2022年中考数学压轴题.pdf

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1、2022年中考数学压轴题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知4 6=8.问题思考：如 图1,点尸为线段A B上的一个动点，分别以A P、B P为边在同侧作正方形A P D C、BPE F.(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分 别 连 接D F、AF,4 F 交 DP 于点、K,当点P运动时，在/P K、4 D K、D FK中,是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：(3)如图2,以 为 边 作 正 方 形 动 点 尸、。在正方形4 8 c Z)的边上运动，且P 0=8.若点P从 点/

2、出 发，沿的线路，向点。运动，求点P从1到。的运动过程中，尸0的中点O所经过的路径的长.(4)如图3,在“问题思考”中，若点、N是 线 段 上 的 两 点，且4 M=8 N=1,点G、分 别是边C。、尸的中点，请直接写出点尸从M到N的运动过程中，G/7的中点O所经过的路径的长及O M+O B的最小值.解：(1)当点尸运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.设 A P x,则 P B=8 -x,根据题意得这两个正方形面积之和=*+(8-x)2=2x2-1 6x+64=2 (x-4)2+3 2,所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为3 2.(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是

3、/P K与 尸K.第1页 共1 3页依题意画出图形，如答图2所示.设 4 尸=m 则。8 =8 尸=8-:PE BF,PK AP a PK a=,即-=一,BF AB 8-a 8.a（8-a）i i .-g,：.D K=P D -P K=a 矶 丁）=（，o o。I n”1 a（8-a）a 2（8-a）1 a2,o、a2（8-a）SypK=PK，PA=2,-a=，SDFK=q D KE F=2豆（8 -a）=-1 6,SAPK=SDFK-(3)当点尸从点/出发，沿力一Bf C-O的线路，向点。运动时，不妨设点。在。/边上，若点P在点4点 0在点。，此时P。的中点。即为 /边的中点；若点。在。4

4、 边上，且不在点。，则点P在上，且不在点4此时在Rt 力 尸。中，。为尸0的中点，所以N O=/P 0=4.所以点O在以4为圆心，半径为4,圆心角为90 的圆弧上.尸 0的中点。所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90 的圆弧，如答图3 所示：答图33所以尸0的中点。所经过的路径的长为：-X2HX 4=6TT.第2页 共1 3页(4)点。所经过的路径长为3,0M+0 8 的最小值为低如答图4-1,分别过点G、0、作N 8的垂线，垂足分别为点及、S、T,则四边形G&7”为梯形.1 1：.OS=CGR+HT)(AP+PB)=4,即 OS 为定值.点。的运动路径在与AB距离为4 的平行线上.；A W

5、=6,点 尸 在 线 段 上 运 动，且点。为 G”中点，.点。的运动路径为线段XX,XY=%N=3,XX/8 且平行线之间距离为4,点X 与点/、点 丫 与点8 之间的水平距离均为2.5.如答图4-2,作 点 关 于 直 线 XX的对称点M ，连接5 A/,与XT交于点。.答图42由轴对称性质可知，此时OM+O8=8A/最小.在 RtZ8A/A/中，MM=2X 4=8,B M=7,由勾股定理得：BM=JMM+BM2=V113.：.OM+OB的最小值为VUZ.第3页 共1 3页2.数学问题：计算一+=+F （其中加，都是正整数，且加2 2,2 1）.m rrv1探究问题：为解决上面的数学问题，

6、我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.111 1探究一：计算万+1第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为*1 1第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为5 +尹:第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，；第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为在 强+/+“+最后空白部分的面积是去.根据第n 次分割图可得等式：g +盘+,+/=1一 /111 1探究二：计算 +豆+算+不？第1次分割，把正方形的面积三等

7、分，其中阴影部分的面积为|;2 2第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为I+记;第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，；第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2 2 2 2 13 +3+3+加,最后空白部分的面积是正第 4 页 共 1 3 页2 2 2 2 i根据第n 次分割图可得等式：-+2+3 +=1-g n，一、，人,1 1 1 1 1 1两边同除以2,气+M+3+下=5-行第1次分割 第2次分割 第3次分割2322322不1 1 1 1探究三：计算+&+辰+彳？（仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标

8、注阴影部分面积，并写出探究过程）第”次分割（只需画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n 次分割图可得等式：_+*+*+,+*=1，一，1 1 1 1 1 1所以，+=+-+=-7-7-7；-n_m v（r mn m-1xq -E 、5-1 52-l 53-l 5n-l拓J 应用：计算一丁 +一豆一+一点一+一襁解：探究三：第 1 次分割，把正方形的面积四等分，第5页 共1 3页3其中阴影部分的面积为第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,3 3阴影部分的面积之和为7+-2；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,第次分割，把上次分割图中空白部分

9、的面积最后四等分,3 3 3 3所有阴影部分的面积之和为：-+-2+73 +-+,最后的空白部分的面积勺,根据第n次分割图可得等式:ln4一-3-n4+3-34+3-42+3-4、，一，1 1 1 1 1 1两边同除以3,气+至+辰+罚；解决问题:m1 m-1 m-1 m1京+京+京+“.+玄111 1 1 1m mz ms W m 1 (zn l)x mn故答案为:+3-34+3-24+3-4+-2-一一4n 4n m-1 (m-l)x mn工E 5-1 52-1 53-1 5n-l拓/应用：+-2_+-3_+-+-1.1.1 1=1 一5+1 一尹+1 一甲+1 一尹1 1 1 1=一(g

10、+m+m+寸,1=n-(一414x 5 )第6页 共1 3页1,13.如图，在RtZvlBC中，N/C 8=90,以斜边ZB上的中线CO为直径作0 0,与BC交于点M,与48的另一个交点为E,过M作垂足为M(1)求证：A/N是。的切线；(2)若。的直径为5,sin8=*求E Q的长.：OC=OM,：.ZOCM=ZOMC,在RtZZ4C中，CD是斜边4 8上的中线,:CD=3,4B=BD,：.ZDCB=4DBC,：.Z0MC=/DBC,：.OMBD,：MN 工 BD,：OMIMN,YOM过 0,:.MN是O O 的切线；第7页 共1 3页 C。是G）O 的直径，：.ZCE D=90 ,ZD MC

11、=90 ,即 CE A.AB,由（1）知：B D=C D=5,为 BC的中点，3V siri5=百，.cosB=耳,在 中，BM=BDCGSB=4,:BC=2 B M=8,Q9在 RtACE B 中,B E=B CcosB=等，32 7：.E D=BE -B D=节 一5=g.4.已知NMPN的两边分别与O O 相切于点4 B,O O 的半径为九（1）如 图 1,点 C 在点4 8 之间的优弧上，NMPN=8 0 ,求N4CB的度数；（2）如图2,点 C 在圆上运动，当P C 最大时，要使四边形NPBC为菱形，/尸8 的度数应为多少？请说明理由；（3）若 PC 交O O 于点。，求 第（2）问

12、中对应的阴影部分的周长（用含 的式子表示）.【解答】解：（1）如 图 1,连接0 4 0B,第8页 共1 3页图1,：P A,尸 8 为。的切线，孙。=/尸 80=90,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360,A PB+AAO B=,V ZAPS=80,：.ZAO B00,./C 3=50；（2）如图2,当N ZP 8=60时，四边形ZP8C是菱形,连接CM,OB,囹2由（1）可知，NNO8+/P8=180,V ZAPB=60,ZAOB=20,A ZACB=60=A APB,.点 C 运动到PC距离最大，；.PC经过圆心，:P A,尸 8 为。的切线，：.PA=PB,NAPC=NBP

13、C=3G,又：PC=PC,./PC丝BPC（.SAS）,第9页 共1 3页A ZACP=ZBCP=30，AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30，：.AP=ACf:AP=AC=PB=BC,四边形Z P 8 C是菱形；(3)。的半径为八.OA=r,OP=2r,：.AP=V 3 r,PD=r,：NN。尸=90 -Z APO=60a,而 的 长 度=r,阴影部分的周长=P4+P+尤=倔 廿+分=(V 3+I+J)r.5.如图，均 为。的切线，P 8 C为。的割线，4DLOP于点D,/小？的外接圆与8c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连 接0 4,OB,OC,BD.COA1.A

14、P,ADA.0P,，由射影定理可得：PA2=PDPO,心=PD0 D.（5分）又由切割线定理可得PA2PB-PC,:.PB，PC=PDP0,：.D.B、C、。四点共圆，（1 0分）NPDB=4 PCO=NOBC=NODC,NPBD=A COD,:U B D sA C O D,PD BDCD 0D（1 5 分）二.BACD=PD，OD=AN,第1 0页 共1 3页.BD AD AD CD 又 N B D A =N B D P+9 G =ZOD C+90 =ZAD C,:.BD AsAAD C,:.N B A D=Z A C D,：.AB是 Z O C 的外接圆的切线，6.如图，点/为 y 轴正半

15、 轴 上 一 点 8 两点关于x 轴对称，过点”任作直线交抛物线y=|x 2于 P，。两点.（1）求证：Z A B P=ZABQ-,（2）若点4 的坐标为（0,1）,且/尸8。=60 ,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线尸0的函数解析式为了=履+3 并设P,0的坐标分别为（必，y p）,（X 0,夕 0）.由Iy =f c x 4-1y =|%2%2 k x t=0,第1 1页 共1 3页3 2于是为 殉=-2 3 BPt=-XPXQ.BC yp+t 京 P

16、?+t 京 p 2一 夕 p%Q 声 p(X p-X Q)X pBD yQ+t|x(j2+t XQ2XpXQ|X(2(XQ-X p)XQPC Xp 一 BC PC又因为-=-,加以-=-QD xQ BD QD因为4 8（7尸=/8。=9 0 ,所以 ABCPs/BD Q,故 N/8 尸（2）解：设 PC=a,DQ=b,不妨设a 6 0,由（1）可知N/8 尸=/4 8。=3 0 ,BC=V 3 a,B D=同,所以 Z C=g a -2,A D=2-V 3 b.因为 P C。，所以NCPS/X4 D。.于是空一些即士.金t 7GDQ AD,即2一 可所以 Q+b =y/3ab.由（1）中 工 p Q=一即一 a b=会 所以ab =W，C L b=于是可求得Q =2b=V 3.F5 n y/3 1将匕=芋代入y =%2,得到点。的 坐 标（不-）.乙 3 L L再将点。的坐标代入=b+1,求得卜=一字.所以直线P Q的函数解析式为y =-苧 x +1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =-字 x +1 或y =字+1.第 1 2 页 共 1 3 页第1 3页 共1 3页