 关 于 函 数/(x)=|xx|的 四 个 命 题：翻 3.4)=-0.4；/(4=y

31、=/U）的 定 义 域 为 R，值 域 是 一 2，2C.D.其 中 真 命 题 的 序 号 是（）A.B.B 1 W 1+；,.正 确.,.333.40,17.（2021南 京、盐 城 模 拟）已 知 函 数 外）=,则 不 等 式 式）一 1 的 解 集 是 Y 解 析 当 x W O 时，由 题 意+1 2-1,解 之 得 一 4WxW0.当 x 0 时，由 题 意 得 一（X-1）22一 1,解 之 得 0VxW2,综 上 兀 r）一 1的 解 集 为 x|4xW2.答 案 x|4WxW2ax-b,x0,18.设 函 数 7（x）=、且 大-2）=3,火 一 D=/U）.（1）求 函

32、数 火 x）的 解 析 式；（2）在 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 中 画 出 人）的 图 象.解(1)由 X 2)=3,贝-1)=小),得 2。+2=3,-a+h=2,a=-1,解 得 历=1,x+1,x0,所 以=员 G O.梳 教 朝 固 基 础-基 固 为 根 必 备 知 识 基 础 自 梳 1.函 数 的 单 调 性(1)增 函 数、减 函 数(2)单 调 性、单 调 区 间 的 定 义 若 函 数 y=Ax)在 区 间。上 是 增 函 数 或 减 函 数，则 称 函 数 y=/(x)在 这 一 区 间 具 有 一 般 地，设 函 数 4 0 的 定 义 域 为/,如 果

33、对 于 定 义 域/内 某 个 区 间。上 的 任 意 两 个 自 变 量 乃，X2.(1)增 函 数：当 X|X2时，都 有，那 么 就 说 函 数 人 X)在 区 间。上 是 增 函 数；(2)减 函 数：当 XI 2),那 么 就 说 函 数 段)在 区 间 D 上 是 减 函 数.同 无)也)一|作 1)：火 牝)O 1 Xl X2 X O%l X2*X(增 函 数)(减 函 数)(严 格 的)单 调 性，区 间 D 叫 作 函 数 y=/(x)的 单 调 区 间.思 考 拓 展 1.掌 握 函 数 单 调 性 的 两 种 等 价 形 式 设 任 意 Xi,X2a,加 且 xiWx2,

34、(#“)二 次 切 0o*x)在 出,加 上 是 增 函 数；4rD 三 0=/(x)在，切 上 是 增 函 数；(X X2)/Ul)4X2)0。段)在 小 加 上 是 减 函 数.2.注 意 单 调 性 的 两 个 易 错 点(1)单 调 区 间 只 能 用 区 间 表 示，不 能 用 不 等 式 表 示.(2)有 多 个 单 调 区 间 应 分 别 写，不 能 用 符 号“U”连 接，也 不 能 用“或”连 接，只 能 用“，”或“和”连 接.(3)函 数 y(g(x)的 单 调 性 与 函 数)，=/()，=g(x)的 单 调 性 的 关 系 是“同 增 异 减”.2.函 数 的 最 值

35、 前 提 设 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实 数 满 足 条 件(1)对 于 任 意 xG/,都 有(2)存 在 xo/,使 得 y(xo)=M(1)对 于 任 意 犬 仁/,都 有(2)存 在 xoG/,使 得/(xo)=M结 论 M 为 最 大 值 M 为 最 小 值 思 考 拓 展(1)闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 存 在 最 大 值 和 最 小 值.当 函 数 在 闭 区 间 上 单 调 时 最 值 一 定 在 端 点 取 到.(2)开 区 间 上 的“单 峰”函 数 一 定 存 在 最 大(小)值.基 础 自 测 I1.(教 材 改 编)函

36、 数=(2小 一 1口+在 R 上 是 减 函 数，贝 4()1A.72-2-1 2 D.w-2 答 案 B2.(教 材 改 编)函 数 了=%的 单 调 区 间 为()A.(8,l)u(l,+0)B.(8,I)C.(1,4-oo)D.(一 8,1)和(1,4-0 0)答 案 D3.(教 材 改 编)函 数 X 在 x e i,2 上 的 最 小 值 为,最 大 值 为 答 案 J 0 24.(易 错 题)函 数 段)=log|(x+1)的 单 调 递 增 区 间 为.I 答 案(8,1)5.函 数 尸 危)是 定 义 在 2,2 上 的 减 函 数，且 加+l)J2a),则 实 数 a 的

37、范 围 为.答 案-1,1)研 考 点.练 方 法-点 明 为 纲 关 键 能 力 考 点 一 确 定 函 数 的 单 调 性(区 间)角 度 1 数 形 结 合 法 求 单 调 区 间 例 1(1)下 列 四 个 函 数 中，在(0,+8)上 为 增 函 数 的 是()A.7(x)=3-xC.兀 0=一 1不 B./(X)=J C23xD.於)=一 付 C 当 x 0 时，r)=3x 为 减 函 数；当 工(0,|)时，火 工)=壮 一 3x为 减 函 数，当+8)时，“x)=x23%为 增 函 数;当 x(0,+8)时，/)=一 不、为 增 函 数；当 x(0,+8)B寸，段)=一 因 为

38、 减 函 数.故 选 C.(2)(2021.河 北 石 家 庄 二 中 模 拟)函 数 式 幻=仅 23/+2|的 单 调 递 增 区 间 是()A.|,+8)C.(-8,1和 1,2B y=x23x+2Jx2-3x+2,xWl或 x22,|(x23x+2),lx0,解 得 x4或 XV2,所 以(4,+8)为 函 数 y=f 2x8 的 一 个 单 调 递 增 区 间.根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 可 知，函 数 元)=1口(9 一 2x8)的 单 调 递 增 区 间 为(4,+).(2)(2021.广 东 省 际 名 校 联 考)设 函 数 7U)在 R 上 为 增 函 数，则

39、下 列 结 论 一 定 正 确 的 是()A.在 R 上 为 减 函 数 於)B.y=|/U)|在 R 上 为 增 函 数 C.)，=一 六 在 R 上 为 增 函 数 D.y=-/(x)在 R 上 为 减 函 数D 如 大 冷 二 3,则 丁=六 的 定 义 域 为(一 8,0)U(0,+),在 定 义 域 上 无 单 调 性，AJ)错；则 y=|/(x)|在 R 上 无 单 调 性，B 错；则 旷=一 六 的 定 义 域 为(-8,0)U(0,+8),在 定 J)义 域 上 无 单 调 性，C 错.角 度 3 定 义 法 判 定 单 调 性(IX 例 3 讨 论 函 数 人 工)=含/40

40、)在 x(1,1)上 的 单 调 性.解 设 一 lX Vx2V1,c i、z v、的 0X2则 式 XD-/(X2)=后 7诉 4X|X：4X1-0用+0X2(X?l)(x5-1)“(X2制)(国 及+1)(X?-1)(JC21),：-1 X l X20,X1X2+1 0,(X?1)(A2 l)0.又.7(),.,次 2 Z(X2)0,函 数 段)在(一 1,1)上 递 减.方 法 指 导 判 断 函 数 单 调 性 的 主 要 方 法(1)图 象 法：图 象 上 升 的 区 间 为 增 区 间，图 象 下 降 的 区 间 为 减 区 间.(2)定 义 法：其 步 骤 为 取 值：设 XI,

41、X2是 定 义 区 间 内 的 任 意 两 个 值，且 为 0的 x 的 取 值 区 间 为 增 区 间，令/(x)0的 取 值 区 间 为 减 区 间.(4)性 质 法：利 用 函 数 单 调 性 的 性 质，尤 其 是 利 用 复 合 函 数“同 增 异 减”的 原 则 时，需 先 确 定 简 单 函 数 的 单 调 性.思 维 变 式 I.下 列 函 数 中，在 区 间(一 8,0)上 是 减 函 数 的 是()A.y=lx2 B.丫=炉+2%C-y=-c D.f答 案 D2.将 本 例 1(2)的 式 X)变 为：式 刈=/一 3园+2,其 递 增 区 间 为.解 析 火 x)的 图

42、象 如 图.答 案 1|，0加 仔，+8)3.(2022重 庆 开 州 中 学 模 拟 次 X)=寸/-3x+2的 增 区 间 为()A.(-8,|B.+8)C.(一 8,I D.2,+8)D 因 为/-3 x+2 2 0,所 以 工(一 8,1 U 2,+8),又 因 为 旷=123%+2的 对 称 轴 3 3为 x=,且 2,所 以/U)的 增 区 间 为 2,+)./7 Y4.将 例 3 变 为：试 讨 论 函 数 段)=，、(“W0)在 x G(1,1)上 的 单 调 性.解 1 设 一 1 1 21,.=/二：1=小+占)，危 尸 危 2)+卷)-(1+六)(；_ 1)，由 于 一

43、lV n X 2o,xi io,X2 i 0 时，y(xi)y(x2)o,即 式 内)刁 伏 2),函 数 y(x)在(一 1,1)上 递 减；当 4 0时，穴 制)一/2)0,即 仙)勺(必),函 数 九 X)在(一 1,1)上 递 增 考 点 二 函 数 单 调 性 的 应 用 角 度 1 比 较 大 小 例 4(1)(2021长 沙 模 拟)已 知 偶 函 数 7U)在 区 间 0,+8)上 是 增 函 数，则 K1)与 直 出 2 4+3)的 大 小 关 系 是()A.火 一 1)至/3 2.2 0+3)B.-1)=1/5 2-2 4+3)C.4 一 2 a+3)D.l)y(a22a+

44、3)D ta2-2a+3=(al)2+2 2,由 偶 函 数,大 外 在 区 间 0,+8)上 是 增 函 数，可 得 人 一)=J(l)J(a2-2a+3),故 选 D.(2)定 义 在 R 上 的 偶 函 数 y(x)满 足 对 任 意 的 制，x2e(-,O)(X|#X2)，有 丁 为)0,X2 X贝！1()A.X-3)A-2)A D B.X l)(-2)A-3)c.X-2)A D A-3)D.A-3)AD7(-2)B 由 于 函 数 x)对 任 意 的 X i,为(8,0)3/及)，庭 匕 鱼 D 1|x|l解 析 由 题 意 得 1 X 即 一 八 U o/.1 r0 或 0%0,义

45、 在(0,+8)上 的 增 函 数，所 以 有 0,解 得 8令 W9.J、ML 8)W9.角 度 3 利 用 函 数 的 单 调 性 求 参 数 例 6(1)已 知 函 数 人=怆(9 一 4%一 5)在(小+8)单 调 递 增，则。的 取 值 范 围 是()A.(-8,-I B.(一 8,2JC.2,+8)D.5,+8)D 由 9 4x50,得 x5.令=炉 一 4x5,则 函 数/=9一 4x5 在(-8,4)单 调 递 减，在(5,+8)单 调 递 增，函 数 y=lg t为 增 函 数，故 要 使 函 数)=电(/4x5)在(a,+8)单 调 递 增，则 有(a,+8)=(5,+8)

46、,即。25.故 选 D.3(“-3)x+2,(2)已 知 函 数 於)=|对 任 意 的 X1WX2都 有(XlX2)/(X2)贝 乃)0 成.一 4 一 Inx,A1,立，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.(-8,3 B.(一 8,3)C.(3,+8)D.11,3)D 由(X X2)/(X2)得(X L 一 火 X2)0,所 以 函 数 次 x)在 R 上 单 调 递 减，fa30,所 以 解 得 lWaJ(b)J(c)B.人。)Xc)y(a)c.艮 a)J b D.y(C)X6)A)D 因 为 a=3313=l,0v(；)=l,c=ln|0,解 析 由 已 知 可 得,4+30,解

47、 得 一 3。3,所 以 实 数”的 取 值 范 a2aa+3,围 为(-3,-1)U(3,+8).答 案(-3,-1)U(3,+8)3.已 知 函 数 y=|2xa|,若 y(x)的 递 减 区 间 为(一 8,2,则=,若 於)在(一 8,2 上 为 减 函 数，则“的 取 值 范 围 为 _.解 析 y(x)=|2x0I递 减 区 间 为(一 8,T,递 增 区 间 为 果+8)有 拼=2,；.a=4当 Hx)在(一 8,2 上 递 减 时，合 2,.,.心 4 答 案 1 4 4,+8)考 点 三 函 数 的 最 值 或 值 域X2,例 7(1)已 知 函 数 段)=Lx 解 析 因

48、为)，=/在(一 8,0)上 单 调 递 减，在 0,+8)上 单 调 递 增，所 以 当 x W l 时，yU)min=A0)=0.当 x l 时，y=x+2 y 6,当 且 仅 当 x=#时，等 号 成 立，此 时 兀*3=2#-6.又 2班 6=+/+1=-0-分+今 在 re i,3 为 减 函 数，ymin=32+3+1=-5.ymax=-1+1+1=1.值 域 为 2.已 知 函 数 段)=(一 30,/?0),若 危)在 已 21上 的 值 域 为 2,则 ab=解 析 由 反 比 例 函 数 的 性 质 知 函 数 Xx)=-(6/0,60)在 2 上 单 调 递 增,a x

49、LN _所 以 府 总 心)=2,2 2解 得 4=5，b=l.：ab=w.答 案 J f2 链 高 考 提 素 养 一 素 养 为 本 创 新 应 用 1.(2020全 国 II卷)设 函 数/(犬)=?一 9，则 兀)()A.是 奇 函 数，且 在(0,+8)单 调 递 增 B.是 奇 函 数，且 在(0,C.是 偶 函 数，且 在(0,D.是 偶 函 数，且 在(0,+8)单 调 递 减+8)单 调 递 增+8)单 调 递 减 A 法 一 函 数,几 1)的 定 义 域 为(-8,0)U(0,+8),且 人 一 x)=(x)3（一 X）3X3+9=-/U）,所 以 火 X)是 奇 函 数

50、.又 因 为 yn%3在(0,+8)单 调 递 增，所 以 y=一 占 在(0,+8)也 单 调 递 增，所 以 大 X)在(0,+8)单 调 递 增.法 二 同 法 一 得)是 奇 函 数.又/仁)=。3一 式 3)，=3/+3K40,所 以 y(x)在(0,+8)单 调 递 增.点 评 1.判 断 函 数 的 奇 偶 性 时，一 定 要 先 求 出 定 义 域，判 断 其 是 否 关 于 原 点 对 称.2.若 函 数 y(x),g(x)在 区 间/上 具 有 单 调 性，则 在 区 间/上 具 有 以 下 性 质：(1求 x)与 4火 0在”0时 具 有 相 同 的 单 调 性，在 ag