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1、2022-2023学年广东省梅州市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知直线经过点“（1）与点8（），则直线力8 的倾斜角为（）A.45。B.60。C.120。D.135。【答案】D【分析】根据已知可得斜率=7,然后根据斜率与倾斜角的关系即可求出答案.【详解】设直线的斜率为左，倾斜角为叫z.=1-0=,根据斜率的定义可得一0-1-由力=tan a 可得，tana=-l,又0Y a 0）,A点坐标为（68,24）,将 A 点坐标代入抛物线方程可得2 4 =2x 0.8p,解得p=3.62=1.8所以抛物线的焦点到顶点的距离为2.故选：D.6.已知点4 2 3）关于町平面的对称点为B,而点8 关
2、于x 轴的对称点为C,则BC卜（）A.2厢 B.2折 C.2折 D.8【答案】B【分析】由对称性分别求出8、c,则 有 血，即可求得【详解】由题意8=。2-3）,则C=（l,-2,3）,故 沅=（0,-4,6）园=4 6 +36=2万故选：B7.孙子算经是我国南北朝时期（公元5 世纪）的数学著作.在 孙子算经中有“物不知数”问题,其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个正整数为。，当 】200 时，符合条件的所有。的个数为（）A.12 B.13 C.24 D.25【答案】B【分析】设a=3+2=5+3,?,e N,推导出
3、3机=5+e N,检验得到只有当 z =5k+2/e N）时，=3%+1,满足 e N,求出”15人+8,满足要求的。为公差为15的等差数列，列出不等式组，求出k 的个数，即满足条件的所有。的个数【详解】设=立?+2=5 +3,也N ,则3 =5 +1,在”N ,m =5k（k E N*,=3 三 M c M当 时，5,不满足w N,2当加=5 k+l/eN）时，-+5 ,不满足 e N,当加=5%+2（左 w N）时.，=3 后+1,满足 wN,8当 m =5 Z +3G eN）时，”-+5 ,不满足”e N,当m =5 k+4,eN）时，-3 左+，不满足 e N,综上：=3 邯+2）+2
4、=15 八 8,即满足要求的a 为公差为15 的等差数列，7 64 _ 4令15 人+8 4 2。,解得：廿宁丐,因为eN,故满足要求的人为0,1,2,12,共 13 个，故满足要求的。的个数为13 个.故选：B+J 18.已知尸是椭圆C：/b2（。6 0）的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的A,B 两点满足 4尸 8=90,则椭圆C 离心率的取值范围是（）A 即 B H 后 1 f n G Ju,22C.L/D.I【答案】c【分析】设/（，）,（x。/。），8（f,一%）,由已知可得c2=x：+y：进而根据椭圆的方程消去外,2C2=Z 2+7-XQ）2 2得到/.然后根据椭圆的范围，即 可
5、 求 出 进 而 求 出 答 案.【详解】设F（c，）,8（-%,-盟）则尸/=F 5 =（-X0-C,-70）；由 已 知 可 得,成 丽=0,即（演-c）（f-c）-K =0,整 理 可 得/=x：+K区+%.=2=Z,2 _ 0.因 为/b2,所以 a2,c 2=X；h2x2 r2+*=片”+彳片所以 a ax l =a1-a2 2 2又由题意可得 从,所以 4C2 /a,、9、,)c-a-又b-=cr-c-,所以 2-1 e2 1 e 2匕-=1对于D项，16 4 的渐近线方程为 =2故D项错误.故选：BC.1 0.已知圆 C+/=4,圆 C2：(l)2+()2=9(6eR),则()A
6、.两圆可能外离B.两圆可能相交C.两圆可能内切 D.两圆可能内含【答案】ABC【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.【详解】圆：/+/=4 的圆心为G（，）,半径6=2；圆C2：（x-i y+（y-6）.=9 的圆心为。2（Lb）,半径4=3,则|CC|=Jl+2 1,4+=5,-=1,当Jl+从 5 即从24时,12|4+，两圆外离：当5 即0 从24时,0-4 1|4+4,两圆相交;当J1+从=1 即3=0 时,|C|G|=-2-4,两圆内切；当a+从=5 即从=2 4 时,11=4+4,两圆外切；综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，可以外切
7、，不能内含.故选：ABC.II.将数列J 中的所有项排成如下数阵：2%。6。7 8 0 9”1 0 1 a2已知从第二行开始每一行比上一行多三项，第一列数成等差数列，且=4,4 =6 从_ 1 _第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以5为公比的等比数列，第i 行中从左至右第,个数记为4，第i 行的所有项之和记为S,则（）A.%）=2i B.%6）一3 2C i o。=%6）D S 4i【答案】A D【分析】根据等差数列的定义即可求出首项、公差，得出通项公式，即可判断A 项；由 A 项结果,可 求 出%）一,然后根据等比数列的通项公式即可求出亿6）的值；求出各行的项数，即可得出前8 行的
8、项数总和为9 2,即可判断C 项；根据A 项和C 项得出的结论，可求出等比数列的首项、公比以及项数，然后根据等比数列的前”项和求出S,即可得出D 项.【详解】对于A 项，设等差数列的公差为，由己知，,即4-=6-4=2,所以6=2,d=2.所以)=%+2(I)=2 i,故A项正确;对于B 项，由A 可知，)=2 x 7=1 4 所以%一3 2 一1 6,故B项错误;对于C 项，设的表示第 行项的个数.则 是以q=1为首项，公差&=3 的等差数列，所以%=q+(T)4=1+3(-1)=3-2 ,(c,+c“)_ x(l+3 w-2)_ 3/2-n则前行的项数总和为一2 一 2 一 2 .3,8
9、2-8 _ 9 2所以，前 8 行的项数总和为 2所以，4o o =%,8),故 c项错误；对于D 项，由 A 知，=2.由c知，第i行的项数为 =3 2k _ 7/2.则第i行的所有项构成了以()一 为首项，公比为2的等比数列.所以 2,故 D 项正确.故选：AD.12.如图，棱长为2的正方体力 88-4 4 GA 中，点P是 底 面 上 的 动 点，AP=AAB +y A D(0 2 1,0/下列结论正确的有()A.当4=时，则三棱锥P-Q4 G的体积为定值2=1旦B.当一 时，4 P与平面/8 C O 所成角的正弦最小值为Tc.当“一 5 时，有且仅有一个点尸，使得4 尸,。丁兀D.若
10、口P与4 4 的夹角等于则动点尸的轨迹是双曲线的一部分【答案】A D【分析】A.当义=时，点P在线段4 C 上运动，点尸到平面04 c的距离是一个定值，所以三棱锥尸-04 G的体积为定值，所以该选项正确；B.当 5 时，设瓦F 分别是/尻 的中点，点2p 在线段E 尸上运动，4 P与平面力88所成角的正弦最小值为5,所以该选项错误；C.建立以点A 为原点的空间的直角坐标系，假设存在点尸，使得F GP,解方程可判断该选项错误；D.设P(x,y,0)(0 4x AC=y/3当且仅当 AC,等号成立,Q ZAB C-0 tanZAB C 因为04尤 +3 T=2（2）依题意可设直线/的方程为N =x
11、+/由垂径定理和勾股定理可知，圆心 ）到直线/的距离=屈力=1,而圆心（覃）到直线/的距离 及,=1即有：“，解得：，=0，所以直线/的方程为尸x+&或y=x 一五.1 9.已知动点M与点,（2，）的距离与其到直线x=-2 的距离相等.（1）求动点”的轨迹方程；（2）求点”与点（6，）的距离的最小值，并指出此时M 的坐标.【答案】/=8 x；（2）4忆 加（2,4）或“（2,T）【分析】（1）利用抛物线的定义得解;M?，加 MA=.p 7 1 6 7+3 2设I*人 求 出 丫 6 八 7 即得解.【详解】（1）解：由题意知动点 到bGM的距离与它到直线x =-2 的距离相等,所以动点 的轨迹
12、为以“（2，）为焦点、以直线=-2 为准线的抛物线，因此动点M 的轨迹方程为/=8 xm2 M 丁“（2）解：设 I *ALl4|=f-61+m2=J-_ +36=J （m2-16 i+32由两点间的距离公式得：*8 J 6 4 2 寸64,当相2 =1 6,即机=4 时，I朋小巾广彳夜，即当M（2,4）或“（2,-4）时，点”与点人的距离最小，最小值为4 g.2 0.如图，直角梯形48CO中，C D =2AB =2B C,AB 1 B C ,A B/C D ,点E 为。的中点,4）E 沿着HE翻折至点M 为P C 的中点，点N 在线段8 c 上.B N（2）若平面PNE_L平面/8 C E,
13、平面EMN与平面以 5 的夹角为3 0 ,求 8 c 的值.【答案】（1）证明见解析；5.【分析】（1）根 据 已 知 可 证 得 平 面 P E C,进 而 得 出 然 后 证 明 E W P C,根据线面垂直的判定定理即可得出；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系.设=2,CN=”.写出各点的坐标，求出平面。忖 可_ _ cos300=j.EMN与 平 面 的 法 向 量 I，%,根据 n r n l,得出方程，即可求出。的值，进而得出答案.【详解】（1）由题意可得，P E L A E,C E L A E.因为 PEC|CE=,PE u 平面 PE C,CEu 平面 PEC,所以平
14、面PEC.因为E u 平面P E C,所以ZE L E”.因为8 c/E,所以EWL3C.因为PE =E C,为 PC 的中点，所以因为P C c 8 C =C,PC u平面P 8 C,8C u平面P S C,所以E _ L 平面P 8 C.（2）因为平面P/E_ L平面Z 8 C E,平面P Z E C 平面48 CE=4E,PE L AE ,PE u 平面 P4E ,所以产，平面N 8 CE.以点E 为坐标原点，以 及，E C,E尸分别为x,V,z 轴，如图建立空间直角坐标系，不妨设E A=2,设 C N =a,则尸（0,0,2）,4（2,0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,M（
15、0,1,1）（N（a,2,0）设/=（x/*）是平面尸力 8的一个法向量，,8 =（0,2,0）,力 尸=（-2,0,2）,AB =2y=0则 AP-nx=2x+2 z =0令z =l,得平面P 4 3 的一个法向量4=0，J）.设2 =（工 2，%*2）是平面1加的一个法向量，屈W=（0，1，1）,E N =（6 1,2,0）,EM%=y2+z2 =0E N -n2=ax2+2 为=0八 4 ,取“2 =2 ,可求得平面E MN的一个法向量为 2 =（2,一。，）COS3 0 =B S =尸 K +Z由题意可得 HMM y/2xyl4+a2+a2 2y/a2+2 2 ,解 得 力 1.B N
16、 ,2 1.市民小张计划贷款7 5 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2 02 1 年 7月 8日贷款到账，则 2 02 1 年 8月 8日首次还款).已知该笔贷款年限为2 5 年，月利率为04%
17、.(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5 5 00元，最后一个还款月应还2 5 1 0元,试计算该笔贷款的总利息.(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1 万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素).参考数据：1.004 3 0 a 3.3 1.(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.【答案】(1)元；(2)小张该笔贷款能够获批；(3)建议小张选择等额本息的还款方式，理由见解析.【分析】(1)等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记 为 用 邑 表 示
18、 数 列%的前”项和，求出$伽即得解；(2)设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，求出x即得解；(3)从节省利息的角度来考虑，从前几年付款压力大小的角度来考虑，即得解.【详解】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为初 ,用表示数列%的前“项和，则卬=5 5 0 0,须o=2 5 1 O,3 00 x(5 5 00+2 5 1 0)S =-=1 2 01 5 00则 2 ,故小张的该笔贷款的总利息为1 2 01 5 00-7 5 0000=4 5 1 5 00(元).(2)设小张每月还款额为x 元，采取等额本息的还款方式，每月还款
19、额为一等比数列，则 x +x (1 +0.004)+x(l +0.004)2+x(l +0.004)2 9 9=7 5 0000 x(l +O.O O 4)3 00 x 1 LUU4=7 5 0000 X 1.O O 43 00所以 I 1.004 ),7 5 0000 x l.O O 43 o ox 0.004 7 5 0000 x 3.3 1 x 0.004 八 八。x=-r-a 4 2 9 8即 1.0043 -1 3.3 1-1 ,4 2 9 8 4 5 1 5 00,所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式.也可以回答：因为以等额本息方案，每月还款只需要均还4 2
20、9 8 元，而以等额本金在前面的1 0年内还款金额都比这个金额高，a,=-5-5-0-0-2-5-1 0-=1i0n -5-5-0-0-4-3-0-0=1 2 02 9 9 ,1 0对于小张可能会造成更大的还款压力，因此从前几年付款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式.2 2.已知点尸是圆：/+必=4 上的动点，过点P 作x 轴的垂线段尸。，。为垂足，点“满足 1 D M =-D P2 ,当点尸运动时，设点加 的轨迹为曲线E.(1)求曲线的方程；(2)证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点A、B,且O A 1 O B(。为坐标原点)，并求出该圆的方程
21、.X2 2 1+V =1【答案】4-；2 2 4x =-(2)证明见解析，5._ 1 【分析】设“(2).根 据 -2 ,得出坐标关系，代入圆的方程,整理即可得出；(2)切线斜率存在时，设方程为丁=丘+.与椭圆方程联立，根据韦达定理得出坐标关系.结合OA Y OB,即可得出关系式，得到两个参数之间的关系.然后求出半径即可；验证斜率不存在时，求出点的坐标，也满足题意.【详解】(1)由题意设(0 ),(),().因为点也满足 D M =-2 D P,所以1(x-x0,j)=-2(VO5 yo)x=x0所 以 1一5 居，于是：L。二2匕因为点尸在圆上，所 以 君+火=4,2 1 J/1所以X +（
22、2y）-=4,整理可得4-by=1所以动点 的轨迹曲线E为：4-(2)(i)当切线的斜率存在时，设圆心在原点的圆的一条切线为 =丘+,y=kxt任+2=1联立方程组：14+一，消去y得：/+4(丘+抒=4,即(1+4公户 +8ktx+4r-4=o要使切线与曲线E恒有两个交点A,B ,则使 =6以2-一16(1+442/2-1)=16(4公-+)04/-4即4k 2T 2+i o,即广 4K +1,且 1 +4K ,_ 二（4/-4）8 3 2 2_t2-4k2=（g+/）（后2 +0=左 2中2 +h （现 +4 ）+J =1 +4公-7 7 4 F+1=1 +4公因为O 4J _ 0 8,所以O 4_ L 0 8,则 占 七+%=0,-4-?2-4 d-t-2-4-k-2=-5-/-一-4-左-2-4=0A即1 +4/1+4/1 +4左2 ,所以5/-4/-4=0,即5/=4尸+4且*4二+1,即4 r+4/5(i i)当切线的斜率不存在时，切线为 5,与。交 于 点|石,|同 或|百1间,也 满 足.x+y=-综上，存在圆心在原点的圆 5,满足题意.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线问题时，若题干中出现垂直关系，常联立方程，根据韦达定理得出坐标关系，然后根据数量积为0,得出关系式.