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1、1 第二章测评第二章测评(时间:120 分钟满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知直线的参数方程为(t 为参数),则直线上与点 P(4,5)的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(3,6)C.(3,6)或(5,4)D.(-4,5)或(0,1)解析:由题意,可得|t|=t=,将 t 代入原方程,得所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4).答案:C 2.设 r0,则直线 xcos+ysin=r 与圆(是参数)的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.视 r 的大小而定 解析:易知圆的圆心在原点,半径是 r,则圆心(0,0)到直线的
2、距离为 d=r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案:B 3.参数方程(t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 解析:由 x=4t+可知,x4 或 x-4,又 y=-2,故参数方程(t 为参数)所表示的曲线是两条射线.答案:B 4.已知圆的渐开线的参数方程为(为参数),则渐开线与 x 轴的交点可以是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:D 5.曲线(为参数)的对称中心()2 A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上 D.在直线 y=x+1 上 解析:由已知得 两式平方相加得(
3、x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线 y=-2x 上.故选 B.答案:B 6.双曲线的渐近线方程为()A.y=x B.y=x C.y=2x D.y=3x 解析:将参数方程化为普通方程为-x2=1.故渐近线方程为 y=2x.答案:C 7.已知椭圆的参数方程(t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t=,点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为()A.B.-C.2 D.-2 解析:当 t=时,x=1,y=2,则 M(1,2),故直线 OM 的斜率 k=2.答案:C 8.与普通方程 x2+y-1=0 等价的参数方程(t,为参数)是()A.B.C.D.解析:普通方
4、程 x2+y-1=0 中 x 可以取得一切实数.选项 A 中 x 大于等于-1,小于等于 1,故不满足题意.选项 B 中,结合正切函数图像可知,满足题意,故成立.选项 C 中,由偶次根式的定义可知,x0,故 x 不可取得一切实数,不满足题意.3 选项 D 中,同理可知结合正弦函数的有界性可知 x 不能取得一切实数,故不满足题意.答案:B 9.已知过曲线(为参数,2)上一点 P 与原点 O 的直线 PO,倾斜角为,则点P 的极坐标为()A.B.C.D.解析:将曲线化成普通方程为=1(y0),与直线 PO:y=x 联立可得点 P 的坐标为.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到点 P 的极坐标.答案
5、:D 10.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数).以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=4sin,则直线 l 和曲线 C的公共点有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 答案:B 11.参数方程(t 为参数)所表示的曲线是()解析:将参数方程进行消参,则有 t=,把 t=代入 y=中得 x2+y2=1,当 x0 时,y0;当x0 时,y0.对照选项,可知 D 正确.答案:D 12.导学号 73144044参数方程(为参数)化成普通方程是()4 A.2x-y+4=0 B.2x+y-4=0 C.2x-y+4=0,x
6、2,3 D.2x+y-4=0,x2,3 解析:x=2+sin2=,cos 2=y+1,x=,即 2x+y-4=0.又0sin21,x2,3.故选 D.答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知椭圆 C 的参数方程为(为参数),且椭圆 C 经过点,则 m=,离心率 e=.解析:椭圆的参数方程化为普通方程为 x2+=1.把代入,得 m2+=1,得 m=.a=2,b=1,c=,e=.答案:14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1为(s 为参数),直线 l2为(t 为参数),若直线 l1与 l2平行,则常数 a 的值为.解析:l1的普通方程为 x=2y
7、+1,l2的普通方程为 x=a,即 x=y+,l1l2,2=.a=4.答案:4 15.导学号 73144045若过点 P(-3,3),且倾斜角为的直线交曲线(为参数)于 A,B 两点,则|AP|PB|=.解析:直线的参数方程为(t 为参数),依题意得 5 消去,得t2+t+=0,设其两根为 t1,t2,则 t1t2=,故|AP|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=.答案:16.已知圆 C 的圆心是直线(t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切.则圆 C 的方程为.解析:直线(t 为参数)与 x 轴的交点为(-1,0),则 r=,故圆 C 的方程为(x+1)2+y2
8、=2.答案:(x+1)2+y2=2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2cos,.(1)求曲线 C 的参数方程.(2)设点 D 在曲线 C 上,曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定点 D 的坐标.解(1)曲线 C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得曲线 C 的参数方程为(t 为参数,0t).(2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知曲线 C 是以(1,0)为圆心,1 为
9、半径的上半圆,因为曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l 垂直,所以 tan t=,t=.故点 D 的直角坐标为,6 即.18.(本小题满分 12 分)已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为(为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程;(2)已知点 A(-2,0),B(0,2),圆 C 上任意一点 M(x,y),求ABM 面积的最大值.解(1)圆 C 的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.所以圆 C 的极坐标方程为 2-6cos+8sin+21=0.(2)因为点 M(x,y)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d=,所
10、以ABM 的面积 S=|AB|d=|2cos-2sin+9|=.所以ABM 面积的最大值为 9+2.19.(本 小 题 满 分 12 分)已 知 直 线 l(t 为 参 数,k,k Z)经 过 椭 圆 C(为参数)的左焦点 F.(1)求 m 的值;(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|FB|的最小值.解(1)椭圆 C的普通方程为=1,F(-1,0).直线 l的普通方程为 y=tan(x-m),k,kZ,tan 0,0=tan(-1-m),m=-1.(2)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程=1 中,并整理,得(3cos2+4sin2)t2-6tcos-9=0.7
11、 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2.则|FA|FB|=|t1t2|=.当 sin=1 时,|FA|FB|取最小值.20.(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆=1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1,B2的连线分别交 x 轴于 P,Q 两点.求证:|OP|OQ|为定值.证明设点 M(4cos,2sin),为参数,B1(0,-2),B2(0,2).则 MB1的方程为 y+2=x=x,令 y=0,得 x=,即|OP|=.MB2的方程为 y-2=x=x,令 y=0,得 x=,即|OQ|=.故|OP|OQ|=16.8 21.(本小题满分 12 分)已知直线 l 为
12、(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2cos.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为(5,),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|MB|的值.解(1)=2cos 等价于 2=2cos.将 2=x2+y2,cos=x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.(2)将代入,得 t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.22.导学号 73144046(本小题满分 12 分)在直角坐标系 x
13、Oy 中,直线 l 经过点P(-1,0),其倾斜角为.以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标方程为 2-6cos+5=0.(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 a 的取值范围;(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.解(1)将曲线 C 的极坐标方程 2-6cos+5=0 化为直角坐标方程为 x2+y2-6x+5=0.直线 l 的参数方程为(t 为参数).将(t 为参数)代入 x2+y2-6x+5=0 整理得,t2-8tcos+12=0.直线 l 与曲线 C 有公共点,=64cos2-480,cos 或 cos-.又0,),的取值范围是.(2)曲线 C 的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4,其参数方程为(为参数).M(x,y)为曲线 C 上任意一点,x+y=3+2cos+2sin=3+2sin,x+y 的取值范围是3-2,3+2.9