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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1.观察下面数阵，13 57 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29则该数阵中第9 行，从左往右数的第20个 数 是（）A.545 B.547 C.549 D.551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有Z”T 个数，可求出前，行共有2 -1 个数，根据以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第加行有2 i个数，所以前川行共有2-1个数，所以前8 行共255个数.因为该数阵中的数依次相
2、连成等差数列，所以该数阵中第9 行，从左往右数的第20 个数是1+（275-1）x2=549.故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律是解题的关键，属于中档题.2.在数列 ,中，q=2,2a+t-2a=,则的 值 为（）A.52 B.51 C.50 D.49【答案】A【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出.【详解】由题意，数列 4 满足2。角-2,=1,即又由4=2,所以数列%为 首 项 为 2,公差为3 的等差数列，所以。=4+10(W=2+100 xg=52.故选：A.3.己知数列伍“是等差数列，4=2,其中公差d x(),若能 是
3、心和利的等比中项，则 几=()A.398 B.388C.189 D.199【答案】C【分析】数列 ,是等差数列，4=2,其中公差d*0,由%是附和肉的等比中项，可得(2+4d-=(2+2)(2+Id),解得d 即可得出.【详解】解：数列%是等差数列，6=2,其中公差d*(),%是%和小的等比中项，.-.(2+4产=(2+2)(2+Id),化为d(T)=0,*0.所以d=l,18x17则 凡=18x2+匕尸Xl=189.故选：C.4.已知数列%是等差数列，若为+%+qo=17,%+%+4+3 +44=7 7,则公差”=()1 2A.1 B.C.-D.-【答案】D【分析】利用等差数列的下标和性质即
4、可求解.17【详解】.4+“7+40=3a7=17,.*.%=.4 +“5 +”1 4 =1 149=77,%=7,故选：D5.己知数列%是以2 为首项，1为公差的等差数列，他是以1为首项，2 为公比的等比数列，则%+%+%=()A.1033 B.2057 C.1034 D.2058【答案】A【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到死,的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】Q他 是以1为首项，2为公比的等比数列，.2=2-,叫 是 以2为首项，1为公差的等差数列，=2+1，1 _710ahi+纵+”=(1+2+2?+2)+10=-+10=1024-1+10=10
5、33.1 _ 2故选：A.6.设函数x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(Lg(l)处的切线方程为仕=2x+l,则曲线y=/(x)在点 处 的 切 线 的 斜 率 为()A.4 B.C.2 D.4 2【答案】A【分析】利 用 尸g(x)在点(l,g)处的切线方程为y=2x+l,可得g 0,2所以当X =*时J(x)取到极小值1 _ 0 o,所以函数，(x)=2/-3 x+l 零点的个数为3所以C选项是正确的【点睛】三次函数问题一般通过求导解决函数的增减性问题和零点问题.X2-1,X 1 2、x则实数r 的取值范围是()A.B.1器)C.fl-ql D.另12 e 2J 2 2)2 e 2
6、)2 2J【答案】A【解析】利用导数求得函数y=W的单调性与最值，求解2 /(力+2/(力+)=0,转化为/(x)=T +g或 f(x)=-g,作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.【详解】设丫=如，可得y=上 誓，X x-当x w(0,e)时，y 0,函数单调递增；当x e(e,+o o)时，/f(3)尸(2)D./,(3)/,(1)/,(2)【分析】根据 X）的图象与导函数图象之间的关系判断.【详解】由/（X）图象知，/（X）递增，但函数值的变化量随着X的增大而减少，即/（X）图象的切线斜率随着X的增大而减小，导函数/（X）是递减的,因此尸 八2）尸（3）.故选：A.11.函数/
7、（x）=f l n x 的单调递减区间为（）A.e）B.C.（收）D.（0,&）【答案】A【分析】求出函数f(x)的定义域，利用导数可求得函数/(X)的单调递减区间.【详解】函数 x)=x2nx的定义域为(0,+“)，则/)=2/.+=421旧+1),由 r(x)0,可得 2 1 n x+l 0,解得 0 x0,排除 C,故选A.【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题,二、填空题13.我国古代数学名著 张丘建算经有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”则 分
8、钱 问 题 中 的 人 数 为.【答案】195【解析】根据题意列出关系式求解即可.【详解】解：依题意得，初次分钱时，每人所得钱数依次构成首项为3,公差为1 的等差数列，设人数为，则总钱数为3 +次 二 2 x l=+2,2 2 2平均分时每人得1 0 0,则总钱数为100/2,可得W +亚=100，2 2解得：=195,即分钱问题中的人数为195.故答案为：195.77714.在14与之间插入”个数，组成等比数列，若所有项的和为?，则此数列的项数为_ _ _ _.8【答案】5【分析】设该等比数列的公比为4,由等比数列的通项公式与等求和公式可得出关于“、4 的方程组,即可解得的值，由此可得出结论
9、.7-=i v+l8=【详解】设此等比数列的公比为/则7=2,故此数列共有5项.77J 4-J8-q故答案为：5.1 5.己知y=/(x)是可导函数，如图，直线y=H+2 是曲线y=/(x)在X=3处的切线，令g(x)=W(x),g(x)是g(x)的导函数，则 g(3)=.【答案】0【分析】由导数的几何意义可知k =/），故先求出3 然后利用8 （力=/（同+矿（可求出g（3）的值.o _ 1 1【详解】由图可知，曲线y =/（x）在尤=3 处切线的斜率等于4 =号=-；,0 3 3 制 3）=一（:g（x）=V（x）,*g（x）=/（x）+才（X）,“，（3）=3）+3;=1+3 x（-|=
10、0.故答案为：0.【点睛】本题考查导数的计算及导数的几何意义，较简单.解答时牢记曲线y =f（x）在某点x =x。处的切线斜率等于/（瓦）.1 6.已知函数/（x）=x+si n x,若正实数ab满足”4 4）+“-9）=0,则1的最小值为a b【答案】1【分析】由/（x）=x+si n x 知X）为奇函数，求导分析f（x）为增函数,故利用/（4 a）+/（b-9）=0 可 以 算 得 的 关 系，再利用基本不等式的方法求L +1的最小值即可.a b【详解】/（一 ）=一8+$抽（一*）=一%0 1 1 犬=一，（%）,故/（）为奇函数,又/（）=1+2,n&Nr）,数列出 满 足=Y（e N
11、）an-an(1)求证：数列也 是等差数列；(2)求数列 q 中的最大项和最小项.【答案】(1)证明见解析；(2)最小项为4=-1,最大项为4=3.【解析】(1)利用等差数列的定义，结合2=把 加+/和 加 用“+/和表示后整理即可得%-1到结论;(2)求出数列 6 的通项公式，则数列“的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项.1 /【详解】(1)因为4=2(2 2,sN,).且勿=n w N*),g、1%bn =-7-7=-f所以。+1 T 一 1 2_-an1=1 3,且 4=g,1又4=ar|,所 以 数 列 也 是以-|为首项，以 1为公差的等差数列.7 1 2 由
12、知 =”，则%=1+7=1+三 百设 X)=l+5 三，则/(X)在区 间,8；)和(提+8)上为减函数，且“eN*,所以当 =3时，4 取得最小值为-1,当 =4 时，勺取得最大值为3.故数列%中的最小项为 =7，最大项为4 =3.1 8.已知数列/中4 0,其前 项和为S“，且对任意般GN*,都有(+1)2=45“.等比数列也中，b+b3=3 0,仇+=810.(1)求数列仅“、仍”的通项公式;(2)求数列(1)4+b的前 项和Tn.【答案】(1)a“=2-l(eN*)；(2)bn=3【详解】试题分析：(1)由已知条件可得S.=51+4,了，根据=S“-S,i(N2)可得数列 q 是等差数
13、列，故可得其通项公式，根据等比数列的性质可求出公比q 继而可求出 的通项公式；(2)根据等比数列前项和公式可得 4 前项和纥，分为为奇数和为偶数，利用并项求和可求得 q 的前项和4,进而可得结果.试题解析：Q)由(4+1)2=45“得S“=；(l +q,)2,.当“22时，S,”|，.由一得，S,一E i =；(1 +4)-+，即 4%=蜡 一 吮+2(%-%),整理得。；一。3=2(4+%),an+4_|0,a.-%=2(2),由已知得，当=1时，S1 9 1 9I=-(1 +I),即q=z(l +q，解得q=L故数列 4 是首项为1，公差为2的等差数列.=1 +2(-1)=2-.,3 t.
14、+b.81 0 ”，设等比数列 的公比为4,则夕=点 清=而=27,所以4=3.故&+&=仇+4/=30,即 叫=30,解得仿=3.故=4q T=3 .(2)记数列(-1)”凡 的前项和为4,数列出 的前”项和为纥.则 B =3(3 )=J_(3 M _3).1-3 2 当”为偶数时，奇数项与偶数项各有;项.则 4=_ 4+。2 _%+=-(q+g+4 1)+(生+%+4,)；1 +(2-3)；3 +(2 -1).=-+-=n*2 2当”为奇数时，奇 数 项 为 等 项，偶数项为一项.则 A“=_ 4 +%一/+an-+an=(+)+(%+%+4.1 )等1 1 +(2-1)一 3 +(2-3
15、).F U2 21(3 ”_3)+,为偶数所以(,=4+纥=；L(3 M _3)-“,为奇数点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于=4+2，其中“和 2分别为特殊数列，裂项相消法类似于4 =又 匕y，错位相减法类似于，=，也，其中 弧 为等差数列，也 为等比数列等.1 9.已知等比数列 ”的前项和为S，率=；.(1)求等比数列“的公比夕；(2)求a；.【答案】(1)q =-g;(2)共1-塔【分析】(1)结合等比数列前项和的性质以及已知条件，解方程即可求出结果；(2)求出个
16、=(：,即可判断数列 ；是首项为1,公比为5的等比数列，然后利用等比数列的求和公式即可求解.【详解】(1)由 金=u，at=-l,知公比51,注 鸟=-1.由等比数列前项和的性质知S5,S1 0S5,S/5 S/0成等比数列，且公比为炉，故夕5=_*,g=_L(2)由(1),所 以 数 列,是 首 项 为L公比为:的等2 0.已知抛物线司=2 9+1上一点P(0,l),求:点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.【答案】0(2)7=1【分析】求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.【详解】(1)/(X)=2X2+1f (x)=4x将点P(O,
17、1)的X 代 入,/(0)=0所以点P处的切线的斜率为0；(2)由(1)可知，点 P处的切线的斜率k =0,根据直线的点斜式方程，点尸处的切线为y-i =o-(x-0),得 y=L2 1.设函数/()=以-?，曲线产/(x)在 点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-1 2=0.(1)求y=f(x)的解析式；(2)证明：曲线y于(外上任一点处的切线与直线4 0和直线产工所围成的三角形面积为定值，并求此定值.3【答案】(1)。)二=一一;(2)证明见解析.x【详解】解：(1)方程7 x-4 y-1 2=0 可化为y=:x-3,4当 x=2 时，y=3.又 f(x)=a+刍，二c b 1于是北
18、工 解 得 /4+=一4 43故 f(x)=x-.X3(2)证明：设 P(xo,yo)为曲线上任一点，由，(x)=l +二 知，曲线在点P(xo,yo)处的切线方程为y-x3 3 3yo=(l +-)-(xxo),即 y(xo )=(1 +-)(xxo).%与6_ 6令 x=0 得，y=,从而得切线与直线x=0,交点坐标为(0,令 =x,得 y=x=2 x o，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2 x o,2 x o).I 6所以点P(x o,yo)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为万|一一|2 x o|=6.z xo曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x
19、所围成的三角形面积为定值，此定值为6.2 2.设函数f(x)=(l-x 2)e l(I)讨论函数/(x)的单调性;(I I)当x N O 时，/(x)a x +l ,求实数”的取值范围.【答案】函数/(x)在和(&-l,+oo)上单调递减，在(-夜-1,血-1)上单调递增.(I I)【详解】试题分析：(1)先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；(2)对。分类讨论，当 仑1时，/(8)=(1-祖1+小，4 1 +45+1,满足条件；当aWO时，,/(x0)(l-x0)(I +x0)2=1 a x0+l,当 0。(l-x0)(l +x()2 a r()+l.试题解析：解 /
20、(x)=(l-2 x-f)e x令 f(x)=O 得 尸-l-a,%=-1+A/2当 x W (-8,-1-/)时，/(x)0；当 x G (-1 +72 .+8)时,/,0所以兀0在(-c o,-1-72)(-1 +7 2，+oo)单调递减，在(-1-6，八+也)单调递增(2)/(x)=(l+x)(1-x)ex当近1 时，设函数力。)=(1-x)e x,hx)=-xex 0),因此/i(x)在 0,+oo)单调递减，而/?(0)=1,故 所 以U)=(x+1)h(x)x+0 (x 0),所以 g (x)在在 0,+oo)单调递增，而 g(0)=0,故 e后x+1当 0 V x V I,/(x)(l-x)(l +x)2,(l-x)(l +x)2-ax-l=x(-a-x-x2j r 取/=5；T则/0),(1一/)(1+$)2 _”=0,/(陶)/+1当 a V O时，(l-X o)(l +x()2 =1 办。+1综上，4的取值范围 1,+0 0)点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.