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1、2022届高三数学二轮复习大题训练(16)(解 析 几 何)1 .已知椭圆C：*+4 =l(a b 0)的 离 心 率 为 赵，左、右焦点分别为写，F,A为 C的上顶a b 2点，且的周长为4+2X/5.(1)求椭圆C的方程；(2)直线/:y =&+,(加 片 0)与椭圆C交于M,N 两点、,O 为坐标原点，当人为何值，1 0 M l 2 +|O N 恒为定值，并求此时AMQV面积的最大值.2 .已知0).N(0,%)两点分别在x 轴和)，轴上运动，且|A 7N|=3,若动点G 满足N G =2 G M ,设动点G 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点G 作直线MN的垂线/,交曲线
2、E于点P (异于点G),求 A P M V 面积的最大值.3.已知双曲线l 的左、右焦点分别为匕，外，其离心率为当，且过点 P(4 0,2V2).(1)求双曲线C 的方程；(2)过月的两条相互垂直的交双曲线于A,B 和 C,D,M,N 分别为 他，8的中点，连接M N,过坐标原点。作 M N的垂线，垂足为“，是否存在定点G,使得|G|为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.2 24.已知曲线。:3+5=1(“/?0),耳，居分别为C 的左、右焦点，过耳作直线/与C 交于a b“A,3 两点，满足A4=5片8,且 5 必4=孝/.设 e 为 C 的离心率.(1)求/;若 仁,等 且 叫
3、 2 过点尸(4)的直线4 与 C 交于E,尸两点，乙上存在一点T 使1 1 1-1-=-EP FP PT,求 T 的轨迹方程.5.动点P在圆E:(x+l f +y 2=i 6上运动，定点尸(1,0),线段P尸的中垂线交直线P E于点Q.(I)求。的轨迹C的方程；若M,N是轨迹C上异于”(1,1)的两点，直 线H M,的斜率分别为勺，k2,且占+&=-1,H D 1 M N,。为垂足.是否存在定点S,使得|D S|为定值？若存在，请求出S点坐标及|D S|的值.若不存在，请说明理由.6 .在平面直角坐标系x O y中，圆4:(*-1)2 +/2=6,点8(-1,0),过3的直线/与圆A交于点C
4、,D,过5作直线3 E平行AC交 于 点E.(1)求点E的轨迹r的方程；(2)过A的直线与f交于、G两点，若 线 段 的 中 点 为M,且MV=2O M,求四边形O H VG面积的最大值.2 27.已知椭圆。二+2=1(。匕 0)的右焦点尸与抛物线6:丁=2 2 日(2 0)的焦点相同，曲线Ca b的离心率为工，(2,卜)为 上一点且|尸|=3.(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线/:y =+2交曲线C于 P Q 两点，/交y 轴于点R.(i )求三角形尸O Q面积的最大值(其中O 为坐标原点)；(i i )R P=ARO,RP =A R Q,求实数4 的取值范围.8.在平面直角坐标系中
5、，已知定点F(1,O),动点M 满足：以河尸为直径的圆与y 轴相切，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过定点0(2,0)作两条互相垂直的直线、12,直线、4 与曲线E分别交于两点A、C与两点3、D,求四边形A B C D 面积的最小值.2022届高三数学二轮复习大题训练(16)(解 析 几 何)1.已知椭圆C：*+4 =l(a b 0)的 离 心 率 为 赵，左、右焦点分别为月，F,A为 C的上顶a b 2点，且的周长为4+2X/5.(1)求椭圆C的方程；(2)直线/:y =丘+%(加片0)与椭圆C交于M,N 两点、,O 为坐标原点，当人为何值，|O M+|O N 恒为定值，
6、并求此时AMQV面积的最大值.【解答】(1)设椭圆C的半焦距为c.因为4 A丹乙的周长为4+2 力，所以2 a +2 c =4+26,因为椭圆C的离心率为更，所以 =1,2 a 2由解得a =2,c=0 则匕=，/一 浦=1.所以椭圆C的方程为三+丁=1.4(2)设M(再，y),N(x?,y2),联立，？丘:“，消元得(44？+1)/+8女 a+4/一 4=0 ,当=64k2 m 2 -1 6（42 +1）（加 2 _ ）0,艮|J 4左 之 一 加 2 +1 0 时，则 用+Q =-8AT?74 V+14m2-42=7?贝 ij I O M|2 +1 O N=x：+1 -L +X；+1 -才
7、3=2 +（x j2+x；）=2 +2 4k2 m2 _ 6疗+2 4k2+6 6/n2（4）l2-1）+6（4公+1）-0-=2 d-r-；-（4公+1）2 （必 2 +1）2当|O M+|O N 为定值时，即与病无关，故4公-1 =0,得左=L2此时|MN|=，公+1，。+&）2 一 4=4ylk2+x =旧乂 V 2-w2,V1 +4 Q又点o到直线/的距离d=L=挚，J 1 +&2 V 51,2 G 2所以 s WON=xdx MN 1=1 m|-V 2-7 7 72,=；=1 ,当且仅当|m|=j 2%2 ,即机=i 时，等号成立，经检验，此时()成立,所以A M O N面积的最大值
8、为1.2.已知“(%,0),N(0,%)两点分别在x轴和y轴上运动，且|A 7 N|=3,若动点G满足NG =2 G M,设动点G的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点G作直线MN的垂线/,交曲线E于点P (异于点G),求A P M N面积的最大值.【解答】(1)依题意，设 G(x,y),则 NG =(x,y-%),G M =(x0-x,-y),因NG =2GM,则 x=2(%-x),解得而用川=3,即片+4=9,%7y%=3)，Qr2 2 2于是得3-+9丁=9,即 匕+丁=1,所以曲线片的方程为上+y 2=.4 4 4(2)依题意，直线/垂直于MN且与曲线石交于G、P两点，则直线
9、/的斜率存在且不为0,设 直 线=+G(X 1,y),P(x2,y2),由=消去y并整理得：(4公+1 1+8依+4(产-1)=0,X2+4/=4=64k2t2-1 6(4 X:2+1)(?-1)=1 6(4 A:2-r +1)0 ,x+x,=-,x.x,=4(1-,1-4k2+1-4k2+i GP i=4弋 归，_ 3由(i)知 题=5%,直线M V的 斜 率-比=-生，则左=工，%=3乂 /*2 y直线/过点G,即 =代+，而点G在曲线上，x；+4 y；=4,于是得公=4 4-4 y：4才19X即 犬=41 k2+=3当且仅当上=士工时取=,此时f=且25I1Q，则有5 的=5|削|6刊,
10、，5*3*3 =5所以A P M V 面积的最大值为2.23.已知双曲线=l 的左、右焦点分别为耳，Fz,其离心率为当，且过点尸（4 夜，2 夜）.（1）求双曲线C的方程；（2）过五的两条相互垂直的交双曲线于A,3和C,D,M,N 分别为/记，C Z）的中点，连接MN,过坐标原点。作 MN 的垂线，垂足为H,是否存在定点G,使得|G|为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.【解答】c，6=。2o 2（1）由题意，a2+b2=c2,解得=16,从=8,C2=2 4.双曲线方程为三-二=1 ；Mc1 6 8军ha h（2）存在定点G（-2 卡,0）,使得|G”|为定值，证明如下：由题意可
11、知，若直线43和 8其中一条没有斜率，则H 为（0,0）,直线MN 的方程为y =0；当直线A3和 8都有斜率时，F（-2娓,0）,设直线A3的方程为y =k（x+2）,A。，X)，B(X2,y2),M(xM,yM),y=k(x+2 6)联立2 ，得(1-2&2)-8 疯 2 -1 6(3/+1)=0.-乙=11 1 6 88疯2X 1+工 2 =二击，=-1 6(3 公+1)1-2 公如 _ 4 向 2 _，/R k c a、故=-2 k2%=k(、_ 2 k2+2 6)；设直线8的方程为、=-工（+2 指），C（w，%），。（匕，以），N g,为），k闩加 r 8屈 _-1 6（3 +公）
12、_ 4 7 6 _ 1，4 6 反、同理可得毛+%4=；1,玉 =一 万 一 -XN=7 3 一/=一7（”-+2 V 6）.k-2 K-2 k-2 k K-2+2 向4 病2 4瓜k2d),l-2 k2 F-2直线MN 的方程为y -A(:女5+2 7 6)=-?_(%一之)，1 乙K -1)1 乙K化简得：L看 j +2 厢，可知直线MN 过定点限 4 6。）.又，.点”的运动轨迹是以点（-2 面，0）为圆心，以|O P|=2 6 为直径的圆,工存在定点G(-2 遥，0),使得|G|为定值2 卡.2 24.已知曲线C:，+A =l(a b 0),耳，鸟分别为C的左、右焦点，过写作直线/与C
13、交于a bA,8 两点，满足A/=；=5 耳B,且 5*=立/.设 e 为 C的离心率.11a rr 2 4(1 )求/；(2)若 e,且。=221 1 1-1-=-|EP|FP P T【解答】过点P(4,l)的直线(与 C交于E,尸两点,求 T 的轨迹方程.4 上存在一点T 使(1)由题直线/斜率存在且不为 0,.l:x=m y-c,4(X ,),B(x2,%),联立方程组x=my-c./+F一12 mc c _ 则 y +%=-4%=2 4 1 ,%=巧只=W-,消去丫2，得 病=0,得k w 三立,2+),6 6设7(%,%),由题意可得 +=，即8口E4-X j 4-&14-x01 1
14、6+X,X2-4(XJ+x2)14 T o I则可得|4-%|二 2心47若4 一/=-，贝(1/=0 2 k+4 7若4-、。=一 而 4 则修8 A+9弘+2 3+：，消去%得 4x()+2 y0-11=0,9&+42 攵+4 y()2 k+4,消去攵得4%+2%-2 5 =0,综上，7的轨迹方程为4x +2 y-ll=0或4x +2 y 2 5=0.5.动点P在圆E:(x +i y +y 2=i 6上运动，定点尸(1,0),线段P F的中垂线交直线P E于点Q.(1)求。的轨迹C的方程;(2)若M,N是轨迹C上异于矶|)的两点，直 线H M,H N的斜率分别为K，Q且勺+&=-1,H D
15、 1 MN,。为垂足.是否存在定点S,使得IDS|为定值？若存在，请求【解答】出S点坐标及|Q S|的值.若不存在，请说明理由.(1)连接Qk,根据题意，|Q P|=|Q尸|,则 I Q E +Q F 1=1 Q E|+|Q P|=4|E F|=2 ,y故动点。的轨迹是以E,F为焦点、,长轴长为4的椭圆,设其方程为。地小。)，可知 a =2 ,c=1,b2=a2-c=3,2 2所以点Q的轨迹C的方程为?+q =l .(2)设 弘)，N(%2，y2),由题意可得直线MN的斜率存在,532-4 3-2 1 OJ14 5 x则可设直线MN的方程为y=kx+m ,2 2 5代 入 椭 圆 方 程 二+
16、二=1可得：(3+4/?)12 +8 2 Ax +4一 12 =0,4 3则=6 4 M z 2 -4(4疗一 12)(3+4公)0,得 4/一/+3。，且 为 +=-S mkW-1 2-，X X j =73+4/-1-3+4公所以仁+左2 =3 3 3 3%-5%一(%-/)(-1)+(乂-5)(丹 -1)1 X,-a-1)*2 -1)3 3 3 3(j i -5)(X 2 -1)+(%-2)(&一 D(i +一 万乂/-1)+(履2 +机 2)(玉 一 D(%-1)(工2 -1)32 kxJ?-)(x,+x2)-/;(%1+9)一(2加一3)(x,-l)(x2-l)X j X2-(x1+x
17、2)+l4m2-2 3-8mk4zn2-12 S mk 1-3-+-4-公5-+-3-+-4-公-T+1-2 4%+12 mk-6m+12 k2+9一 4疗一 12 +8/欣+4/+3 由 4+&=1 得：8 3 +10加+2/7 -3 tn-12 k=0,即（2 2 +2 6 一 3）（4攵+加）=0,当 2 Z +2 m-3=0,直线 y=kx+-k =k(x-1)+g ,令X=l,则 y =3,显然过定点(l,g),舍去，当4 4+机=0,直线y =自一 42 二左(x-4),令工=4,则 y =0,直线过定点7(4,0),此时，4 _ +3 =3-12 公 0,解得-1%|=4,所以|
18、EB|=|E|,所以|E 8 1 +1 E 4 1=|+1 E4 R|=4|AB|=2 ,所以E 的轨迹是焦点为A,B,长轴为4 的椭圆的一部分，2 2设椭圆方程为：1 +=1 伍/?0),则 2 n=4,2 c=2,所以=4,b2=a2-c2=3,a2投2 2所以椭圆方程为二+X =1，4 32 2又因为点不在x 轴上，所以)，工0,所以点的轨迹r 的 方 程 为?+=1(0).(2)因为直线“G斜率不为0,设为x =(y +l,卜=f y +l,设 G(巧,%),H(x,力)，联立，Y y2 整理得(3/+4)+6 少-9=0,+=1I 4 3所以=36*+36(3*+4)=144(/+1
19、)0,凹+%=_,乂 丫 =2_,2 3 r+4 2 3 r+4所 以 邑 加=g I%I l y -2 1=m,MN =2 0 M f/.S&GHN=2 S&OHG设四边形O H N G的面积为S ,m,lc e o e 18 4rz 18 18则 S =S“OHG+S G HN=3 5AO W G =,.2 ,A=0,2 ,4=.-i-3r +4 3 t+4 3/77+/=+1 vP+i令，产+1=%5.1),再令y =3/n +1，则 y =3m +，在 1,+x)单调递增,m m所以机=1时，ymin=4,此时”0,3 W +T=取得最小值4,所以S,*=2.7 7 7 7 22 27
20、.已知椭圆C:+2=1(a b 0)的右焦点尸与抛物线E:y 2=2px(p 0)的焦点相同，曲线Ca-b的离心率为4，河(2,田为石上一点且|知产|=3.(1)求曲线C和曲线E的方程；(2)若直线/:y =+2交曲线C于P Q两点，/交y轴于点R.(i )求三角形P O Q面积的最大值(其中O为坐标原点)；(i i )若R P =2R 9,RP =A R Q,求实数2的取值范围.【解答】x.1Y2 V 2(1)e =a =2c ,b2=a2 c2=3 c2 n 椭圆 C:-+=1，a 2 4c 2 3c22 2又|砌=%+缶 =2+春=3=2,c =ln椭圆。:亍+4=1 ,抛物线E：V=4
21、x.(2)(i )设 P(x,y.),Q*2，%)，联立 J :0(3+422)1 2+6立+4=0,3 x+4y =1 2由,0=k,2 1 ,Jn-6k 44 BL X”+2=-3-+-4-/7，X1-X.=-7,2 3+4 5原点O到直线/距离d =Iq2 POQ=；|P Q|=gJ(l +32)(1 2%2_ 3)3+4公令/=4 2炉一 3 0 n 4 X =.5 =+13 33f 3 3 V 3廿次=小荻一当 且 仅 当 甘。)”2。I空 时，等号成立,此时面积最大为学(i i)H尸=(4弘一2),R。=(工2，%一2),RP =ARQ n X =AX2=A =,a+L J三=(W
22、+M_2,2 x2%|X24+11 2=(3+“2)22 X j X2十 16k又i二w4,1 6 4-6 4“2 1、-7 =2 +2-1 =7 =-，*)，3+4/2 3+4/3 4F+4n2 +2+；(4,1 6)=/t+；e(2,1 4)n/l(7-4后,l)U(l,7 +4 6).8.在平面直角坐标系中，已知定点F(1,O),动点M 满足：以 为 直 径 的 圆 与)，轴相切，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过定点。(2,0)作两条互相垂直的直线、/,直线(、人与曲线E分别交于两点A、C与两点8、D,求四边形A B C)面积的最小值.【解答】(1)设M(x,y),
23、则线段MF的中点坐标为(U，/，因为以MF为直径的圆与y 轴相切，所以|芳1|=3向而不，整理得y?=4x.故曲线E的方程为V=4 x.(2)设直线4 的方程为1=+2,设 A =(x，y),C=(x2,y2),C V?=4x联立 得)2-4-8 =0,则 乂+%=4 m，必必=一8.x=my+2|AC=J l +川 I y _%1=，1 +加 2，1 6 +32=4yh+/J.2+2+2,设 8 =(不，),=(X4,”)，同理得 1 5O|=4则四边形A B C D 的面积：S 二 ；|A C|.|8 D|=8 j l +疗 J(l y+i J +2.J(L)2+28.LT?2 H不+2,J 2(/H )+5，V zn V 机令机2+4=,(.2),则 S=8 J +2)(2+5)=8 也&+9 +1 0I Y I S=8 J 2/?+9/7 +1 0是关于卜 i的增函数,故S*=48,当且仅当m =l时取得最小值48.