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1、专 题 1 3反 比 例 函 数 专 题 常 识 回 顾 1.反 比 例 函 数：形 如 y=（k 为 常 数，kWO）的 函 数 称 为 反 比 例 函 数。其 他 形 式 xy=k、y=kx.x2.图 像：反 比 例 函 数 的 图 像 属 于 双 曲 线。反 比 例 函 数 的 图 象 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 间 对 称 图 形。有 两 条 对 称 轴：直 线 丫=*和 y=-x。对 称 中 间 是：原 点。它 的 图 像 与 x轴、y轴 都 没 有 交 点，即 双 曲 线 的 两 个 分 支 无 限 接 近 坐 标 轴，但 永 久 达 不 到 坐 标 轴。3.性 质：（
2、1）当 k0 时 双 曲 线 的 两 支 分 别 位 于 第 一、第 三 象 限，在 每 个 象 限 内 y 值 随 x 值 的 增 大 而 减 小；（2）当 k=三（x0）的 图 象 上，若 AB=XC.V2 D.2【答 案 解 析】A【试 题 解 答】根 据 题 意 可 以 求 得 0 A 和 A C的 长，从 而 可 以 求 得 点 C 的 坐 标，进 而 求 得 k 的 值，本 题 得 以 解 决.等 腰 直 角 三 角 形 A B C的 极 点 A.B分 别 在 x 轴、y 轴 的 正 半 轴 上，ZABC=90,CA_Lx轴，AB=I,.NBAC=N8AO=45,：.OA=O B=
3、,A C=2.点 C 的 坐 标 为(返，V 2),2点 C 在 函 数 y=K(x 0)的 图 象 上，X./=乎 X 亚=1故 选:A.【例 题 2】（2021湖 南 郴 州）如 图，点 A,C 分 别 为 正 比 例 函 数 y=x 的 图 象 与 反 比 例 函 数 的 图 象 的 交 点，过 A 点 作 轴 于 点 Q,过 C点 作 轴 于 点 8,则 四 边 形 A8C。的 面 积 为.【答 案 解 析】8【试 题 解 答】./!、C 是 两 函 数 图 象 的 交 点,.A、C 关 于 原 点 对 称，,.CQ_Lr 轴，AB_Lx 轴，：.OA=OC,OB=OD,s&AO B=
4、sA BOC=s&DOC=s MOD,又.反 比 例 函 数 y=3的 图 象 上，S/AOB=S,BOC=SjDOC=S/AOD&x 4=2,5 四 边 形 ABCD=4S A4OB=4 X 2=8,故 答 案 为：8.m【例 题 3*2021江 苏 镇 江)如 图，点 4(2,ri)和 点。是 反 比 例 函 数)，=(机 0,x 0)图 像 上 的 两 x点，一 次 函 数 y=+3 a#0)的 图 像 经 由 点 A,与 y 轴 交 于 点 8,与 x 轴 交 于 点 C,过 点。作 OEJ_x轴，垂 足 为 瓦 毗 邻 0 4、O D.已 知 O4B与 ODE的 面 积 满 足 S
5、AQAB：SA“E=3：4.(1)S40AB=,m=;(2)已 知 点 P(6,0)在 线 段 O E 上，当 N P D E=N C B O 时,求 点。的 坐 标.【答 案 解 析】见 解 析。【试 题 解 答】本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 的 性 质，反 比 例 函 数 的 比 例 系 数 的 几 何 意 义 以 及 相 似 三 角 形 的 性 质 等，解 题 的 关 键 是 操 纵 反 比 例 函 数 的 比 例 系 数 的 几 何 意 义 以 及 相 似 三 角 形 的 性 质.先 求 出 8 点 纵 坐 标 和 A 点 的 横 坐 标，操 纵 操 纵 三 角 形 面 积
6、公 式 可 得 A O B A 的 面 积，再 根 据 面 积 的 对 照 关 系 求 出 AOCE的 面 积，末 了 根 据 反 比 例 函 数 的 比 例 系 数 的 几 何 意 义 求 出 m 的 值；先 由 点 A 在 双 曲 线 上，求 出 A点 坐 标；再 先 求 出 直 线 A 3 的 解 析 式；毗 邻 O P,通 过 前 提 NPDE=NC8O,NPED=/COB=90,得 PD/AB,于 是 可 令 直 线 P O 的 解 析 式 为 y=L.r+f,则 0=1 x 6+f,求 出 P O 的 解 析 式；2 2 1 q卜=广 3 伍=8 伉=-2末 了 由 4 解 得.从
7、 而 锁 定 D 点 的 坐 标.X=l E M。(1)一 次 函 数 y=fcr+3(&H 0)的 图 像 经 由 点 A,与 y 轴 交 于 点 8,二 8(0,3),OB=3.点 A(2,明-b J=2-二 5AAOB=g O 8,|y J=；x3x2=3.:S40A B:S d O D E=3:4,，SZWOE=4.j/i.OE，x 轴，且 点。在 双 曲 线 y=上，V/H 0,?=8.(2)如 答 图，毗 邻 尸 8*,点 A(2,n)在 双 曲 线 y=一 上，x/-2n=8,=4,A(2,4).,一 次 函 数 y=fcr+3(攵 H O)的 图 像 经 由 点 4,与 y 轴
8、 交 于 点 3,.4=2 攵+3.*.k=,直 线 A B的 解 析 式 为 y=x+3.2 2?/P D E=/C B O,/P E D=N C O B=9 0,/D P E=4B CO.：.PD/AB.令 直 线 P D的 解 析 式 为 y=-x+r,则 0=X 6+九 2 2 1=-3,直 线 P。的 解 析 式 为 y=x 3.由,y=-x-328y=一 Xx,=8解 得 1U=1x?2%=-4.点。在 第 一 象 限,：.D(8,1).专 题 典 型 练 习 题 一、挑 选 题 1.(2021贵 州 省 毕 节 市)若 点 A(-4,yi)、8(-2,m)、C(2,”)都 在 反
9、 比 例 函 数 丫=-,X的 图 象 上，则 巾、”、y3的 大 小 关 系 是()A.ij2y3 B.y3y2yi C.y2yiy3 D.巾*”【答 案 解 析】C.【试 题 解 答】根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 点 求 出 yi、”、户 的 值，对 照 后 即 可 得 出 结 论.点 4(-4,yi)、B(-2,”)、C(2,为)都 在 反 比 例 函 数 y=的 图 象 上，X.yi=-=,y2=-=V3=-,又；-，V，/.Y3viy2-故 选：C.-4 4-2 2 2 2 4 22.(2021安 徽)已 知 点 A(l,-3)关 于 x轴 的 对 称
10、点 4 在 反 比 例 函 数 y=K 的 图 象 上，则 实 数 的 值 x为()A.3 B.1 C.-3 D.-工 3 3【答 案 解 析】A【试 题 解 答】先 根 据 关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 特 点 确 定 A 的 坐 标 为（1,3）,然 后 把 4 的 坐 标 代 入 y=k 中 即 可 得 到 k的 值.X点 A（1,-3）关 于 x 轴 的 对 称 点 4 的 坐 标 为（1,3）,把 4（1,3）代 入 y=K 得-1x3=3.X故 选:A.3.（2021黑 龙 江 哈 尔 滨）点（一 1,4）在 反 比 例 函 数 y=V 的 图 象 上，则 下 列 各
11、 点 在 此 函 数 图 象 上 的 是 X（）。A.（4,-1）B.（，1）C.（-4,-1）D.（-,2）4 4【答 案 解 析】A【试 题 解 答】反 比 例 函 数 的 图 象 及 性 质 将 点（-1,4）代 入 y=&,Xk-4,J.y,x.点（4,-1）在 函 数 图 象 上。4.（2021湖 北 十 堰）如 图，平 面 直 角 坐 标 系 中，A（-8,0）,8（-8,4）,C（0,4）,反 比 例 函 数），=的 图 象 分 别 与 线 段 AB,8 C 交 于 点,E,毗 邻 DE.若 点 B 关 于 D E 的 对 称 点 恰 好 在 O A 上，则 无=（）y八 B_
12、EJ_CA 0 A.-20 B.-16 C.-12 D.-8【答 案 解 析】【试 题 解 答】根 据 点 的 坐 标 可 得 矩 形 的 长 和 宽，易 知 点。的 横 坐 标，E 的 纵 坐 标，由 反 比 例 函 数 的 关 系 式，可 用 含 有 人 的 代 数 式 示 意 另 外 一 个 坐 标，由 三 角 形 相 似 和 对 称，可 求 出 AF 的 长，然 后 把 问 题 转 化 到 三 角 形 A D F 中，由 勾 股 定 理 创 立 方 程 求 出 k 的 值.解：过 点 E 作 EG_LOA,垂 足 为 G,设 点 8 关 于 的 对 称 点 为 F,毗 邻。尸、EF、B
13、 F,如 图 所 示：则 8OE 丝 FDE,B E J CA F G 0：.BD=FD,BE=FE,ND FE=ZD BE=90易 证 AOFS GQE AF DF“EG 一 FEVA(-8,0),B(-8,4),C(0,4),:A B=O C=E G=4,OA=BC=S,：D.E 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上，k fc：.E(-4)、D(-8,-g)k k：.OG=EC=-J,AD=k k 8 O=4+旨 3 E=8+4J.一 岂 1 一 竺 一 竺 BE 8+-2 FE EG4：.A F=E G=2,在 RtZUQ尸 中，山 勾 股 定 理:4炉+其 尸;。尸 即：(-1)2+
14、22=(4+1)2解 得：k=-125.(2021湖 北 仙 桃)反 比 例 函 数 y=-称 下 列 说 法 不 对 的 是()A.图 象 经 由 点(1,-3)B.图 象 位 于 第 二、四 象 限 C.图 象 关 于 直 线 y=x对 称 D.y 随 x 的 增 大 而 增 大【答 案 解 析】D【试 题 解 答】由 点(1,-3)的 坐 标 满 足 反 比 例 函 数)=-*故 4 是 对 的：由 A=-3 V 0,双 曲 线 位 于 二、四 象 限，故 B 也 是 对 的；由 反 比 例 函 数 的 对 称 性，可 知 反 比 例 函 数)=-，关 于 y=x对 称 是 对 的，故
15、C 也 是 对 的，由 反 比 例 函 数 的 性 质，k0,在 每 个 象 限 内，y 随 X 的 增 大 而 增 大，不 在 同 一 象 限，不 具 有 此 性 质,故 Z）是 不 对 的。6.（2021黑 龙 江 省 龙 东 地 区）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点。为 坐 标 原 点，平 行 四 边 形 0A B e的 极 点 4 在 反 比 例 函 数 y=1 的 图 象 上，极 点 B在 反 比 例 函 数 y 的 图 象 上，点 C 在 X轴 的 正 半 轴 X X上，则 平 行 四 边 形 0 4 8。的 面 积 是（）3 5A.-B.-C.4 D.62 2【答
16、案 解 析】C【试 题 解 答】反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质；平 行 四 边 形 的 面 积。设 A（a,b）,B（a+m,b）,依 题 意 得=L h=-,a a+m=-,化 简 得 m=4a.*/7=,Aab=l,a a+m a S 平 行 四 边 形 0ABC=nIb=4ab=41义 1 4,故 C.7.（2021广 西 贺 州）已 知 成 0.所 以 6 0.则 一 次 函 数），=以-b 的 图 象 X应 该 经 由 第 一、二、三 象 限；若 反 比 例 函 数 y=g 经 由 第 二、四 象 限，则 a 0.则 一 次 函 数 y=的 图 象 应 该 经 由 第 X
17、二、三、四 象 限.故 选 项 A 正 确。8.（2021湖 南 衡 阳）如 图，一 次 函 数 力=自+6（ZWO）的 图 象 与 反 比 例 函 数 近=皿（m 为 常 数 且%#0）的 图 象 都 经 由 A（7,2）,B（2,-1）,联 合 图 象，则 不 等 式 依+6 皿 的 解 集 是（）xA.x-B.-l x 0C.x-l 或 0 x 2 D.-l x 2【答 案 解 析】C.【试 题 解 答】根 据 一 次 函 数 图 象 在 反 比 例 函 数 图 象 上 方 的 x 的 取 值 范 畴 便 是 不 等 式 反+皿 的 解 集.X由 函 数 图 象 可 知，当 一 次 函
18、数 弘=日+从�）的 图 象 在 反 比 例 函 数”=皿（帆 为 常 数 且 切 0）的 图 x象 上 方 时，x 的 取 值 范 畴 是：x-I 或 0 q 的 解 集 是 x-I 或 0 x 0）的 图 象 与 线 段 A B订 交 于 点 C,且 C 是 线 段 A B的 中 点，点 C 关 于 直 线 y=x 的 对 称 点 xC的 坐 标 为（1,）（心 1）,若 0 4 5 的 面 积 为 3,则 我 的 值 为（）【答 案 解 析】D.【试 题 解 答】根 据 对 称 性 求 出 C 点 坐 标，进 而 得 O A与 A 8的 长 度，再 根 据 已 知 三 角 形 的 面
19、 积 列 出 n 的 方 程 求 得，进 而 用 待 定 系 数 法 求 得 k.点。关 于 直 线 y=x 的 对 称 点 C的 坐 标 为（1,）（W1）,A C（,1）,，O A=，AC=1,：.AB=2AC=2,O A 8的 面 积 为 3,1nX2=3，解 得，n=3,：.C(3,1),.M=3 X 1=3.10.（2021内 蒙 古 赤 峰）如 图，点 P 是 反 比 例 函 数）=（kWO）的 图 象 上 随 意 率 性 一 点，过 点 P 作 轴，垂 足 为 M.若 P O M的 面 积 等 于 2,则 左 的 值 等 于（）A.-4 B.4 C.-2 D.2【答 案 解 析】
20、A【试 题 解 答】的 面 积 等 于 2,1#|=2,而 ZV0,：.k=-4.U.（2021四 川 泸 州）如 图，一 次 函 数 y i=o r+6和 反 比 例 函 数 的 图 象 订 交 于 A,B 两 点，则 使 力A.-2 x 0 或 0 x 4 B.x-2 或 0 x 4C.x 4 D.-2 V x 4【答 案 解 析】B【试 题 解 答】察 看 函 数 图 象 可 发 觉：当 x-2 或 0 V x y2成 立 的 X取 值 范 畴 是 XV-2 或 0 x 4.故 选:B.二、填 空 题 12.(2 0 2 1贵 州 省 毕 节 市)如 图，在 平 面 直 角 坐 标 中，
21、一 次 函 数 y=-4 x+4的 图 象 与 x 轴、y 轴 分 别 交 于 A、8 两 点.正 方 形 ABC。的 极 点 C、。在 第 一 象 限，极 点。在 反 比 例 函 数)，=4&#()的 图 X象 上.若 正 方 形 A B C D 向 左 平 移 个 单 位 后，极 点 C 恰 好 落 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上，则 的 值 是.【答 案 解 析】3.【试 题 解 答】过 点 D 作 DE x轴 过 点 C 作 CF_Ly轴，可 证 A8O丝 D4E(AAS),CBF丝 8AO(A A 5),则 可 求。(5,I),C(4,5),确 定 函 数 解 析 式 y=9
22、,C 向 左 移 动 个 单 位 后 为(4-X%5),进 而 求 n 的 值；过 点。作 D E L x 轴，过 点 C 作 C F L y 轴，：.ZBAO=ZDAE,.A 8=A D ZBOA=ZDEA,:ABOW4DAE(AAS),：.AE=BO,DE=OA,易 求 A(1,0),B(0,4),：.D(5,1),极 点 D 在 反 比 例 函 数 y=-,X:k=5,X易 证 CB/空 840(A 4 S),，CF=4,BF=l,：.C(4,5),.。向 左 移 动 个 单 位 后 为(4-，5)5(4-)=5,7 7=3,故 答 案 为 3；13.(2021湖 北 孝 感)如 图，双
23、 曲 线 y=，(x 0)经 由 矩 形。4B C的 极 点 B,双 曲 线 y=(x 0)交 AB,BC于 点、E、F,且 与 矩 形 的 对 角 线 OB交 于 点),毗 邻 E F.若 OZ):08=2:3,则 BEF的 面 积【答 案 解 析】18【试 题 解 答】设。(2m,2 n),V OD:0B=2:3,.A(3m,0),C(0,3 n),:B(3z,3),.双 曲 线 尸?(x 0)经 由 矩 形 OA8C的 极 点 注，9=3m 3,*mri 1,*双 曲 线)=?(x 0)经 由 点 Q,，Z=4而，双 曲 线 丁=子(x 0),4 4 E(3m,n),F(3),.4 5
24、4 5:.BE=3n可=B F=3/n-可 团，1 25 25:S ABE尸 gBE BF=而 初 7=诟 25故 答 案 为.1814.(2021北 京 市)在 平 面 直 角 坐 标 系 xQ y中，点 A(%6)(a 0,b 0)在 双 曲 线=4上.点 A 关 X于 X轴 的 对 称 点 8 在 双 曲 线 y=殳 上，则 用+%,的 值 为.X【答 案 解 析】0【试 题 解 答】关 于 X轴 对 称 的 点 的 坐 标 特 点、双 曲 线 y=右 上 点 的 坐 标 与 k 的 关 系.XT A、B 两 点 关 于 x 轴 对 称，.B点 的 坐 标 为(a,-b).L k又 A
25、3、B(a,4)两 点 分 别 在 又 曲 线 了=和 丫=&上；X X:.ab=kx,cib=k2.A k,+k2=0；故 填 0.15.(2021贵 州 省 安 顺 市)如 图，直 线/L c 轴 于 点 P,且 与 反 比 例 函 数 刃=舟 及(x 0)及)，2=也 仅(x 0)的 图 象 分 别 交 于 A,B 两 点，毗 邻。4,O B,已 知 O AB的 面 积 为 4,则 后-七=第 15题 图【答 案 解 析】8k k【试 题 解 答】反 比 例 函 数 的=(x 0)及”=二(x 0)的 图 象 X X均 在 第 一 象 限 内，.所 0,k20.AP_Lx 轴，.1 I
26、S/OAP=k,S&ORP=Ii2.2 2.,I SOABS/OAP-SOBP(幻-ki)4,2解 得:k i-k2=S.故 答 案 为：8.16.(2021辽 宁 本 溪)如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，等 边 O A B和 菱 形 OCDE的 边 OA,O E都 在 x 轴 上，点 C 在 O B边 上，S“BD=6,反 比 例 函 数 y=&(x 0)的 图 象 经 由 点 B,贝 心 的 值 为【答 案 解 析】6【试 题 解 答】过 点 D、B 分 别 作 x 轴 的 垂 线，垂 足 分 别 为 M、N,设 OE=2a,O A=2 b,根 据 四 边 形 OCDE是 菱
27、形 和 O A B为 等 边 三 角 形 可 得 D M=0 和 B N=6%进 而 得 出 SA ABD=S twBDMN+SAABN-SAADM,进 而 求 出 的 值，然 后 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 点 即 可 求 出 后 的 值.过 点 D、B 分 别 作 x 轴 的 垂 线，垂 足 分 别 为 M、N.设 OE=2”，OA=2b.四 边 形 O C D E 是 菱 形，DM=V3 a.OAB为 等 边 三 角 形，.BN=A A A._(百 a+&)(a+。).2 g a(a+2b)S A ABD-S I*BDMN+S A ABN-SA ADM-1
28、-2 2 2解 得 坟=i.点 B 的 坐 标 为(几 百 力，且 点 B 在 反 比 例 函 数 y=&的 图 象 上，Xk=V3 h2=5/317.（2021广 西 桂 林）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，反 比 例 y=&Q 0）的 图 象 和 A4BC都 在 第 一 象 限 x内，AB=AC=,3C/x轴，且 3c=4,点 A 的 坐 标 为（3,5）.若 将 A A B C 向 下 平 移 机 个 单 位 长 度,2A,C 两 点 同 时 落 在 反 比 例 函 数 图 象 上，则，的 值 为.【答 案 解 析】-4【试 题 解 答】.AB=AC=-,B C=4,点 A(
29、3,5).27 7C(5,-),2 2将 AABC向 下 平 移 机 个 单 位 长 度,-7A(3,5-rn),C(5,m),2.A,C 两 点 同 时 落 在 反 比 例 函 数 图 象 上，73(5 ITI)=5(nt),25:.m=4三、解 答 题 18.(2 0 2 1年 广 西 柳 州 市)如 图，直 线 A B与 x 轴 交 于 点 A(1,0),与 y 轴 交 于 点 8(0,2),将 线 段 A 8绕 点 4 顺 时 针 旋 转 9 0 得 到 线 段 A C,反 比 例 函 数 y=k(A 0,x 0)的 图 象 经 由 点 C.X(1)求 直 线 AB和 反 比 例 函
30、数 y=k(AKO,x 0)的 解 析 式；X(2)已 知 点 尸 是 反 比 例 函 数 丫=上&0,x 0)图 象 上 的 一 个 动 点，求 点 尸 到 直 线 A B间 隔 最 短 时 的 坐 标.【试 题 解 答】将 点 A(1,0),点 8(0,2),代 入 y=m x+6,可 求 直 线 解 析 式；过 点 C 作 C/9_Lx轴，根 据 三 角 形 全 等 可 求 C(3,I),进 而 确 定 我；设 与 A 8平 行 的 直 线 y=-2 x+，联 立-2x+b=W,X当=/-2 4=0 时，点 P 到 直 线 4 3 间 隔 最 短；(1)将 点 A(1,0),点 8(0,
31、2),代 入 y=g+6,b=2,2,A y=-2r+2；:过 点 C 作 C D L x轴，线 段 A B绕 点 A 顺 时 针 旋 转 9 0 得 到 线 段 AC,/A B O A C A D(A 4 S),：.A D=A B=29 CD=OA=,：.C(3,1),:k=3,.、,一 3.y-；x(2)设 与 A B平 行 的 直 线 y=-2x+h,联 立-2x+/?=X-2jC+bx-3=0,当=/-2 4=0 时，b=2 此 时 点 P 到 直 线 A B间 隔 最 短;19.(2021黑 龙 江 大 庆)如 图，反 比 例 函 数 y=h 和 一 次 函 数 y=k x l 的
32、图 象 订 交 于 A(m,2m),B 两 点.x(1)求 一 次 函 数 的 表 达 式；(2)求 出 点 B 的 坐 标，并 根 据 图 象 直 接 写 出 满 足 不 等 式 冽 kx 1的 x 的 取 值 范 畴.【答 案 解 析】见 解 析。【试 题 解 答】(I)因 为 点 A(m,2m)在 反 比 例 函 数 y=网 图 象 上，所 以 2机=型.所 以 m=l,所 以 点 A(l.x m2)反 比 例 函 数 y=2,将 点 A 代 入 一 次 函 数 可 得，2=k l,k=3,所 以 一 次 函 数 表 达 式 为:y=3 x-l;X(2)令 2=3 X 1,解 之，得，X
33、|=1,X2=-2,所 以 B(_2,3),根 据 图 象 可 得 不 等 式 独 kx-1的 解 集 x 3 3 x为：-2xl.32 0.(2021吉 林 省)已 知 y 是 x 的 反 比 例 函 数，并 且 当 x=2时，y=6,(1)求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式；(2)当 x=4时，求 y 的 值【答 案 解 析】见 解 析。【试 题 解 答】将 x=2时，y=6代 入 解 析 式 即 可 求 出 待 定 系 数，即 可 求 出 解 析 式；当 x=4时，代 入 解 析 式，可 求 出 y 的 值(1);y 是 x 的 反 比 例 函 数，、几 k,设 y=(k/0),x:当 x=2 时，y=6,.k=xy=12,12y=X 当 x=4时，代 入 y=得，x