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1、2022-2023学年广东省清远市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .已知数多1，一夜，6，-2,6，则该数列的第20 0项 为（）A.1 0&B.-1 0&C.-1 0 6 D.1 0 6【答案】B【分析】根据所给数列归纳通项公式为=（7）”,从而得解.【详解】由题可得该数列的通项公式为凡所以，。=（-1严廊=T 0枝.故选：B.2.已知等轴双曲线C的焦距为1 2,则。的实轴长为（）A.3及 B.6&C.1 2 2 D.6【答案】B【分析】根据双曲线的焦距得到c=6,根据双曲线为等轴双曲线得到a=6,然后利用力+从=，2列方程得到。=3丘,即可得到实轴长.【详解】因为2c=1 2,所以c=
2、6.因为a=b,所以2a 2=c;2=36,所以a=3 0,故实轴长为6五.故选：B.2 上3.已知椭圆C：机+机+6=1的离心率为2,则C的长轴长为（）A.8a B.4&C.2及 D.4【答案】B【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.Xm+6-m 7 3【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为2,所以 标 而 =2,得加=2,故长轴长为2而=4血.故选：B.4.已知数列 4 满 足 其前项和为E，贝!$20 22=()_72 _ _ 1_ 6A.2 B.2 C.2 D.0【答案】D【分析】求出数列的周期，从而利用周期进行求和.an=s in f 2%兀 +型 详解当 =4%+
3、l，e N 时，(4)2,当几=44+2,A N时，”=s in 2E +T C+工I 4.7 1 41=-s in-=-4 2当=4k+3,左 N时=兀c o s -V 2=-4 2.(3兀 7 Tan=s in I 2A r 7 i+当 =44+4,左 c N时,an=s in I 2 E +2兀 +:.兀4 1=s in =4 2所以“是周期为4 的周期数列，且$4=0,所以反叱=50 55,+4=0.故选：D5.在三棱锥P-/8 C中，是平面4 8 c 上一点，且 5而=f 万+2而+3砒，则 片()A.1 B.2 C.3 D.-2【答案】C【分析】根据四点共面的性质进行求解即可.【详
4、解】因为5而=f 苏+2而+3流=莎+2而+3(PC-PM),t -1 -3.,-.-一 -PA-P B -P C所以 8 P M =刃+2 尸 8+3 P C,即P M=8 +4+8 .1 3因为M 是平面4 8 c 上一点，所以 +工+=1,所以片3.故选：C邑=_1 显=6.已知等比数列 刖 的前项和为S，若$6 7,则$6()4341A.7 B.43 C.亍 D.41【答案】A【分析】利用等比数列性质邑62.-S.，S3“-52.成等比数列即可求解【详解】设M=x,则$6=7 因为“为等比数列，所以号，S S s -$6仍成等比数列.-6-S3=7 x _ x =6因为 S3 x ,所
5、以Sg S6=36x,员=上所以I=4 3 x,故$6 7 .故选：A.7.若过点尸(2,4)且斜率为左的直线/与曲线V =有且只有一个交点，则实数上的值不可能是()3 4 4A.4 B.5 c.3 D.2【答案】B【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解曲线即/+/=4&2 0)表示以。为圆心，2为半径的上半圆，1一2左 +4|3因为直线L 丫 =山-2)+4即日-y-2%+4=0与半圆相切，所 以-收1+T=2 ,解 得k=一心4-0因为P(2,4),A G 20)所以3 -2一(-2)一：又直线/与曲线y=j 4-r有且只有一个交点，所以，或 一 兄
6、，(L+8)U；所以实数无的取值范围是 MJ故选：B8.已知数列 劭 的前项和为S，6=2 且满足5田=25+2”,若存在实数人使不等式血,4(-19)S”对任意 N*恒成立，则 2 的最大值为()6870A.-24 B.-18 C.-3 D.-3【答案】A【分析】先通过递推公式S+I=2S,+2向求出S”的通项公式，再通过。“与S,的关系求出的通项公式，代入不等式T 9)S即可表达出力关于的表达式，再利用作差法即可求出4 的最大值.+is“=【详解】因为S+I=2S,+2 ,所 以 广 一 下 一.因为=2,盘所以 2 是首项为1,公差为1 的等差数列，所以5r=,所以S=2,所以a-g 也
7、满足)因 为 枇 4(-I9)S“，所以彳(+12，1 4(-19 2,即 +1 .令 /H +1 ,2(+1)(-18)2 (-19)/(+1)-/()=+2 n+2(川+3-18 2(-3)(,+6)=(+1)(+2)=(+1)(+2),所 以/(2)/(3)=/(4)1时，,然后代入求和即可判断D 选项.详解设 的公差为a,前“项和为S ,因为4+%+6 =3%=66,%+为+&=3%=57,所以处=22,4=1 9,所以“=_ 3,故 人错.因为=%-2d=2 8,所以=28-3（-1）=31-3,故 B 正确,5 _（28+31-3n）n _ 59-3n2 2一,故 C 正确，当”1
8、0时、3 X 502-59 X 50 590-3X102%0，所以M 的前50项和为一 +1 0-2+X 厂=2565故 D 错.故选：BC.1 0.已知直线4：3+37一 5=0 与直线/2：5x+（加-2）尸 5=0,则下列选项正确的是（）3A.若I,则 4B.若2,贝 1 m=-3C.4 被圆/+F =9 截得的弦长的最小值为4后D.若圆x2+V=4 上有四个点到4 的距离为,则 机 e（-4,4）【答案】BC3/=【分析】A 选项，由直线垂直列出方程，求出 4；B选项，由直线平行列出方程，求出加的值;C 选项，求出直线12过定点（L）,确定当直线12与4 垂直时，截得的弦长最短，求出最
9、小值；D 选项，数形结合得到圆心（）到4 的距离小于1,列出不等式，求出“，的取值范围._ 3【详解】若4 U,则5加+3（，-2）=0,解 得 七，故 A 不正确；若2,则?(加-2)-1 5 =0,解得机=-3 或加=5.当加=5 时，/A重合，当机=-3 时，符合题意，故 B正确.因为直线 2 过定点，),犬+=9 的圆心为。(0,0),|/。|=1,当直线1 2 与 垂 直 时，即当机=2 时，=1 被圆/+/=9截得的弦长最短，最小值为2 x J 3 2 T 2 =4 色故 C正确.因为圆V+V=4的圆心(。,0),半径为2,/+=4上有四个点到4 的距离为1,所以圆心(，)到4 的
10、距离小于1,|-5|I-4 或用=72 ,B C =4,M 为尸。的中点，则()A.B M 1 P CV 3 0B.异面直线8M与/。所成角的余弦值为丁巨C.直线BM与平面P 8 C 所成角的正弦值为7D.点 加 到直线8c的距离为所【答案】A C D【分析】建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标，利用空间向量的方法逐项分析即可求解.【详解】过 A作 E CO,垂足为E,则。=2,以A为坐标原点，分别以Z E,AB,Z P 所在直线为x,九z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(02 0),C(4,2,0),0(4,-2,0),产(0,0,2),则 两=(2,-3,1),P C =(4,2
11、,-2)；团=(4,0,0),而=(0,-2,2),仞=（4,一 2,0）p因为 8MPC=2x4+(-3)x2+lx(-2)=0,故选项 A 正确;cos=因为BMAD|诙|囹2x4+(-3)x(-2)+l0 屈714x275-10V70所 以 直 线 与4。所成角的余弦值为 记，故选项B错误;设平面P8C的法向量为机=（x,%z）,mBC=4x=0则 而BP=_2y+2z=0,令y=l,得而=(0,1,1)_ _ _.一 BM 机sin a=cos =一,1设直线BM与平面P8C所成角为a,则 B M m=昱一 7V 7所以直线8M与平面P8C所成角的正弦值为7,故选项C正确;设点M到直线
12、8 c的距离为d,则即 点 到 直 线8 c的距离为J i 6,故选项D正确,故选：ACD.1 2.如图，圆锥尸。的轴截面P Z8为直角三角形，E是其母线尸8的中点.若平面a过点E,且P8_L平面a,则平面a与圆锥侧面的交线CED是以E为顶点的抛物线的一部分，设此抛物线的焦点为F,且b=3.记O D的中点为M,点N在曲线CEZ）上，则（）A,圆锥尸。的母线长为4B.圆锥底面半径为2及C.建立适当坐标系，该抛物线的方程可能为产=6xD.|MN|+|N/|的最小值为3【答案】ABD【分析】设圆锥P 0 的母线4=2.,根据圆锥的轴截面为直角三角形得到底面半径为血，然后以E 为原点，E 0 所在直线
13、为x 轴建立平面直角坐标系，得到C（，-亚“），然后利用抛物线的定义和点C 在抛物线上列方程得到a=p=2,即可判断ABC选项；根据几何知识得到当M N 平行于x轴时，|MN|+|A户|取得最小值，然后得到最小值即可判断D 选项.【详解】设圆锥尸。的母线尸/=2 a,则底面半径为以 E 为原点，E 0 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 C（，-&q），设抛物线的方程为俨=2.（p0）,因为2=3,2屋=22，所以a=p=2,所以圆锥尸。的母线长为4,底面半径为2近，故A,B 正确.因为该抛物线的方程为V=4x,M（2,a）,且|N F|=xN+l,所以也火|+|加|=|九0|+
14、3+1.当M N平行于x 轴时，|N|+|N/|取得最小值，最小值为x M+l=3,故 C 不正确，D 正确.故选：ABD.三、填空题1 3.已知平面。内一点尸（9型），点。（6 6 6）在平面口外，若。的一个法向量为=（2,1,1）,则 0到平面a 的距离为.巫 瓜【答案】6#6【分析】求出 =（一 3，-2，1）,得到点到平面的距离公式求出答案.【详解】因为P =(T-2,1),PQ-n|(-3,-2,1).(2,1,1 7 7 V 6所以。到平面a的距离为 H776故答案为：W,4 +1 +1 一n-61 4.已知两圆G：(x _ 2 f+(y _ 6)2=9 与。2：/+/+2 _ 仙
15、 _ 3 加=0 外离，则整数机的取值是【答案】-1【分析】分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，即可解出加的取值范围，再取整数即可得到结果.【详解】因为圆G的圆心为(2 母)，半径6=3_ 5圆 的 标 准 方 程 为 C 2：(x +l +(y _ 2)2=5 +3 7,所以 5 +3 i 0,B p，M-3.圆G 的圆心为(T，2),半径=+3 加两圆圆心的距离为J(2 +l f+(6 _ 2)2 =5,1由两圆外离可得4+5,即3 +j 5 +3m 5,解得 35 1 m 0.【详解】根据题意，跳到第+2 格有两种可能，一种是从第+1 格跳过来，有“向种方式，
16、另一种是从第格跳过来，有“种方式，所以，+2=4,+。1.因为q=L 4=2,所 以%=3,%=5,as=8,4=1 3,%=21,。8 =34,%=55,4=8 9,S1 0=231故答案为:34：231五、解答题1 7.设等差数列 的前”项和为S，且$6 =2s 4,a2ll=2an-l_（1）求 “的通项公式.b“=-7,（2）令”（2-l）V ,数 列 也 的 前 项 和 为*证 明：B8 .【答案】”=2+1（2）证明见解析【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式;&=1 1 _ _ L _ _（2）化简得到（2 +1）,裂项相消法求和，证明
17、出结论.【详解】（1）设等差数列%的公差为d,6 q +1 5d=2（4%+6 d）解 得%=3,d=2,因此a,=3+2（T）=2+l；（2）证明：因为例=2+l,fn i f 1 1b-=-所 以（2-1）2（2+1）2 4（2-02（2 +1）,T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以”8 32 32 52(2n-l)2(2+1)2 8 8(2/7 +1)2 81 8.已 知 的 顶 点 分别为/(-1,7),8(4,-2),C(3,-1).(1)求“8C 外接圆的方程；(2)设 P是直线/：4X-3、-25=上一动点，过点作”8c 外接圆的一条切线，切点为0,求俨5 最小值及点P
18、的坐标.答案+y-+2x-4y-20 =0同LA何 停一2【分析】(1)设出圆的一般方程将4 民。三点坐标代入，利用待定系数法即可求得“8C 外接圆的方程；(2)根据切线长公式可知，当尸与圆心之间的距离最小时，切线长俨9最小，根据点到直线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.【详解】(1)设“8C 外接圆的方程为一+/+b+切+尸=0,50-Z)+7 E +F =0 20-4D-2E +尸=0将 4 8,C 分别代入圆方程可得 1 0 +3 O-E+尸=0 ,解得)=2,E =4,F =-20,所以Z U 8 C 外接圆的方程为厂+2 10 =0(2)B C 外接圆(x+l)2+
19、(y-2)2=25 的圆心为 M(-l,2)，半径 R=5；因 为 陷 L-*=北 所-2 5,所以要使|图 最小，只 需|尸%小 即 可，面.4 3 2-2 储当时，归M 最小，所以 也、(-3)2,所以1 P O L=石=2几；%-2 _ 3%+1 4设尸(小，为)，则 4%-3%一 25=0；尸偿即点尸的坐标为1 5 5 J1 9.如图，在四棱柱/B C D-3 8/G。中，侧棱44,平面ABCD,A B W C,ABLAD,AD=CD=2,AA,=AB=4,E 为棱 4 4/的中点.（1）证明：BCLCiE.设 C M=/C E （O A (2,0,0)；C(2,0,2),(0,2,0
20、)(2,4,2),5,(0,4,4)所 以 数=(2,0,-2),鬲=(2,2,2),所以 B C.E C i=2X2+O+2X(-2)=O,所 以 工 _ L G ,故 5 C l C/；(2)因为=(0,4,0),C =(-2,2,-2),所以 7=BC+C M =B C +;v CE=(2 -2 2,2/1,-2 -22),设平面8 8 的法向量为 =（x，乂叽n-BB=4 y=0则五=(2-2%)x+2 4 y-(2 4 +2)z =0,令%=+加贝i j 刀=(1 +九,0 一 九)因 为 南=(2,0,-2),4 2 2 后所以G 到平面B B i M的距离A=-解得 3.4 .|
21、n|7 2+2/P 52 0.已知数列“J的 前 项 和 为 满 足 3，=2 勺-1,也 是以4为首项，且公差不为0的等差数列，&也，打成等比数歹八 求%,也，的通项公式；令 生 =。也，求数列匕 的前项和4.,L 3 5【答案】（1 产/,-一 -（/一 2八）T ,b“2 n-2-T_ 2-（3n-4）-（-2 y-ln=；3Q-*=1 Q 2【分析】（1）根 据 1 S，-S T，N 2 求 出.，故 包 是首项为/,公比为一2的等比数列,求出通项公式，再设出等差数列 的公差，列出方程，求出公差，得到通项公式；（2）求出J =（3-5（-2）,错位相减法求和 详 解 （1）因为3s“=
22、2/7,所以当=1 时，3%=2%-1,所以4=-1,当 2 2 时，3S _ =2/_ _ 1,巴2两式相减可得，3。,=24-2%,所以明,所以%是首项为-1,公比为-2 的等比数列，所以=一（一 2）设等差数列也 的公差为d,因为4 =4 =T,所以&=-1 +，4 =-1 +2 乩&=_1 +6 因为打也也成等比数列，所以（T+2 ）一 =（T+）（-1 +6 4 ）,3解得：d=0（舍去）或 45,所以 b=1 +2、（M 1,）=-2 n 2；（2）。”=。也=（3-5）（-2）故9=(-2)x(-2)+1 x(-2)+4 x(-2)+(3 5)(-2)2(所以-2 9 =(-2)
23、x(-2)+l x(-2)+4 x(-2)-+(3-5)(-2),两 式 相 减 得 阳 二.乂 收 了+门 。).所=l +3x匕？(3 5)(-2)=2-(3“-4)-(-2)，7=所以3.B+C2 1.在A/8 C 中，a,b,c 分别是角 4,B,C所对的边，cs in 2 =sjn c,且 a=l.求/;若/I 8=/C,D,E两点分别在边8 C,上，且 C D=D E,求 CO的最小值.7 1【答案】3(2)2 -3【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到H 1s in 2 =2,即可得到A；7 1（2）W AB=AC,J=3 ,得到/
24、B C 为等边三角形，然后在A B D E 中利用余弦定理得到C D=2-3B E+2-B E ,最后利用基本不等式求最值即可.B+C B+C【详解】(1)因为 cs in 2 =s in C,且 a=l,所以 cs in 2 =as in C,B+C所以 sin Csin 2=sin/sin C.n A A因为 C(O,Jt),sin C/0,B+C-n-A,所以 sin(2-2)=sin 4 即 cos 2=sin4,A A A所以 cos 2=2sin 2 cos 2.A it A A n 兀因为5 日0,5),所以c o s,和，所以s i n=5,所以彳=k,即Z=3.因为N8=NC
25、,4=3,所以448。为等边三角形，AC=BC=AB=.如图，在 8Z)E 中，BD=-CD,DE=CD,BD，+BE?-DE2 BE?+()c 2-CD?1由余弦定理得 cos 3=2BD.BE 2S(D-CZ 2,所以 BE2+(1 -CD)2-CD2=BE-(-CD),BE?-BE+1 _(-2-3(2-+3 _ 3 _3所以 CD=2-BE 2-BE 2-BE+2-BE,3因为 0BE 人 0)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲X?y2线 C：a.b=1(a b 0)的实轴
26、长为6,其蒙日圆方程为炉+y=1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设。为双曲线C 的左顶点，直线/与双曲线C 交于不同于D 的 E,尸两点，若以E尸为直径的圆经过点O,且。GLEF于 G,证明：存在定点H,使|G”|为定值.x y-【答案】（1）9 -8 =i（2）证明见解析【分析】（1）根据双曲线性质与蒙日圆的定义即可求解；（2）设出直线3 =去+用与双曲线联立消了，求出韦达定理的表达式，根据。G 1 E 尸求 出 的 关 系 式，代入直线歹=履+即可求出定点【详解】（1）由题意知。=3,因为双曲线C的蒙日圆方程为一+产=1,所以所以b=2&,故双曲线C的标准方程为9 .8 =1（2）证
27、明：设 （%/,为），F（%2 及）,当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=kx-m,联立方程组1 9 8 化 简 得(8-9 N)x2-1 8 k mx-(9/+7 2)=0,则 A=(1 8 k m)2+4 (9/+7 2)(8-9 N)0,B P /w2-9 F+8 0,18km1 2 8-9 公-9 m2-7 2因为 D,DF=(M+3)(J Q+3)+力力=0，所 以(N+l)-X/X2+(k m+3)(X/+X2)+m2+9-9nr-72=（N+l）-8-9 暇+（k m+3）8-9%+用2+9=（）,化简得加2-5 4 k m+1 5 3 F=（m-3k）（加-5 1 左）=0,
28、所以m=3k或加=5 1 左，且均满足/H2-9 F+8 0当?=3 左时，直线/的方程为尸=左G+3）,直线过定点（-3,0）,与已知矛盾，当?=5 1 左时，直线/的方程为y=4（x+5 1）,过定点M（-5 1,0）当直线/的斜率不存在时，由 对 称 性 不 妨 设 直 线 歹=x+3,y =x +3,兰 g=1,联立方程组I 9 8 得x=-3 （舍去）或 x=-5 1,此时直线/过定点M（-5 1,0）.因为。所以点G 在 以 为 直 径 的 圆 上，”为该圆圆心，|GH|为该圆半径.故存在定点，（-27,0）,使|G|为定值24.【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x 或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.