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1、2021年中考数学压轴题1.如图，AB是。的直径，A B=4,点 P 是 AB上方圆上的一个动点，连接4 P,作/力 8的平分线A C,交。于点C,过点C 作 CDLA尸交AP的延长线于点D(1)求证：CD是 的 切 线；(2)当AP=2时,四 边 形 APCO是平行四边形；(3)连接O P交A C于点M,连接CP,当 AP=2 或时,A C D P与AOM相似.即4尸=9 8=2,解：如 图 1,连接OC,图1AC是/%8 的平分线，：.Z C A P=Z C A Of,.Q4=OC,Z O A C=Z C A O=ZCAP,：.OC/AD,VAPCD,A C O LCD,CQ是O O 的切
2、线；(2)由(1)知，OCAP,如果四边形A P C O是平行四边形,贝lj OC=AP,第 1 页 共 5 页故答案为2；(3)如图2,延长CO交圆于点儿 连接PH,图2。是。0的切线，：.ZPCO+ZDCP=90,C4是直径，ZCPH=90=NCPO+NOPH=ZPCO+ZOHP,:.NDPC=NOHP=/PAC,若COP与A。例相似，则存在乙4M。=90或NAOM=90两种情况，当NAMO=90时，：ZCAPZCAO,/PM4=NOMA=90,AM=AM,.MAP丝MAO(AAS),：.PM=OM,：OA=OC,OMAC,：.AM=MC,：.四边形APCO为平行四边形，而OM_L4C,.
3、四边形”CO为菱形，1贝IAP=AO=抑=2：当 乙4。=9 0时，则AOP为等腰直角三角形，故 AP=&AO=2企；故答案为：2或2vL2.(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆第2页 共5页的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图 1,在ABC 中，AB=AC,NBAC=90,。是ABC 外一点，且 A=AC,求NBOC的度数.若以点A 为圆心，为 半 径 作 辅 助 则 点 C、。必在上，Z5 4 c 是O A 的圆心角，而/8 O C 是圆周角，从而可容易得到/BZX?=45 .(2)【问题解决】如图 2,在四边形 ABCZ
4、)中，NBAD=NBCD=90 ,ZBDC=25 ,求NBAC 的数.(3)【问题拓展】如 图 3,如图，E,尸是正方形A8C。的 边 上 两 个 动 点，满足AE=立 连 接 交8。于点G,连 接 BE交 AG于点从 若正方形的边长为2,则线段。长度的最小值是V5-1.解：(1)如图 1,AB=AC,AD=AC,二以点A 为圆心，点 8、C、。必在0 A 上，./8A C 是GM 的圆心角，而NBDC是圆周角，1A ZBDC=ZBAC=45 ,故答案是：45；(2)如图2,取 3。的中点O,连接AO、CO.:NBAD=/BCD=90 ,.点 A、B、C、。共圆，：.Z B D C=Z B A
5、 C,V Z B D C=2 5Q,ZBAC=25 ,(3)如图 3,在正方形 A8CQ 中，A B=A D=C D,Z B A D=Z C D A,/A D G=/C D G,第3页 共5页在A8E和DC尸中，AB=CDZ.BAD=Z-CDAAE=DF：.AABEADCF(SAS),AZ1=Z2,在AOG和COG中，AD=CDZ-ADG=Z-CDG fDG=DG:/ADGm 4CDG(SAS),N 2=N 3,AZ1=Z3,NBA”+N3=N8AO=90,：.Z +ZBAH=90,A ZAHB=180-90=90,取AB的中点O,连接OH、OD,则 OH=AO 1,在 RtAAO 中，OD=y/AO2+AD2=V l2+22=V5,根据三角形的三边关系，OH+DHOD,.当0、D、”三点共线时，。”的长度最小，最小值=0。-OH=V 5-1.(解法二：可以理解为点是在RlZVlHB,A 8直径的半圆通上运动当O、H、。三点共线时，长度最小)故答案为：V5 1 .第4页 共5页第5页 共5页