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1、学习必备 欢迎下载 教师:学生:日期:2015 年 4 月 30 日 时段:15:0017:00 课 题 相似三角形的性质 学情分析 学生数学基础较好，需要在现学基础上进行深化 学习目标与 考点分析 了解相似三角形的性质，学会利用相似三角形的性质解题 学习重点 了解相似三角形的性质 学习难点 学会利用相似三角形的性质解题 学习方法 教师一对一 个 性 化 辅 导 过 程 一、基础巩固 三角形相似的情况分类 EDCBA EDCBA EDAC EDABC（1）平截 A型 （2）斜截 A型 （3）平截 X型 （4）斜截 X型 BDCPA BDCPA （5）旋转型 （6）反射型（APC 90）（7）直
2、角型（APC=90）（APB=CPD）请你写出每种类型中的你认为的相似三角形以及它们的对应边及对应角。_ B _ C _ D _ E _ A 龙文教育学科导学案学习必备 欢迎下载 二、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 2相似三角形的对应边成比例 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 4相似三角形周长的比等于相似比 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图 5，ABC与AB C相似，AH是ABC中BC边上的高线，AH是AB C中B C边上的高线，则有ABBCACAHkABB CACAH（k为相似比）进而可得21212ABCAB CBC AHSBCAH
3、kSB CAHB CAH 四、相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高
4、分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1横向定型法 欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，恰为ABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，恰为BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF 2纵向定型法 欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，恰为ABC的顶
5、点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF HHABCCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如
6、果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 3中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较
7、复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 如图：AD平分BAC交BC于D，求证：BDABDCAC 证法一：过C作CEAD，交BA的延长线于E 1E ，23 12 ，3E ACAE ADCE，BDBABADCBEAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型 证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E 12E ，AB
8、BE BEAC，BDBEABDCACAC 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型 七、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABCACDBC AHSBCSCDCD AH 如图：1212ABCBCDBC AHSAHAOSDGODBC DG 如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSAB ADAB ADSSSAEACAE AC 321EDCABBACDE1 2图1：“山字”型HDCBA图2：“田字”型GHODCBA图3：“燕尾”型CDEBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋
9、转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 八、相似证明中的基本模型 IH
10、GFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBA EFDCBAFEDCBAODCBAODCBA HEDCBAEDCBAEDCBAODCBA DCBDBACAEDCBADCBA GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA HPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA 【例题精讲】【例1】如图，ABC中，60ABC，点P是ABC内一点，使得APBBPCCPA ，86PAPC，则PB PCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的
11、性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 【例2】如图，已知ABC中，:1:3AE EB，:2:1BC CD，AD与CE相交于F，则AFEFFCFD的值 A.52 B.1 C.32 D.2 【例3
12、】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD BPAE CP.【例4】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCE 【例5】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.【例6】如图，已知/ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.【例7】如上图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.ADEFCBDCFEBAFDCEABPE
13、DCBAFNMEDCBAPEDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单
14、说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 【例8】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG 【例9】如图，已知/ABEFCD，找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系，并证明你的结论.【例10】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPR PS 【例 11】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G求证：EGGF 【例 12】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、
15、AB于D、E，HGFEDCBAlSRPNMODCBAGFECDBAPNMEDCBANMHDCFEBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形
16、的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 求证：1ADAEDCEB 【例 13】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且AQ QDBP PCAB CD，求证：直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角 【例 14】如图，ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC分成三个三角形和三个平行四边形 若三个三角形的面积123SSS，分别为1 12，则ABC的面积是 【例 15】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22pq，则梯形的面积是（）A222 pq B2p
17、q C22pqpq D222222p qPqpq 【例 16】如图，梯形ABCD中，ADBC，两条对角线AC、BD相交于O，若:1:9AODCOBSS，那么:BOCDOCSS QPEFDCBAPS3S2S1IHGFEDCBAq2p2OABCDOABCD难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分
18、线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 【例 17】如图所示，在ABC中，60B ，100A，E为AC的中点，80DEC，D是BC边上的点，1BC，求ABC的面积与CDE的面积的两倍的和 【例 17】如图，已知DEAB，2OAOC OE，求证：ADBC.【基础题型回顾】1、恒相似三角形 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个
19、等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原 三角形相似。第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个 三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角 形相似。2、掌握好相似三角形的判定方法，看题目中已有什么条件，还缺少什么条件。有平行截线 用判定定理 EDCBADOECBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载
20、二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 有一对等角，找 另一对等角 夹边成比例 夹角相等 判定三角形相似的 有两边对应成比例，找 第三边也成比例 思路 有一对直角 直角三角形，找 一锐角 斜边、直角边对应成比例 顶角相等 等腰三角形，找 一对底角相等 底
21、和腰成比例 3、重心 例题 1、下列每一组中两个图形相似的是-（）（A）两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为30（B）邻边的比都等于 2 的两个平行四边形（C）底角为45的两个等腰梯形 （D）有一个角是120的两个等腰三角形 例题2、判断题：(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。（）(2)两个等腰直角三角形是相似三角形。（）(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。（）(4)两个直角三角形一定是相似三角形。（）(5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。（）(6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。（）(7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。（）(8)三角形的
22、三条中位线围成的三角形与原三角形相似。（）(9)所有的正三角形都相似。（）(10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似.（）例题 3、矩形 ABCD，SADE=9，SACD=11，求阴影部分的面积。A D 例题 4、如图,甲楼 AB高 18 米,乙楼坐落在甲楼的正东面,已知当地下午 3 时,物高与影长的比是 0.5:1,已知两楼相距 21 米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?E 例题 5已知：如图，在ABC 中，C90，P 是 AB 上一点，且点 P 不与点 A 重合，过点 P 作 PEAB 交 AC 于 E，点 E 不与点 C 重合，若 AB10，AC8，设 APx，四边形 PECB 的
23、周长为 y，求 y 与x 的函数关系式 EDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三
24、角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 NMDCBA 例题 6.如图，在矩形 ABCD 中，AB=18cm，AD=9cm，点 M沿 AB边从 A点开始向 B以 2cm/s 的速度移动，点 N沿 DA边从 D点开始向 A以 1cm/s 的速度移动如果点 M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0t9），求：（1）当t为何值时，45ANM？（2）计算四边形 AMCN 的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；（3）当t为何值时，以点 M、N、A为顶点的三角形与BCD相似？三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：特别满意 满意 一般 差 学生签字：五、教师
25、评定：1、学生上次作业评价：非常好 好 一般 需要优化 2、学生本次上课情况评价：非常好 好 一般 需要优化 教师签字：教导主任签字：_ 【例1】如图，ABC中，60ABC，点P是ABC内一点，使得APBBPCCPA ，86PAPC，则PB 【考点】相似三角形的性质与判定 120APBBPC 60BAPABPABCABPCBP ，故A B PB，龙文教育教务处 PCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习
26、必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 2PBPA PC【答案】4 3 【例2】如图，已知ABC中，:1:3AE EB，:2:1BC CD，AD与CE相交于F，则A FEFFCFD的值为（）A.52 B.1 C.32 D.2【考点】相似三角形
27、的性质与判定【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题.【答案】C【例3】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD BPAE CP.PEDCBAMPEDCBA【考点】相似三角形的性质与判定【答案】过C作CMAB交DP于M，CMAB，PCMPBD，CMPCBDPB，CMAB，CEMAED，CMADCEAE，BDCE，CMCMCEBD，PCADPBAE，AD BPAE CP ADEFCB难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学
28、会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 【例4】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BP
29、BDCPCE PEDCBA4321MPEDCBA【考点】相似三角形的性质和判定【答案】过C作CMAB交DP于M，CMAB，PCMPBD，BPBDCPCM，CMAB，14 ，又ADAE，12 ，24 ，23 ，34 ，CMCE BPBDCPCE 【例5】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.【考点】相似三角形的性质与判定【答案】过M，N分别作AC的平行线交AB于H，G两点，NH交AM于K，BMMNNC，BGGHHA，易知12HKGM，12GMHN，14HKHN，即13HKKN，又DFHN，13D
30、EHKEFKN，即3EFDE.FNMEDCBAKHFNMGEDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对
31、应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载【例6】如图，已知/ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.【考点】相似三角形的性质与判定【答案】/ABEF EFDFABBD /CDEF EFBFCDBD 两式相加并变形可得，111EFABCD，即111cab.【例7】如上图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.【考点】相似三角形的性质与判定【答 案】由ABBD，CDBD，EFBD，则 必 有/ABCDEF进而可知EFDFABBD，EFBFCDBD，两式相加并变
32、形可得，111EFABCD 【例8】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG 【考点】相似三角形的性质与判定【解析】连接DF、CG，则45EDFEBFDFB ，若DFBEBG，则EBFEBG 可求，问题的关键是证明BCGFDB【答案】45【例9】如图，已知/ABEFCD，找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系，并证明你的结论.【考点】相似三角形的性质与判定【答案】111BEDABDBCDSSS，过点A、E、C分别作BD的垂线，垂足为H、M、N.由变式 1 可知，111EMAHCN，故 111111222BD EMBD AHBD CN 即111BEDABDBCDSSS 点评：此
33、题的证明过程体现了“集中”这一思想，将EFAB、EFCD集中到同一条线段BD上，从而发现它们的和是一个常数.【例10】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPR PS DCFEBAFDCEABHGFEDCBANMHDCFEBAlSRPNMODCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下
34、载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载【考点】相似三角形的性质与判定【答案】BOOCODBDMSPRCPPN PNODPRBO BOAOODBDMSPMAPPS PSODPMBO PNPSPMPNPR PSPRPM 点评：本题通过证明原结论的变形式两个
35、分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比例）来证明他们 【例11】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G求证：EGGF【考点】相似三角形的性质与判定【答案】证法一：过C作MNEF交AE、AF于MN，则有MCEMFNCNBDEBFDBD，MCCN，又MNEF，MCACCNEGAGGF，EGGF 证 法 二：由 塞 瓦 定 理 的 充 分 性 可 得：1EGFDABGFDA BE又因为ABADBEDF，代入上式得1EGFDADGFDA DF，即1EGGF所以EGGF 【例12】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交
36、对边AC、AB于D、E，求证：1ADAEDCEB 【考点】相似三角形的性质与判定【答案】延长BD、CE分别交过A的平行BC的直线于R、Q两点，QRMNBC，且AMBM，PQPC，PRPB 又QPRCPB PQRPCB，可得QRBC，又ADARDCBC，AEAQEBBC，1ADAEARAQARAQRQBCCDEBBCBCBCBCBC GFECDBANMGFECDBAPNMEDCBARQPNMEDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三
37、角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 【例13】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如
38、果AB PRCDRQEFQP，求证：BC USDESTFA TU 【考点】相似三角形的性质和判定【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构成一个与PQR相似的三角形 如图所示，将CD平移至OE位置，则OECD，且OECD=，所以FEOQ，且EO QRCD QREFQP，因此FEOPQR，从而OFEP，且FOPREFQPAB PR 这说明FOAB，且FOAB=，进而FAOB，且FAOB=又因为CODE，于是COBSTU，所以BC USCOSTOB TU，注意到CODE，OBFA，故
39、BC USDESTFA TU 【例14】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且AQ QDBP PCAB CD，求证：直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角 【考点】相似三角形的性质及判定【解析】法 1：要求证夹角相等，而题目中的线段太分散，我们尝试将线段进行集中 如图所示，将CD平移至C A的位置，则ACDC，且ACDC=过点P作CC的平行线交BC于点R，则BR RCBP PCAB CDAB AC，因而由三角形的角平分线的判定定理可知AR平分BAC 另一方面，由RPCC及BP PCAQ QD可知RP CCBP BCAQ AD，而CCAD，且CCAD=，故RPAQ，
40、且RPAQ=，于是ARFP 而ACDC，注意到AR平分BAC，即得BEPBARRACPFC 这就是说，直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角 法 2 连接BD，过点P作PRCD，交BD于点R连接RQ，由AQBPBRQDPCRQ可知QRAB 注意到BEPRQP，RPQPFC，只要再证明RQPRPQ、即RPRQ即可 TSURQPFEDCBATSURQPOFEDCBAQPEFDCBARQPFEDCBACQPREFDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解
41、相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 注意到BPBRRPBCBDCD，DQDRRQDADBAB，可得ABRPBRCDRQDR，而BRAQABRDQDCD，故1RPRQ 【例15】如
42、图，ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积123SSS，分别为1 12，则ABC的面积是 【考点】相似三角形的性质与判定【解析】设ABC的面积为S，则3121SSSPDPEHGBHHGGCBCBCBCBCSSS，故221231 1264 2SSSS 【答案】64 2 【例16】如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22pq，则梯形的面积是（）A222 pq B2pq C22pqpq D222222p qPqpq【考点】相似三角形的性质与判定【答案】B 【例17】如图，梯形ABCD中，ADBC，两条对角线AC、B
43、D相交于O，若:1AODCOBSS，那么:BOCDOCSS 【考点】相似三角形的性质与判定【答案】3:1 【例18】已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且45ABC，过点F作FGBC，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；（2）如图 2，若135ABC，过点F作FGBC，交直线AB于点G，则FGDCA D、之间满足的数量关系是 ；PS3S2S1IHGFEDCBAq2p2OABCDOABCD难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形
44、的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载（3）在（2）的条件下，若5 2AG，3DC，将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于MN，两点（如
45、图 3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P Q，两点，若32NG，求线段PQ的长 【考点】相似三角形的性质和判定，旋转类全等问题【答案】(1)证明：9045ADBABC ，45BADABC ，ADBD 90BEC，90CBEC 90DACC ，CBEDAC 90FDBCDA ，FDBCDA DFDC GFBD 45AGFABC ，AGFBAD FAFG，FGDCFADFAD(2)FGDCAD(3)如图，135ABC，45ABD 90ADB，45DABDBA ，ADBD FGBC，GDBADAB ，AFFG 2225 2AGFGAFAG，5FGAF 3CD，由（2）知FGDCA
46、D，2ADBD 13BCDF，FDC为等腰直角三角形 223 2GCDFDC 分别过B，N作BHFG于点H NKBG于点K 四边形DFHB为矩形 23HFBDBHDF，3BHHG，2BGBH sinNKGNG 3 24NK 9 24BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB MBHNBK MHBHNKBK 1MH 1FM BCFG BCFCFN 图1GFEDCBA图2GFEDCBA图3NQPABCDEFGMKHMGFEDCBAPQN难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角
47、形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角学习必备 欢迎下载 BPCMPFCBFM，BPCMPF 13 222PCPFFC BQCNQF BCQNFQ BCCQNFFQ，27CQFQ 22
48、3 23 2993CQFC 5 26PQCPCQ 【例19】如图所示，在ABC中，60B ，100A，E为AC的中点，80DEC，D是BC边上的点，1BC，求ABC的面积与CDE的面积的两倍的和 【考点】相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定【解析】将ABC补成一个等边三角形，并作ABC的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于24ABCCDESS 作60BCF，其中点F在BA的延长线上，则BFC为等边三角形.作CHBF于点H，并取点A关于点H的对称点G，则有18080CGHCAHBAC 而80DEC，18080EDCDECACB ，故CGACED，且相似比为2 则4CAGCDESS
49、而ABCGFCSS(ABCGFC)，故2ABCCDESS12FBCS38【答案】2ABCCDESS12FBCS38 EDCBAGHFEDCBA难点学习方法一基础巩固三角形相似的情况分类平截型斜截型旋转型相似三角形的性质学生数学基础较好需要在现学基础上进行深化了解相似三角形的性质学会利用相似三角形的性质解题了解相似三角形的性质学会利用相似三角形及它们的对应边及对应角学习必备欢迎下载二相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角判定平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似可简单说成两角对应相等两个三角形相似如果一个三角