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1、学习必备 欢迎下载 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1设 ，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l，m，有如下的两个命题：若，则 lm；若 lm，则 那么()A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C都是真命题 D都是假命题 2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1角为 60 3关于直线 m，n 与平面，有下列四个命题：m，n且，则 mn；m，n且，则 mn；m，n且，则 mn；m，n且，则 mn 其中真命题的序号是()A B C D 4给出下列四
2、个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则 l1，l2互相平行 若直线 l1，l2是异面直线，则与 l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D4 5下列命题中正确的个数是()若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 (第 2 题)学习必
3、备 欢迎下载 6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面()A不存在 B有唯一的一个 C有无数个 D只有两个 7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30 8下列说法中不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线
4、的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是()A4 B3 C2 D1 10 异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与 c 所成的角的范围为()A 30，90 B 60，90 C 30，60 D 30，120 二、填空题 11已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P 是
5、ABC 所在平面外一点，过 P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA，PB，PC (1)若 PAPBPC，则 O 为ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是ABC 的 心；(4)若 PAPBPC，C90，则 O 是 AB边的 点；两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数
6、是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载(5)若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在ABC 的 线上 13如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ
7、 所成角的度数为 14直线 l 与平面 所成角为 30，l A，直线 m，则 m 与 l 所成角的取值范围是 15 棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的值为 16直二面角l的棱上有一点 A，在平面，内各有一条射线 AB，AC 与 l 成45，AB，AC，则BAC 三、解答题 17在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角 ABCD 的正弦值；(3)设二面角 ABCD 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体 A
8、BCD 的体积最大(不要求证明)18 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB (1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值 J(第 13 题)(第 18 题)(第 17 题)两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不
9、在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载 19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD 中，ADBC，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC，AD21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)(第 19
10、题)20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于 6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第 20 题)两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个
11、学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案 A 组 一、选择题 1D 解析：命题有反例，如图中平面 平面直线 n，l，m，且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面 ，(第 1 题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D 解析：异面直线 AD 与 CB1角为 45 3D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定 4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选
12、择答案 D 5B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面 ABCD 外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确；A1B1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于 BD，不正确；A1B1AB，A1B1平面 ABCD，但 AB平面 ABCD 内，不正确；l 与平面 平行，则 l 与无公共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B (第 5 题)6B 解析：设平面 过 l1，且 l2，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面，与 的交线 l3l2，且 l3 过点 P.又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即
13、过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C 解析：当三棱锥 DABC 体积最大时，平面 DACABC，取 AC 的中点 O，则DBO是等腰直角三角形，即DBO45 8D 解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 9B 两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数
14、是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载 解析：因为正确，故选 B 10A 解析：异面直线a，b所成的角为 60，直线ca，过空间任一点 P，作直线 a a，b b，c c.若 a，b，c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 b 与 c 所成的角的范围为(30，90 ，所以直线 b
15、 与 c 所成角的范围为 30，90 二、填空题 11313212SSS 解析：设三条侧棱长为 a，b，c 则 21abS1，21bcS2，21caS3 三式相乘：81a2 b2 c2S1S2S3，abc23212SSS 三侧棱两两垂直，V31abc21313212SSS 12外，垂，内，中，BC边的垂直平分 解析：(1)由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O
16、在BAC 的平分线上 1360 解析：将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60 14 30，90 解析：直线 l 与平面所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 1536 解析：作等积变换：4331(d1d2d3d4)4331h，而 h36 1660 或 120 两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相
17、平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载 解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能 三、解答题 17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DO ABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形，AOBC，DOBC，且
18、AODOO，BC平面 AOD又 AD平面 AOD，BCAD (第 17 题)解：(2)由(1)知AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设AOD，则过点 D 作DEAD，垂足为 E BC平面 ADO，且 BC平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO 平面 ABCAO，DE平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3 又 DO23BD23，在 RtDEO 中，sin DODE23，故二面角 ABCD 的正弦值为23 (3)当 90 时，四面体 ABCD 的体积最大 18 证明：(1)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C
19、1的中点 DD1E 为等腰直角三角形，D1ED45 同理C1EC45 90DEC，即 DEEC 在长方体 ABCD1111DCBA中，BC平面11DCCD，又 DE平面11DCCD，BCDE又CBCEC，DE平面 EBC平面 DEB 过 DE，平面 DEB平面 EBC (2)解：如图，过 E 在平面11DCCD中作 EODC于 O在长方体 ABCD1111DCBA中，面 ABCD 面11DCCD，EO面 ABCD过 O 在平面 DBC 中作OFDB 于 F，连结 EF，EFBDEFO 为二面角两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平
20、面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行学习必备 欢迎下载 EDBC 的平面角利用平面几何知识可得 OF51，(第 18 题)又 OE1
21、，所以，tanEFO5 19*解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M底面ABADBC)(214312211，四棱锥 SABCD 的体积是 V31SAM底面3114341(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 ADBC，BC2AD，EAABSA，SESB SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线 又 BCEB，BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影，CSSE，BSC 是所求二面角的平面角 SB22ABSA2，BC1，BCSB，tanBSC22SBBC，(第 19 题)即所求二面角的正切值为22 20*解：如图，设斜
22、三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BB1C1C的面积为 10，A1A和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1上取一点 P作截面 PQR，使 AA1截面 PQR，AA1CC1，截面 PQR侧面 BB1C1C，过 P 作 POQR 于 O，则 PO侧面 BB1C1C，且PO6 V斜SPQRAA121QRPOAA1 21POQRBB1 21106 30 (第 20 题)两个命题若则若则那么是真命题是假命题是假命题是真命题都是真命题都是假命题如图为正方体下面结论错误的是平面平面异面直线与角为关于直线与平面有下列四个命题第题且则且则且则且则其中真命题的序号是给出下列四个命相平行若直线是异面直线则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是下列命题中正确的个数是若直线上有无数个点不在平面内则若直线与平面平行则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个学习必备欢迎下载两直线与异面过作平面与平行这样的平面不存在有唯一的一个有无数个只有两个把正方形沿对角线折起当以四点为顶点的三棱锥体积最大时直线和平面所成的角的大小为下列说法中不正确的是空间中一组对边平行