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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1 21.已知数列 q 满足q =三，4+1=1-77-（NJ,则由0 2 2 =（）3 十%A.2 B.3 C.D.2 3【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列/是周期数列，进而求得结果.2 1 2 详解由已知得二：,02=1-7 7-2-=3 1+3-22 2 1%=1-=2,4=1-=,1-3 5 1 +2 3可以判断出数列 4 是以4 为周期的数列，故a2 H2 2=a505x4+2=2=-p故选：C.2.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的
2、题目：把 100个面包分给5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的g 是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.10 B.15 C.20 D.15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前”项和公式求解.【详解】设最小的一份为6 个，公差为d,0,3（%+%+。5）=%=4+，5x4由鼬*5 q+1 =100由题悬j 2，解得4+3d=2%+d故选：A.3.等比数列 4 的前项和S“=G2 T+6,则=（）bA.-2 B.C.2 D.-22【答案】A【分析】赋值法求出4=a+，a2=a,a.=2 a,利用等比中项得到方程，求出 =-2.【详解】=6 7-2/,-1 4-b,当=1 时
3、，4 =+/?,当=2时，4+。2=2。+人,故。2=，当=3时，q+%+/=4 +匕，从而q=2%由于/是等比数列,故 2=加.+6),解得：1=-2.故选：A4.3为不超过x的最大整数，设 为 函 数 x)=x x ,x e O,)的值域中所有元素的个数.若数列,一 的前项和为S“，则S.2=()U+2 JAN B.1 C.胆 D.1 21 11 0 1 3 2 4 0 4 0 1 0 1 2【答案】D【分析】先 根 据 题 意 求 出 为=产,eN*,进而用裂项相消法求和.【详解】当”=1 时，工0,1),司=0,x x =O,故 x x =0,即4=1,当=2时，x e 0,2),x
4、=O,l ,x A-e O l,2),故 巾 =0,1 ,即=2,当”=3时，x e 0,3),x =O,l,2),x x e 0 =1,2)3 4,6),故 3 =0,1,4,5 ,即%=4,以此类推，当2 2,万4 0,)时，司=0,1,2,x x e 0 4 1,2儿4,6),_ 比5一炉，”(一0，故 可 以 取 的 个 数 为1 +1 +2+_ 1 =/-+2,即 为=土 手,2 2,当n=l时也满足上式，故4,=-；+2,“N*,、1 2 2 _ 2_ _ _ _ _ 2_所以 a“+2 n2+3/7 +2(n +l)(n +2)n+n+2。2 2 2 23=-1-F 2 3 3
5、42 2 1 2-=-+1 n+2-+23,所 以%2=些=3.n+2 20 22 20 24 1 0 1 2故选：D【点睛】取整函数经常考察,往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算,才能保证题目能够解集，本题中得到A .v e 0 1,2).4,6)(-1)(-1)是解题的关键.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数1、3、6、10、L,正方形数1、4、9、16、L等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项 为()A.16 B.1
6、7 C.18 D.22【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为1,第二个五边形数为1+4=5,第三个五边形数为1+4+7 =12,故第四个五边形数为1+4+7 +10=22.故选：D.6.已知函数 x)=(x+；n x,其导函数记为尸(x),则/(2022)+f(2022)+f(-2022)-f(-2022)=()A.-3 B.3 C.-2 D.2【答案】D【分析】利用求导法则求出尸(x),即可知道/(x)=/(-x),再利用“x)+/(-x)=2,即可求解.【详解】由已知得了(_ x)=(l x)2：sin(-x)=(l x)2 sinx,v 7
7、X2+1 X2+1则仆”产+小产=2,7(1)=2(x+l)+co sx(x2+i)2x(x+l)+sin x(2+cosx)(x2+l)-2xsinxO则/(-力(2+cosx7)(x2+Vl)-2-x-s-i-n-x-(炉+i)即 r(x)=r(-x),则/(2022)+/(2022)+/(-2022)-/(-2022)=/(2022)+/(2022)+/(2022)/(2022)=2,故选：D.7 .若函数/（x）=lnx+o r2的图象上存在与直线x+2y=0垂直的切线，则实数。的取值范围是（）A.卜 吗 B.C.1 ,D.g,+8）【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程
8、有解求。的取值范围【详解】由题意得，函数“X）的定义域为（0,+助，且/（力=：+2以，.函数f（x）=lnx+加的图象上存在与直线x+2y=0垂直的切线，即，+2如=2有正数解，即“=一 工+在（0,+司 上有解，x2 x x；x 0故选：A.8 .已知R上 的 函 数 的 导 函 数/（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.x）的最大值为一（今C.f（x）有两个零点【答案】DB./（x）的极大值为/（。）D./（x）有两个极值点【分析】根据导函数尸（X）的图象确定/（X）值的正负，判断函数“X）的单调性，再逐项判断作答.【详解】由函数尸（X）的图象知，当 或 尢 。时，r（x）0,
9、当。时，力2在）0,即 函 数 在（-8，/，（G+0上单调递减，在3 c）上单调递增，因b e（a,c）,即有A不正确;函数f（x）在x=a处取得极小值，在x=c处取得极大值，B不正确，D正确；由于函数/（x）的极小值/（）、极大值/的符号不确定，则函数x）的图象与x轴的交点个数就不确定，C不正确.故选：D9.己 知 费x）是定义在（0次）上的函数x）的导函数，且 矿（力-/（力 0,则。=2/匕）0=3 F ），c=的大小关系为（）A.a c b B.abc C.b c a D.b a c【答案】A【分析】构造g（x）=,由已知及导数研究其单调性，进而比较“=6=g（g）、c=g（j的大小
10、即可.【详解】令g*）=乎，则,（力=之 牛 丝L因为对 （x）-“X）0对于（o,y）恒成立，所以研 勾 0,即g（x）=/H在（0,招）上单调递增，乂且9:4所以gQg（小g（J ,dacb.故选：A10.若函数x）=x-q-a l n x在1,内）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.-27 5,27 5 B.卜8,2 6 C.（3,6 D.（0,6【答案】B【分析】转化问题为尸（x）N O在 1,m）上恒成立，即a 4 x +在 1,+）上恒成立，结合基本不等式求解即可.【详解】因为函数/（x）在 1,+8）上是增函数,所以r（x）W0在 上 恒 成 立，即尸（x）=l +康-2 2
11、 0,即a Wx+g恒成立,又工+2 2 2、”=2逐，当且仅当=后 时，等号成立，X V X所以a 4 2遍,故选：B11.笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，5 2岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了 18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：r =a（1-s i n。）,拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状.这就是著名的“心形线”故事.某同学利用几何画板，将函数=，g(x)=_ 3%聘画在同一坐标系中，得到了如图曲线.观察图形，当x 0 时，g(x
12、)的导函数g (x)的 图 像 为()【答案】A【分析】根据题干己知图像判断x 0 时 g(x)图像的形状，根据g(x)图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像.【详解】根据贝x)和 g(x)的解析式可知於)和g(x)均为偶函数，图像关于)，轴对称，当 x 0 时，/(x)=7 1-(x-l)2，设尸,则(x-1丫 +丫2=1,.此时於)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分，.该部分图像单调递增，故g (x)的值恒为正，即g (x)图像始终在x 轴上方,故排除选项B C；且 g(x)该部分图像的切线斜率先减小后增大，故g (x)的值先减小后
13、增大，由此对应的只有A图像满足.故选：A.12.函数x)=x c o s x-s i n x+；Y,x e(O,乃)的减区间为()A.o，Y【答案】B【分析】根据求导运算可得：/(x)=x Q-s in x j,x e(O,幻，分析可知x 0,/(x)的符号与g-sin x 的符号一致，求 解;-sin x 0 可得/(x)的减区间.【详解】，.,尸(x)=cosx-xsinx-cosx+gx=x(g-sin x),x e(O,万)令r(x)0 得：；-sin x 2),a2 2 时，-2 丁为奇数为偶数,利用迭代法即可求解.【详解】因为q=T,凡a,i|=2 T(e N*,2 2),a2-,
14、所以 g-4 =-21=-2 ,即出=-3 ,l a3-a21=22=4,且 是递减数列，数列%“是递增数列.3=-7 或3=1 (舍去),.1 a4 1=%=2 3,I%-a41=a4-a5=24 f故可得当2 时，_ =卜 2-为奇数%-41=仔”为 偶 数.1 42022=3 2 0 2 2 一 ”2 0 21)+(“2021-4 2 0 2 0)+(“2一 4)+4 =222 1-22+22 0,6+22)-323(2&1 0 1 0-1)22(22XI0I0-1)22-122-1-34X22020-4 2-333故答案为:31 5 .数列 叫前四项满足、/、的成等差数列，、%成等比数
15、列，若4+4+4=%则4 +4【答案】2【分析】由题意设数列 4 前四项为I,。闻，2%q-%,%q2,则由q+4+4=4列方程可求出4的值，从而可求出 一1的值 3【详解】设四个数为力,。闻，2。臼一。1,axq21由4 +0+%=%，即4+4 q+2 4 4-4 =%夕。可得4 =3,则 9+4 二%+*=i q /、a3 2a、q a1 5al故答案为：21 6.已知函数 x)=；x 2-x+l n x,对于任意不同的4，x2e(O,4 w),有：)二(%)3,则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】(-8,-1【分析】设占*2,结合不等式可得与)一3 为9)3 毛，构造函数*x)=/(
16、x)3 x,则F(X,)F(X2),即尸(x)单调递增，转化问题为广(x)WO 恒成立，进而分离参数，结合基本不等式即可求解.【详解】对于任意演，X2G(O,+),有-“引3,不妨设七,则/(西)-/()3(与-&)，即/(%)-3 西/()-3,设F(x)=/(x)3 x,则 尸(%)尸(%),又为%，所以(%)单调递增,则广(x)2 0 恒成立，因为 F(x)=/(x)-3 x =g x2-(3 +a)x +l nx,所以 F x)=x (3 +a)+：=巴 丝 虫 把，令 g(x)=d(3+a)x+l ,要使F (x”0 在(0,+纥)恒成立，只需g(x)=x 2 (3+a)x+l 2
17、0 恒成立，即3 +a 4 x +1恒成立,又=2,所以3 +a 2),且仇-q =1,求数歹I (的前 项和T.【答案】(1)4,=4-2（2）i，=y2 7 7 4-1【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解;（2）利用累加法求出数列 耳 的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.【详解】（1）解：设 q的公差为d，由题意得:522=S,-S41=3(%+2)化简整理得:(2 q +d)2=q.(4 q +64)64 +1 5d =3(q +5d +2)4 =4H-2；（2）解：由（1）知。=4-2 ,也 一%=8-4,:S“-。_|)+(%-。“-2)+S”2-%
18、)+(4 一 瓦)=(8-4)+(8-1 2)+1 2(8 -4)+1 2 (一 1)=4 n2-4(2),一 包 一1)+(2.1 一 包.2)+(2-2 T)+(b?-*)=4-瓦,bc i =1,bx=3也=4 M 1,二1 =1 (z-1 -1 -)、,bn 2 2 n-2 n+l 1 9.己知数列 q,首项4=1,前”项和S.足2=（1）求出席邑,邑，54,并猜想5,的表达式;（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1)5,=1,S2=,53=|,S4=f ；S“二 空(2)证明见解析325 +1【分析】(1)有递推公式，以及4,即可容易求得S“S2，S3，S，并作出猜想；(2)根
19、据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】(1)根据题意，由显=2,(eN),4=1 得：an Si=q=1,由 52=224=4区 一 5)=4 3 一1),得：S2=p由 53=32%=9(53_邑)=9 1 3 _?,得：?=|=5，由54=42%=16(5 53)=16(54-|),得：S4=g,2/7猜想s 的表达式为：二 三；综上所述，答案为：5,=,=!,S2=,53=：,S=g；S =3；325 +1(2)证明：7 x 11 .当 =1时，丁;=1,=1,猜想正确;1 +12.假设当=4,2 1 小 )时，猜想正确，即 纵=含；那当=4+1 时，由已知得：St+I=+l)2
20、aA.+1=(k+1)2(S,+1-Sk)将归纳假设代入上式，得：%=(%+小 高(&2+2&)%=2&(%+1).2(+1)2(+1),k+i k+2 (%+1)+1 这就是说，当=k+1时，猜想正确；2k综上所述1,2 知：对一切 e N*,都 有&=成立.【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.2 0.己知函数,/(x)=g x 3-ar+a,a e R.讨论/(x)的单调性；(2)当 a=l 时,求 x)在-2,2 上的最值.【答案】(1)答案见解析(2)最大值为I，最小值为:【分析】(1)首先求函数的导数，/(x)=V-。，再分和。0两种情况讨论函数
21、的单调性;(2)/(x)=1x3-x +l,根据函数的单调性，求函数的最值.【详解】(1)由题意得，fx)=-a,当a0时，/(x)N O 恒成立，此时“X)在(3,+w)上是增函数，当o时，令r(x)=o,解得工=五，令。，可得或;令r(x)。,可得 工 y a,所以/(X)在卜8,-)和(G,+00)上是增函数，在 -6,&上是减函数.(2)由题意得，/(x)=1x3-%+l,由(1)知,/(x)在 2,-1)和(1,2 上是增函数,在-1,1 上是减函数.X/(-2)=1X(-2)3-(-2)+1 =1,./(-1)=1X(-1)3-(-1)+1 =|(/(1)=1XP-1+1 =1),
22、/(2)=1X23-2 +1 =|,故 x)在-2,2 上 的 最 大 值 为 最小值为g.on2 1.当x=2时，函 数/*)=以 3-云+4(“/?,)/?)有极值-詈，求函数/(幻=-6x+4 的解析式；若关于x的方程f M=无有3 个解，求实数k的取值范围.2【答案】(D/(X)=X3-8X+4【分析】(1)根据题目条件得到方程组，求出。泊的值，检验是否符合要求；(2)在第一问的基础上,2构造/2(幻=/一 8x+4-Z,求导，求出其极值，列出不等式，求出实数&的取值范围.【详解】(1)ff(x)=3ax2-h,r =124-6=0=2由题意得：I、o”,20，解得：一，2)=8”2+
23、4=-)=8/(x)=x3-8x+4经验证，函数f(x)=,x3-8x+4 在x=2处有极值-耳，故解析式为：/(x)=|x3-8x+4.32(2)h(x)=f(x)-k9 由(1)得：/2。)=/一8尤 +4-左hx)=2x2-8=2(x 2)(x+2)令 。)=0得，X=2,X2=-2,当xv2 时，(x)0,当一2%2 时，/2 时，44因此，当x=-2 时，()有极大值三-人，20当x=2时，M x)有极小值一千3关于x 的方程/(x)=&有 3 个解，等价于函数/z(x)有三个零点，隹 T 03所以2 0-k。320,44-A-x，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.【详解】(
24、1)fx)=sin x+xcos x-sin x+ar=xcos x+ax,所以 切=/f(0)=0,又 0)=1,所以/（X）在（），八。）处的切线方程：y-l =o,即y=l.(2)当a=0时，/(x)=xsinx+cosx,f，(x)=sinx+xcosx-sin x=xcosx,TT TT所以在5m,（。,万）上，小）。-3单调递增,在（5，。），（,乃）上，r（x）。，/（X）单调递减,所 以/单调递增区间为（-肛-耳），（0,）,单 调 递 减 区 间 为。）弓，（3）当。0 日 寸，令/（x）=0,得 xsinx+cosx+：以2 =0,所以2xsinx+2cosx人 /、2xsinx+2cosx,冗 ,令g(x)=-5-，,幻，-XT 2g(x)(2 sin x+2 xcos x-2sin x)(-x2)-(2xsin x+2 cos x)(-2x)-2/cos x+4x2 sin x+4xcos x _ 2xcos x(-x2+2)+4x sin x(-x2)2-(-x2)2当工 皆，笈 时，cosx0,-x2+2 0,即 g（x）。，所以g（x）在 号，句上单调递增,又&（2）-/-n,g（）=二=-n 乃 一4若/“）在区间仁 有一个零点，则 助4,2 4；r故。的取值范围（），4 b7 1