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1、2022届高三数学二轮复习 大题训练（11）（概 率 与 统 计）1 .某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的1 0 个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花1 0 元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金1 5 元；中二等奖，可获得奖金2 0 元；中一等奖，可获得奖金2 0 0 元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸
2、球有奖活动的合理性.2 .高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方.现在某公园中心树立有一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年 以 上 的 概 率 为 寿 命 为 2年以上的概率为 P 2,从使用之日起每满1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（1）在第一次灯泡更换工作中，求：不需要换灯泡的概率；更换2只灯泡的概率；（2）当外=0.8,0 2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需
3、要更换5只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.3 .口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有三种，分为半音阶口琴（有按键）、复音口琴、十孔口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）.“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛 调 查.“口琴者联盟”团队随机调查了 2 0 0名口琴爱好者每周的练琴时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间X服从正态分布N（0,），其中近似为样本平均数亍，/近似为样本方差$2 （同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估 计1万名口琴
4、爱好者每周练琴时间在1 60分钟到3 2 0分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在 0.5 ,1.5）和 5.5,6.5）内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设 丫 表示抽取的4人中练琴时间在 5.5,6.5）内的人数，求 丫的分布列和数学期望.参考数据：样本方差S2 =1.78,V l?78-.3尸(一 c r X,+。)=0.682 7,尸(/一 2。X,+2a)=0.9 5 45 ,P(ju-3 c r X”+3 c r)=0.9 9 73 .4.某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取1 0件逐一进行检测，当检测到有2件不合格
5、零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1,且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：（2）已知每件零件的生产成本为8 0元，合格零件的售价为1 5 0元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以1 0元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为2 0元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8,记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.5 .某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 1 0 0 个相同的箱子，其中第A(A =1,2,1 0 0
6、)个箱子中有A 个数学题，1 0 0-4 个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了 2个数学题，1 个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p,答对每一个物理题的概率为q.求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；已知p+q=l ,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p,q 的值.(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.6.某种电子玩具启动后，屏幕上的L D 显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用
7、户可对R(O R 1)赋值，且在第1 次亮灯时，亮起红灯的概率为P 1,亮起绿灯的概率为1-目.随后若 第 次 亮 起 的 是 红 灯.，则第”+1次亮起红灯的概率为1,亮起绿灯的概率为2；若3 3第n次亮起的是绿灯，则第”+1次亮起红灯的概率为2,亮起绿灯的概率为1.3 3(1)若输入网=3,记该玩具启动后，前 3 次亮灯中亮红灯的次数为X,求 X的分布列和数学期望；(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间(3 2,3内，则玩具会自动2021 2唱一首歌曲，否 则 不 唱 歌.现 输 入 则 在 前 20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？2022届高三数学二轮复习 大题训练(1
8、1)(概 率 与 统 计)1.某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的1 0 个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.【解答】(1)设一次摸球有奖活动中中奖为
9、事件A ,则事件A包含的基本事件有：C；C：+C：C：+C：屋=115,基本事件总数为：C,；=210.-.P(A)=,210 4 2.游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为乌；4 2(2)设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为X ,X可以取0,15,20,200,33 IQ C2C2 3P(X=0)=l-=,P(X=15)=-=-f4 2 4 2 0 7C3C 4 C4 1P(X=20)=-4 =,P(X=200)=-=，C*35 C：210故 X的分布列为：X01520200p194 23743512 WX 的数学期望 E(X)=0 x2 +15x 3+20 x +200 x-=出 ，4 2
10、 7 35 210 21由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值E(X)=垩 10,所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.2.高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方.现在某公园中心树立有一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率为“，寿命为2 年以上的概率为外,从使用之日起每满1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.(1)在第一次灯泡更换工作中，求：不需要换灯泡的概率；更换
11、2只灯泡的概率；(2)当月=0.8,2=0 3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).【解答】(1)该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率为外，在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p：.在第一次更换灯泡工作中，需要更换2只 灯 泡 的 概 率 为 网)2.(2)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，在 第 1,2次都更换了灯泡的概率为(1-8)2,在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p,(l-p2),在第二次灯泡更换工作，对其中某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率为：至少更换5只灯泡包含更换6只和更换5只两种情况，.至少更换5只
12、灯泡的根据为p 6 +C：/(l-p),当 口=0.8,时，在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率为：P=0.66+0-66+C 1 x 0-65x(l-0.6)=0.2 332 8 =0.2 3.3.口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有三种，分为半音阶口琴（有按键）、复音口琴、十孔口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）.“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛 调 查.“口琴者联盟”团队随机调查了 200名口琴爱好者每周的练琴时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图可以看出，目
13、前口琴爱好者的练琴时间X 服从正态分布N（0,），其中近似为样本平均数亍，/近似为样本方差$2（同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估 计 1 万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在 0.5,1.5）和 5.5,6.5）内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8 人中随机抽取4 人进行培训，设 丫 表示抽取的4 人中练琴时间在 5.5,6.5）内的人数，求丫的分布列和数学期望.参考数据：样本方差S2=1.78,V l?78-.3尸(一 cr X,+。)=0.6827,尸(/2cr X,/4-2a)=0.9545,P(-3cr/1?78-
14、,4-3=号小时=160分钟，4+9=3 小时=320分钟，3 3 3 3 34 4P(4-o,当(x i 时，r(x)o,./。)在 0,上单调递增，在 g,1 上单调递减，f(x),，皿=/1($=，即。=|时，/=-(!)、+命=:，学生甲在轮活动中获得奖品的个数4 p),由(呼)蛆=4,解得九=27,理论上至少要进行7 轮游戏，此时p=2,q=L3 3(2)设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为1 0 0(1 0 0-1)(1 0 0-2),设数学题为M，物理题为W,第三次取出的是物理题W有如下四种情形：(W,W,W)取法数为(1 0 0-%)(1 0 0-%-1)(1 0 0
15、-2),(.W,M ,W)取法数为(1 0 0 6(1 0 0 左 一 1),(M,W,W)取法数为-1 0 0-6(1 0 0-女 一 1),(M,M ,W)取法数为 左伙-1)(1 0 0-%),从而第三次取出的是物理题的和数为：(1 0 0 _ 后)(1 0 0 _&-1)(1 0 0 _ Z _ 2)+%(1 0 0 _ 左)(1 0 0 _ A _ 1)+%(1 0 0 )(1 0 0 A:_ 1)+左(左 -1)(1 0 0 _ 左)=(1 0 0-1)(1 0 0 -2)(1 0 0-*),则在第2 个箱子中第三次取出的是物理题的概率为=w上 小，而选到第k个箱子的概率为,1 0
16、 0二乙第三次抽到物理题的概率为：!1 1 1 0 0-A:1 1 鸟“八八，、1 5 0 x9 9 9 9而？loo.而 一 丽 石 _ 一 而 用 -l o o?一 砺.6.某种电子玩具启动后，屏幕上的显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用户可对月(0月1)赋值，且 在 第1次亮灯时，亮起红灯的概率为“，亮起绿灯的概率为1.随后若第w(e N )次亮起的是红灯，则第 +1次 亮 起 红 灯 的 概 率 为 亮 起 绿 灯 的 概 率 为2；若3 3第n次亮起的是绿灯，则第 +1次亮起红灯的概率为2 ,亮起绿灯的概率为1.3 3(1)若输入目=3,记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次
17、数为X,求X的分布列和数学期望;在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间(黑，f 内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入月=g,则在前2 0次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？【解答】(1)据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,当x=o时,当X =1时,当X=2时,当X=3时,前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，贝|J P(X=O)=LU =-L,2 3 3 18前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，Hl l则,PD(/Xv=1)n =1 X 2 X 1 十 1 X2 X 2 +1 x1-x2 =一4,2 3 3 2 3 3 2 3 3 9前3次亮灯的颜色为“红
18、红绿”或“红绿红”或“绿红红”,刖 1 1 2 1 2 2 1 2 1 4则 P(X 2)=-x x|x x I x x =一，2 3 3 2 3 3 2 3 3 9前3次亮灯的颜色为“红红红”，则尸(X=3)=LX4X2=L,2 3 3 18所以X的分布列为：1 4 4 1 3(X)=0 x +l x-+2 x-+3 x =-；18 9 9 18 2(2)记第次亮灯时，亮起红灯的概率为p，1 7 1 2 1 1 1 1由题设，p/+1=Pz,x-+(l-p/)x-=-pn W J p/j+|-=,因为 P=Q,X0123P1T i4949118则P i-1=-L,所以1 2 61P 一工：是首项为-工，公比为的等比数歹U，3则x(一；)”“，所以 p“=J +；2 O 3 2 2由4=4+_l x 1,得1x(3 0,所以为奇数,2 2 2 2 3,1 1 1010 阳,1、“1“2 2 2 02 1 3 2 02 1因为为奇数，贝l j,2 02 1,则以.7,3 2 02 1x62当？4,2 0时，=7,9,11,13,15,17,19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前2 0次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.