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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学试题一、单选题1 .在等差数列 J中，4=一 9,”5=Tj m Z,=W 2“（T，2,“.），则数列 4（）.A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.d=T+9 =2【详解】由题意可知，等差数列的公差 5-1 5-1 ,则其通项公式为：a“，+（T）/=-9 +（-l）x 2 =2-ll,注意到 生%=1 。7 6 3 x l5 =9 4 5故数列K，中存在最大项，
2、且最大项为故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.2 .公元前5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 0 0 0 米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的1 0 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1 0 0 米，此时乌龟便领先他1 0 米，当阿基里斯跑完下一个1 0 米时，乌龟先他1 0 米，当阿基里斯跑完下一个1 0 米时，乌龟先他1 _ 所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为/米时，乌龟爬行的总距离为（）1 05-1A.
3、9 0 0 米1 05-9B.9 0 米 _ 9C.9 0 0 米1(/-1D.9 0 米【答案】Da.=1 0 0,q=,a=0.1【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设 1 0，由=0.1 =1 0 0 x (切，解得 =4,再求和.【详解】根据题意，这是一个等比数列模型,设q1 =1 0 0,夕q=1 o,a=0.177-1所以3n 0.1 =1 0 0 x1 0解得=4,故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力.属于中档题.3.已知等比数列S的各项都为正数，且当 2 2 时有6 1 6 川=/”,则 数 列 E%的前2 0 项和为()A.1 9 0
4、B.2 1 0 C.2 2 0 D.4 2 0【答案】B【分析】根 据 等 比 数 列 的 性 质 可 得 即 可 求 出 数 列 但见 的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：依题意等比数列J的各项都为正数，且当2 2 时有见一避.=/”所以所以%=e”所以 lna“=lne =所以数列)1 +2 +2 0 =刎工的前2 0 项和为(1 +2 0)x 2 02=2 1 0故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.=194.设等差数列S”的前项和为S,且 为。2 1,则当5,取最小值时，的值为（）A.21 B.2 0 C.19 D.19或2
5、0【答案】B3 9 d 2 r“Ia.=-a 3“=-2i）an【解析】由题得出 2,则 2,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设 等 差 数 列 的 公 差 为“，L L=12由。21 得21 孙=194%则213 +10d）=19（q+9d）,3 9解得 cix=-2-d,；q 0,n（n-d,Sn=/7 t z.+-d=-n2-20dn2 2,对称轴为 =2 0,开口向上，.当 =20时，S“最小故选：B.【点睛】方法点睛：求等差数列前项和最值，由于等差数列Sn=nai+-d=-n+a n2 2 I 2 J是关于的二次函数，当q与“异号时，“在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与
6、”同号时，E,在”=1取最值.5.如图，函数的图象在P点处的切线方程是V=f +8,若点尸的横坐标是5,则/（5）+/（5）=（）A.2 B.1 C.2 D.0【答案】C【详解】试题分析：函数y=/（x）的图象在点p处的切线方程是y=-x+8,所以，在p处的导数值为切线的斜率，/（5）+/）=-5+8 7 =2,故选C.【解析】本题主要考查导数的几何意义.点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值.6.已知函数x）和g（x）在区间M H 上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在“到b之间的平均变化率大于g（x）在到b之间的平均变化率B.f（x）在 0 到b之间的平均变化率小于g（x
7、）在 a 到b之间的平均变化率C.对于任意毛伍力），函数/5）在、=玉,处的瞬时变化率总大于函数g&）在x=处的瞬时变化率D.存在X。*（力），使得函数/（X）在X=X。处的瞬时变化率小于函数g（x）在X=X。处的瞬时变化率【答案】D【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.【详解】解：“X）在。到 6 之间的平均变化率是 b-a,g S）-g（a）g（x）在 a 到之间的平均变化率是，又,1 f（t ）=g（b）,/（a）=g（a）,/（b）-/（a）g S）-g（a）A b-a b-a,A、B 错误；易知函数/（x）在x=x。处的瞬时变化率是函数“X）在x=x。处的导数，即函数X）在
8、该点处的切线的斜率，同理可得：函数g（x）在x=x。处的瞬时变化率是函数g（x）在该点处的导数，即函数g（x）在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：X。*（a，b）时，函数“X）在X=X。处切线的斜率有可能大于g（x）在苫=X。处切线的斜率，也有可能小于g（x）在*=%处切线的斜率，故 C 错误，D 正确.故选：D.7.已 知 刈=/+2 +3,尸为曲线C：y =/(x)上的点，且曲线c在点尸处的切线的倾斜角的取10 0,-2值范围为1 4 2 人则点尸的横坐标的取值范围为()1 )-,+8B.T。C.。，1 D,L 2)【答案】D【解析】设点P的横坐标为七,利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范
9、围求斜率范围，建立不等式即可求解.【详解】设点P的横坐标为七,则点尸处的切线倾斜角。与与的关系为t a n a =f-/(x、V /(x0+Ax)-/(x0)._0)=h m -=2 x0+2&TO AX.71 7 t.4 2)f.t a n a e 1,+o o),X -l.2 x +221,即-2,总a)点尸的横坐标的取值范围为L 2 人故选：D卜“+3 必为奇数8.已知数列“满足：=L 1 2%+l,a,为偶数，则4=A.1 6 B.2 5 C.2 8 D.3 3【答案】C【解析】依次递推求出必得解.【详解】n=l 时，/=1 +3 =4,n=2 时，%=2X4+1 =9,n=3 时，%
10、=9 +3 =1 2,An=4 时14-，5 =2 x 1 2 +1 =2 5,cn=5 时-+，恁6=2 5 +3 =2 8故选：c【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.-1 -1-119.数 列 5,7,9,11,.的通项公式可能是4=()(-1)(-I)-1(-1)(T 尸A.3M+2B.2 +3C.2+3D.3+2【答案】C【分析】由分母构成等差数列即可求出.【详解】数列的分母5,7,9,形成首项为5,公差为2 的等差数列，则通项公式为5+(/?-1)x2=2/7+3a,(一 所 以 2+3.故选：C.2以)一/(%)10.已知函数J ,。)满足当A
11、 x-0 时，垃()1_J_A.20 B.-20 c.20 D.20【答案】Ax _/(x+A x)-/(x)/(X o+2A t)-(X o)【分析】根 据 导 数 的 定 义 有 时 S/Ax，即可知 Ax【详解】J 3 M ，而 心.0,/(%+2 2)-(%)+/(Xo+2Ax)-“Xo).2 Ax Ax,故 Ax.故选：A11.某物体的运动方程为s()=3/(位移单位：m,时间单位：s),若.5(3+0-5(3),v=hm=-=18m/sA，,则下列说法中正确的是()A.18m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3 s到(3 +加)s 这段时间内的速度C
12、.18m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3 s到(3 +A/)s这段时间内的平均速度【答案】C【解析】由瞬时变化率的物理意义判断.s（3 +A z）s（3）v =l i m-【详解】A-。2 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选：C.1 2 .函数V=/（x）的图象如图所示，/（X）是函数/（X）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A2/（4）2/（2）/（4）-/（2）B2/（2）/（4）-/（2）2/（4）C.2 r（2）2/，（4）/（4）-/（2）D./（4）-/（2）2/1（4）2/1（2）【答案】B【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知/（X）在
13、z）上单调递增故/4-2 72即 2/（2）/（4）-/（2）2/，（4）故选：B二、填空题1 3 .数列应 满 足 限+（-1）%”=3 -1,前1 6项和为5 4 0,则4 =.【答案】7【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用.表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立为方程，求解即可得出结论.【详解】限+（-）%=3-1,当“为奇数时，氏+2=怎+3-1；当 为偶数时，%+2+。“=3-1设数列“的前项和为S,Si6=at+a2+a)+a4+-+ai6=q +a3+a5-+(/+l)|-+l-r +l|=0=/=41 2 /或-I (民
14、尸重合，舍去)此时,(-Li),。，。)，故%:x +3 y-2 =0点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.1 5.如图，画一个边长为2 c加的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形,依此类推，这样共画了 8 个正方形，则这8 个正方形的面积和为 cm2.255【答案】史【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以4 为首项，万为公比的等比数列，结合等比数列的前n项公式分析可得答案.【详解】根据题意，第一个正方形的边长为2，机，其面积为4 c/,再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，上依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形
15、的面积的5上这些正方形的面积组成以4 为首项，2 为公比的等比数列，4 （夕 2 5 5风=工厂=五则这8 个正方形的面积和 2255故答案为：3 2【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，根据正方形的面积公式得到面积关系是解决本题的关键.属于基础题.16.若点“（2）在曲线N=/（x）上，且/（2）=-2,则曲线y=在点A 处的切线方程是【答案】2 f-5 =0【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】由题意知，切线的斜率=-2.所以，曲线，在点（2）处的切线方程为T=-2（X-2）,即2x+y-5 =0故答案为：2x+y-5 =0.三、解答题17.设数列包 的前项和为邑，满足工”=也+
16、2（3 ）,且q=l.（1）若C-f,求证：数 列 匕 是等差数列;求数列 的前项和S.【答案】证明见解析（3-4）X2T+2【分析】（1）根 据-S-2 2 作差得到 =4（见-,从而得到I二 4（%一 2 一）=4%=2%2”一 2W+,2fl+,2/,+,-2n+,-2W,即可得证；（2）首先求出%的通项公式，再根据4=2%“求出%的通项公式，最后根据S“M=4q,+2代入计算可得;【详解】解：因 为,的=%+2（”）,且 =1 ,当”=1时S?=4q+2,则%=5,当“22 时S=4%+2,所以S+S 4=4%+2-（4%_+2）,即。+=4（%,所以%上 4。，一 4（%_ 4%2a
17、n2-|2w+,2e 2T 2e T,即。-|+。+1 =2%,所以 I ）是等差数列；1%5 5 1 3 1 3（2）解：因为 C.=-2,=C2=T-=-C2-C.=-=一 2,-2-4,所以-4 2 4,所 以 是 以 2 为首项，4 为公1 ,/、3 3 一 1 3 7 7 -1 差的等差数列，所以 cn=+（-1 ）x-=-a=2 cn=-22、4 4,所 以 4，则3%一 S=4乂丁2+2=（3 3 2”+2 m、.=（3”4）x2T+24,所 以 、7y=-x3+2x2-3x+1 8.已知曲线 3（I）求该曲线斜率为-3 的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P,过点P
18、作直线/与x 轴、N轴的正半轴交于 I 两点，求AOZ8面积的最小值.4【答案】（1）3x+y-l=0或9x+3y-35=0.3【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3 即可求出切点坐标，进而可求切线方程；（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出 1 两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.y=-x3+2x2-3x+l【详解】（1）由.3得 y=-x2+4x-3-x2+4x-3=-3,解得x=0 或x=41y =-当x =0时，、=1；当x =4时，3.a y =3(x 4)切线方程为尸l 3 x或 3即 3工 +y 1 =0 或 9 x
19、+3 y 3 5 =0(2)y =-x2+4 x-3 =-(x-2)2+l 0,b 0),则直线/的方程为2 =l(a 0,b 0)2baa 2、c+-2.1 8 b 3l+t=i当且仅当a 1 8 6,即6b时取”=，号.2 1 i,2+=1 b 将a =6 6代入a 3b,解得”4,3 .二+型=1 -二直线/的方程为a 2 一 ,即x +6 y-4 =时，AO/8面积的最小值为5.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.1 9.在等差数列 中，%+%=-23,/=-1 4 5.(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 +是首
20、项为1,公比为。的等比数列，求也”的前项和S”.S=4 s+【答案】=一3 +2；当。=1时，2 ，当0且1时，1-。2【分析】(D设等差数列 4的公差为“，根据已知条件可得出关于6、d的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列 /的通项公式；(2)求得2=“+3-2,分a =l、a两种情况讨论，结合等差数列求和公式以及分组求和法可求得S 的表达式.%+%=2%+7 d=2 3 1 4 =1【详解】设 等 差 数 列 包 的 公 差 为 则 I 品=1 0%+4 5 4 =-1 4 5,解得 =-3因此，q,=q+(T)d=-3 +2；(2)由题意可得见+“=以，则=a i+3 _ 2$_(2
21、+3-1)_ 3/+当 a =l 时，,=3 1,则、，=22.当且a*时，贝卢=(1 +2+)+口+4 +7+(3-2)-a-a (1 +3 -2)_ 1 -罐 3n2-nF-a-T S _ 必 S _ S+口综上所述，当。=1 时，2 ,当 0且 1时，-a 2 .2 0.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，己知关系式为+其中T（）为 体 温（单位：）,，为太阳落山后的时间（单位：m i n）.（1）求从，=至，=1 0,蜥蜴的体温下降了多少？（2）从，=至!|，=1 0,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？（3）求G）并解释它的实际意义.【答案】（1）1 6；（2）表示从 0到
22、 10这段时间内变化率为-L 6,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6。口（3）表示太阳落山后5 m i n时，蜥蜴的体温下降的速度为L 2 C/m i n.【分析】（1）由题意从 0至，=1 的体温为7）一 丁（）,即可求值.（2）根据平均变化率的定义求，=到，=1 0 的平均变化率，说出其实际含义即可.（3）利用导数的定义求7 （5）,并说明其实际含义即可.7 （1 0）-7 （0）=-+1 5-f -+1 5|=-1 6【详解】1 0 +5 1 +5 ），即从，=0 到，=1 0,蜥蜴的体温下降了（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为7 0。）：7（0）一.6（C/m m）它表示从 =到，=1
23、0 这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 .1 2 0 1 C f 1 2 0 ，八7(5 +A 7(5)_ 5 +4+5 1 帝 人 1 2t(3)；1 0 +A Z ,r（5+A r）-r（5）.当&趋于 o 时，z 趋于-L 2,即（5）=T.2 c/m i n,它表示太阳落山后5 m i n时，蜥蜴的体温下降的速度为1 2 /m i n2 1.在等比数列 中，+生=5,且 出+%=2 0（1）求 ”的通项公式；（2）求数列“+疯 的前项和S，.【答案】（1）见=4 1；（2）S=4-l +2-l.【解析】（1）由数列“是等比数列，及+%=5,且+%=2 0,两式相除得到公比4,再
24、代入q+%=5可求q,则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列国.+同的前项和S”.【详解】解：（1）因为等比数列%中，+%=5,且%+%=2 0.好 生 口 =4所以公比 4+所以 4 +4=5%=5即=1,故,（2）因为%=4 i所以%“+阮=3-4，I+2”T5 =3 x所以1 一 4 1 一 2-M-1-4 1-2=4-1 +2”一 14+2-2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.2 2.已知函数/(x)=f 2+x 图象上两点/(2,/(2)、B(2+A x,/(2 +A x)(A r 0)（1）若割线力8的斜率不大于-1,求心的范围;（
25、2）求函数/*）=一/+、的图象在点4 2,/（2）处切线的方程.【答案】（1）（，+8）；3 x+y-4 =0包 4-1【解析】(1)求出割线的斜率(平均变化率)，解不等式 可得；(2)求出*=2进的瞬时变化率即的斜率，然后可得切线方程.=2+)/(2)【详解】(1)由题意得，割 线 的 斜 率 为 以 一 Ax-(2+Ax)2+(2+Ax)-(-4+2)=-4-A-x-+-A-x-(-A-x-)2 二一 3、一 AAx1 ,由-3-Ax 4-1,得 Ax 2-2,又因为A r 0,所以Ax的取值范围是(，+8).(2)由(1)知函数 x W-+x 的图象在点/(2,/(2)处切线的斜率为左=lim 丝=lim(-3-AX)=-3又 2)=+2 =-2,所以切线的方程为y T-2)=-3(x-2),即 3x+y-4 =0