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1、2021-2022学年福建省南安市高二上学期期中考试数学试题一、单选题I.已知直线2 x+y-7 =0 与直线4x-my+l=0 平行，则实数机 的 值 为()A.-8 B.2 C.-2 D.8【答案】C【分析】分机=0,力0 两种情况讨论，利用斜率相等且两直线不重合，即得解【详解】当利=0 时，显然两条直线不平行.当，“HO时，；直线2 x+y-7 =0 与直线4x-/ny+l=0 平行，4.-=-2,解得加=-2,经检验知两条直线不重合，符合题意.m故选：C2.抛 物 线 d=-4 y 的准线方程为()A.x=B.x=l C.y=l D.y=216【答案】c【分析】根据抛物线方程，直接写出
2、准线方程即可.【详解】因为r=-4 y,其为开口向下的抛物线，故其准线方程为y=l.故选：C.3.己知正四棱柱A 8C O-A A G 中，AAt=2 A B,则CD与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 等 于()A.-B.且 C.D.-3 3 3 3【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得CO与平面BOG所成角的正弦值.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，不妨设4B=A4=1,AA=2,则 OC=(0,1,0),08=(11,0),G=(0,1,2),设平面BOG的法向量为“=(x,y,z),n-D B =x+y=0n-DC y+2z=0令 z=l,则 y=-2,x=2,所以，
3、=（2,-2,1）.设8 与平面B D Q所成角为0,则 si n 0-DCITM23故选：A4.已知点A（-2,3）,B（3,2）,若直线o r+y+2 =0 与线段AS没有交点，则。的取值范围是（）C.5 42,3【答案】B【分析】求出直线CACB的斜率，结合图形得出。的范围.【详解】直线o r+y+2 =0 过定点C（0,2）,且砥c=-g，金c=g，5 4由图可知直线与线段AB没有交点时，斜 率 满 足-万 -26.椭 圆 点+方=b O）的 中 心。与 一 个 焦 点F及短轴的一个 端 点B组成等腰直角三角形FBO,则 椭 圆 的 离 心 率 是（）A.1 B.0 C.D.也 2 2
4、 2【答 案】D【分 析】设 椭圆 半 焦 距 为C，根 据 给 定 条 件 可 得 斤C,再 确 定。与C的关系即可得解.【详 解】设 椭圆 半 焦 距 为c,因 椭 圆 的 中 心。与一个焦点厂及短轴的一个端点8组成等腰直角三角形尸B。，则 有6 c,而于是得 a =V c，所以椭圆的离心率是e =也.a 2故选：D7.已知 月，鸟 是 椭 圆C：5+（=1的两个焦点，点”在。上，则|叫用 的 最 大 值 为（）A.1 3B.1 2C.9D.6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到|M用+|/闾=2 4 =6,借助基本不等式MF-MF2附+|蜗|即可得到答案.【详解】由题，a2=9,b
5、2=4,贝1峥|+|姐|=2 4 =6,所以的；幽=9 （当且仅当|M制=|M勾=3时，等号成立）.故选：C.【点睛】8.已知产是双曲线工-片=1的左焦点，点4 1,4）,尸是双曲线右支上的动点，则|P F|+|P A|4 12的最小值为（）A.9 B.5 C.8 D.4【答案】A【分析】根据双曲线的定义转化为|P F|+|P A|=|P尸|+|P 41M可求解.【详解】设右焦点为F ，则/（4,0）,依题意，有|P F|=|P F +4,尸|+|必|=|尸F|+|以|M N|A F|+4=5+4=9,（当尸在线段AF上时，取等号）.故|P F|+|P A|的最小值为9.故选：A.二、多选题9
6、.设椭圆C：5+）2=1的左、右焦点分别为B,尸2,尸是C上的动点，则下列结论正确的是（）A.PFi+PF2=2yl2B.离心率e=32C.A P F/F z面积的最大值为近D.以线段F/F 2为直径的圆与直线x+y-0 =O相切【答案】A D【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，P F/B的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.【详解】对于A,由椭圆的定义可知|P 周+|P 用=2 a =20,故 A正确;/?对 于 B,由椭圆方程知。=后,。=1,。=1 ,所以离心率e =-j=,故 B错误;a 42 2对于C,阳用|=2 c =2,当尸
7、为椭圆短轴顶点时，P B B 的面积取得最大值，最大值为if故 C错误;也对于D,以线段F/F 2 为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=l,圆心到直线x +)，-及=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F/B 为直径的圆与直线x+y-0=O 相切，故 D正确.故选：A D.10.已知圆C:/+2 =4,直线/:(3+加)x+4)-3+3 z =0,(,n e R).则下列四个命题正确的是()A.直线/恒过定点(-3,3)B.当加=0 时，圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1C.圆C与曲线x 2 +y 2-6x-8 y +?=0 恰有三条公切线，则m=16D.当帆=1
8、3 时，直线/上一个动点P向圆C引两条切线2 4,P B,其中A,B 为切点、,则直线A B 经过 点 房，高【答案】A C D【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.【详解】直线/：(3 +?)x+4y-3 +3 w =()可化为：/:3 x+4y-3+/?(x+3)=(),由1x+3 =0 一 可得)二 3，故直线/恒过定点(一*3),故 A正确，当加=0 时，直线，：3 x +4y-3 =0,圆心到该直线的距离为d =心 2二 3=?,5 57因为R-d =gl,故圆C上有且仅有四个点到直线/的距离都等于1,故
9、 B错.因为圆C与曲线/+)，2-6-8 +机=0 恰有三条公切线，故两圆外切，故|C O|=2 =J(O-3)2+(O-4)2 =5=2 +j2 5-?,故机=1 6,故 C 正确.16x=-94y=一-9-x+4），=0可得!9y+4=0当帆=13时，直线/:4x+y+9=0,设 P T a-9),则以OP为直径的圆的方程为x(x-c，)+y(y+4a+9)=0,而圆C:/+y 2=4,故A/?的直线方程为 分+(44+9)y+4=0,整理得至lJa(x+4y)+9y+4=0,由故直线A 8经 过 点 卜 号,高，故 D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化
10、简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦,则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.11.过点尸(2,4)引圆(x-l)2+(y-l)2=l的切线,则切线方程为()A.x 2 B.x=1 C.4x3y+4=0 D.4x+3y 4=0【答案】BC【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程.【详解】根据题意知圆*-1)2+(y-1=1的圆心为(1,1),半径r=1,若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x=2,符合题意；若切线的斜率存在，设切线方程为V-4=Z(X-2),即辰-y-2M+4=0,3-k,4则有=解可得=；,所以切线方程为4
11、x-3y+4=0,+13综上可知，切线方程为x=2或4 x-3y+4=0.故选：BC.12.设动点P 在正方体ABC。-A B C 的对角线8。上，记=月当/A P C 为钝角时，则实数可能的取值是()A.三B.1 C.D.I【答案】AB【分析】首先以力为原点，DA,D C,。分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 P 4 P C 尸=4。产=(/1,/1,/).又因为H =+AA=(,-；U)+(1,0,-1)=(1 4 4/1 1),PC=PD1+DlC=(-2,-2,2)+(O,l,-l)=(-2,l-2,2-l),因为NAPC为钝角，所以PA-PC0，即(一 2)(1 2)
12、+(2)(1 义)+(2 1)=(2 1)0,解 得:2 +(y +3)2=3 6.1 8.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线4：x+2y +7 =O 相切，过点8(-2,0)的直线/与圆A相交于M,N两点.(1)求圆A的方程.当|M N 卜 2J历时，求直线/的方程.(用一般式表示)【答案】(l)(x +l)2+(y-2)2=2O(2)3 x-4 y +6 =0 或x+l=O【分析】(1)由圆心到切线的距离等于半径求得半径后得圆方程；(2)由圆弦长公式求得圆心到直线的距离，然后分类讨论，验证斜率不存在时是否满足题意，斜率存在时，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程.【详解
13、】(1)由题意知：点A(-l,2)到直线x +2y +7 =O 的距离为圆A的半径R1-1 +4+7 1 厂:.R=广 -=2yJ5V 5，圆 A 的方程为：(x+l +(y-2)2=20；(2)连接Q A,则由垂径定理可知：Z M Q A =9 0 且|M Q|=A/用在用 4 W Q 中，由勾股定理知：=1 当动直线/的斜率不存在时,直线/的方程为户-1,显然满足题意：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为：y=k(x+2)由点4(-1,2)到动直线/的距离为1 得：卜 靠 If,解得：k =l此时直线/的方程为：3 x-4 y +6 =0综上，直线/的方程为：3 x-4 y +6 =0
14、或x +l=0.1 9.如图，设P是圆/+y 2=2 5上的动点，作轴，。为垂足，M为PQ上一点，且|M q=g|P)|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；A(2)求过点(3,0)且斜率为力的直线被方程C所截线段的长度【答案】工+二=125 1 6xr=x【分析】(1)设M(x,y),p(x,y),则 由 轴 与|必，|p。|,得，=9，代入9 2+/=2 5,y=Z，整理得+=1；2 3 l o(2)由题意可求得直线方程为y =(x-3),代入椭圆方程，由韦达定理可知：石+占=3,中2=3进 而 由 弦 长 公 式=+即可求得直线被C所截线段的长度.【详解】(1)设点M的坐标为(x,y
15、),点P的坐标为(x ,y ),因为H Ux轴且|加。|=事尸。|,得，x=xf4,，即，y=-yX=x，5因为尸在圆上，得/+,=25,故f+生)=25,整理得(+5=1,故C的方程为+=1；2 5 16(2)由点斜式知，过点(/3,0、)且斜率为三4 的直线方程为y =?4x-3),设直线与C的交点为人(3,必)，85，%)，将直线方程y=x-3)代入c的方程,得江 +。-3)=,整 理 得 /一 3X-8=0,所以 +占=3,X=-8,2 5 2 5故线段A B的长度为|从即=（1 +公）（7 _ 尤 2）2 =（%+）2 你多41T41所以直线被C 所截线段的长度为2 0.中心在原点，
16、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点耳、F2,且 巧 用=2 1，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为3:7.求楠圆和双曲线的方程;（2）若点P 是椭圆和双曲线的一个交点，求2 2*2【答案】（1）椭 圆 方 程 为 三+汇=1,双曲线方程为三-二=149 36 9 44【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量;（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式PK+P乙=14,P K-P g=6,可求出 耳、PF2,再用余弦定理即可.【详解】（1）由 已 知 得,=旧，设椭圆长、短半轴长分别为。、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为 m,n,a-m =4,则:屈解得a=7,z=3
17、-所以。=J-、=6,=招-=2.7-=3-,a tn故 椭 圆 方 程 为 二+=1,双曲线方程为49 36 9 4（2）由椭圆、双曲线的对称性，不妨设、K 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则尸 6+尸 6=14,尸耳一尸工=6,所以尸6=1 0,P g=4.又耳心=2屈，故c o s/耳尸乙=PF-+P F -F 2PFt-PF2102+42-(2713)2 _42x10 x4-5-2 22 1.已知椭圆C：+方=1（a 6 0）过点M（2,3）,点 A 为其左顶点，且 4M 的斜率为方，（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求A AMN的面积的最大值.2 2【
18、答案】(1)+=1 ；(2)18.16 12【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线A M的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】由题意可知直线A M 的方程为：y-3 =U x-2),即x-2 y =-4.当)=0 时，解得工=-4,所以=4,丫 2 V2 4 9椭圆C:+*=l(a 6 0)过点 M(2,3),可得而+3=1,解 得/=12.所 以 C的方程：-+=1.16 12(2)设与直线4M 平行的直线方程为：x-2y=m,如图所示，当直线与椭圆相切时，与 A
19、M 距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时A A M N的面积取得最大值.16 12可得：3（,”+2 丫）2 +4 y 之=4 8 ,化简可得：16 y?+12 根 y +3 相2-4 8 =0,所以 =14 4?2-4X16（3%2-4 8）=0,即机2=5 4,解得机=8,与 A M 距离比较远的直线方程：x-2 y =8,直线A M 方程为：x-2 y =T,点N到直线A M的距离即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得:8+4 1 2 J1+4 5由两点之间距离公式可得14W|=7（2+4）2+32=3加 所以 AMN的面积的最大值：_Lx3石 x U =18.2 5【点睛
20、】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.2 2.如图所示的几何体由等高的;个圆柱和!个圆柱拼接而成，点 G 为弧8 的中点，且 C、E、D、2 4G 四点共面.（1）证明：EC_L平面BCG；（2）若直线。F 与平面AFB所成角为45。，求平面2D F与平面ABG所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）姮.5【分析】（1）连结E C,则由己知可得NGCD=N E 8 =45。，有 G C，E C,而 B C
21、 _LEC,所以可由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解：（1）连结E C,因为点G 为弧C的中点，D C是直径，D E =DC,DE1DC,所以NGC=/E C。=45。，所以G C LEC,又因为8 c 上平面OCE,ECu平面。C E,所以BC_LEC,又 8C,G Cu 平面 BCG,BC G C =C.所以EC _L平面BCG.G(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 A 5 =2,因为直线。尸与平面A E B 所成角为4 5。，则A B =(O,2,O),A G =(-1,1,2),=(-2,2,0),F D =(-2,0,2),设平面BD F的法向量为=(x,y,z),n FB=0n-FD=O可得:v=0 ,，/、T+Z=。令 I 则 M W)，设平面A 5 G 的法向量为7 =(a,b,c),则m-AB=2b=0m-AG=-a+h+2c=0得。=0,令 c =l,则m=(2,0,1)则 8s/M ”闻tn n 3 V 1 5故平面配正与平面A B G 所成锐二面角的余弦值为巫.5