《广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷 类型：A2 0 2 3 年 深 圳 市 普 通 高 中 高 二 年 级 调 研 考 试 数 学本试 卷共 6 页，22 小题，满 分 150 分.考试 用时 120 分钟.注意 事项：1.答题 前，考生请 务必 用黑色 字迹钢 笔或 签字笔 将自 己的姓 名 准考 证号 填写在 答题 卡上.用 2B铅笔 将试 卷类型（A）填涂 在答 题卡相 应位 置上.将条 形码 横贴在 答题 卡右上 角“条形 码粘 贴处”.2.作答 选择 题时，选出 每小题 答案后，用 2B 铅笔 把答 题卡上 对应 题目选 项的答 案信 息点涂 黑；如需 改动，用橡 皮擦 干净后，再选 涂其 他答案，答 案不能 答
2、在 试卷上.3.非选 择题 必须用 黑色 字迹钢 笔或签 字笔 作答，答案 必须 写在答 题卡 各题目 指定区 域内 相应位 置上；如需 改动，先划 掉原来 的答案，然 后再写 上新 的答案；不 准使用 铅笔和 涂改 液.不按 以上 要求作答 的答 案无效.4.考生 必须 保持答 题卡 的整洁.考试 结束 后，将 试卷 和答题 卡一 并交回.一 选择 题：本 题共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只 有一 项是符合题 目要 求的.1.已 知 集 合 1,0,1,2,0 3 A B x x，则 A B（）A.1,1 B.1,2 C.1,0,1 D.0,
3、1,22.若 复 数 z 满 足 1 i 4 2 i z（i 为 虚 数 单 位），则 z 的 共 轭 复 数 z（）A.3 i B.3 i C.1 3 i D.1 3 i 3.已 知 t a n 2，则 c o s 2（）A.35 B.35C.45 D.454.已 知 2,1,2 a b x，若a b，则x（）A.1 B.-1 C.4 D.-45.白 酒 又 名 烧 酒 白 干，是 世 界 六 大 蒸 馏 酒 之 一，据 本 草 纲 目 记 载：“烧 酒 非 古 法 也，自 元 时 创 始，其 法 用浓 酒 和 糟 入 甑（蒸 锅），蒸 令 气 上，用 器 承 滴 露”，而 饮 用 白 酒
4、则 有 专 门 的 白 酒 杯，图 1 是 某 白 酒 杯，可 将 它 近似 的 看 成 一 个 圆 柱 挖 去 一 个 圆 台 构 成 的 组 合 体，图 2 是 其 直 观 图（图 中 数 据 的 单 位 为 厘 米），则 该 组 合 体 的 体积 为（）A.355c m6B.35 1c m6C.347c m6D.343c m66.若 正 实 数,m n满 足 2 m n，则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 为（）A.l n l n 0 m n B.1 12m nC.2 22 m n D.2 m n 7.已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 右 焦 点 为 F
5、，过 原 点 的 直 线 l 与 C 交 于,A B 两 点，若 A F B F，且3 A F B F，则 C 的 离 心 率 为（）A.104B.105C.25D.138.已 知 点 A 在 直 线 2 x 上 运 动，若 过 点 A 恰 有 三 条 不 同 的 直 线 与 曲 线3y x x 相 切，则 点 A 的 轨 迹 长 度 为（）A.2 B.4 C.6 D.8二 多选 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每 小题 给出的 选项 中，有 多项符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的得 0 分.9.某 校 举 办 数 学 文
6、 化 节 活 动，1 0 名 教 师 组 成 评 委 小 组，给 参 加 数 学 演 讲 比 赛 的 选 手 打 分.已 知 各 位 评 委 对 某 名选 手 的 打 分 如 下：4 5 4 8 4 6 5 2 4 7 4 9 4 3 5 1 4 7 4 5则 下 列 结 论 正 确 的 为（）A.平 均 数 为 4 8 B.极 差 为 9C.中 位 数 为 4 7 D.第 7 5 百 分 位 数 为 5 11 0.已 知 函 数 c os 2 02f x x 的 图 像 关 于 直 线6x 对 称，则（）A.16 2f B.f x 在 区 间,4 6 单 调 递 减C.f x 在 区 间,2
7、 2 恰 有 一 个 极 大 值 点D.f x 在 区 间 0,3 有 两 个 零 点1 1.已 知 抛 物 线2:2(0)C y px p 的 焦 点 为 F，淮 线 为 l，过 F 的 一 条 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点，若 点 M在 l 上 运 动，则（）A.当 A M A F 时，A M l B.当 A M A F M F 时，2 A F B F C.当 M A M B 时，,A M B 三 点 的 纵 坐 标 成 等 差 数 列D.当 M A M B 时，2 A M B M A F B F 1 2.在 四 面 体 A B C D 中，有 四 条 棱 的 长 度 为 1，两
8、 条 棱 的 长 度 为m，则（）A.当 A B A D m 时，A C B D B.当 A B C D m 时，四 面 体 A B C D 的 外 接 球 的 表 面 积 为 222m C.m的 取 值 范 围 为 0,2D.四 面 体 A B C D 体 积 的 最 大 值 为31 2三 填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.621xx 的 展 开 式 中 常 数 项 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（用 数 字 作 答）.1 4.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和，若3 1 4 23,6 a a a a，则5S _ _ _ _ _
9、_ _ _ _ _.1 5.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x，满 足 2 2 f x f x，当 0,2 x 时，4 2 f x x x，若 方 程 f x a 在 区 间11,2 内 有 实 数 解，则 实 数a的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 6.已 知 线 段 A B 是 圆2 2:(1)(1)4 C x y 上 的 一 条 动 弦，且 2 3 A B，设 点 O 为 坐 标 原 点，则O A O B 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；如 果 直 线1:3 1 0 l x m y m 与2:3 1 0 l m x
10、y m 相 交 于 点 M，则M A M B 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.四 解答 题：本 题共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文字 说明 证明 过程 或演算 步骤.1 7.（1 0 分）已 知 数 列 na 满 足*1 11,1nnnaa a na N.（1）证 明：数 列1na 是 等 差 数 列，并 求 数 列 na 的 通 项 公 式；（2）设1 n n nb a a，求 数 列 nb 的 前n项 和nT.1 8.（1 2 分）记 A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c，且1c os2b A a c.（1）求 B；
11、（2）若 2 c a，且3 3 b，求 A B C 的 面 积.1 9.（1 2 分）如 图，已 知 三 棱 锥 P A B C 的 三 个 顶 点,A B C 在 圆 O 上，A B 为 圆 O 的 直 径，P A C 是 边 长 为 2 的 正 三 角形，且 平 面 P B C 平 面 P A C.（1）证 明：平 面 P A C 平 面 A B C；（2）若2 3 B C，点 E 为 P B 的 中 点，点 F 为 圆 O 上 一 点，且 F 与 C 位 于 直 径 A B 的 两 侧，当 E F 平面 P A C 时，求 平 面 E F B 与 平 面 A B C 的 夹 角 的 余
12、弦 值.2 0.（1 2 分）甲 参 加 某 多 轮 趣 味 游 戏，在,A B 两 个 不 透 明 的 盒 内 摸 球.规 定 在 一 轮 游 戏 中 甲 先 在 A 盒 内 随 机 取 出 1 个 小 球 放入 B 盒，再 在 B 盒 内 陏 机 取 出 2 个 小 球.若 每 轮 游 戏 的 结 果 相 互 独 立，且 每 轮 游 戏 开 始 前，两 盒 内 小 球 的 数 量始 终 如 下 表（小 球 除 颜 色 外 大 小 质 地 完 全 相 同）：红 球 蓝 球 白 球A 盒 2 2 1B 盒 2 2 1（1）求 在 一 轮 游 戏 中 甲 从,A B 两 盒 内 取 出 的 小
13、球 均 为 白 球 的 概 率；（2）已 知 每 轮 游 戏 的 得 分 规 则 为：若 从 B 盒 内 取 出 的 小 球 均 为 红 球，则 甲 获 得 5 分；若 从 B 盒 内 取 出 的 小 球中 只 有 1 个 红 球，则 甲 获 得 3 分；若 从 B 盒 内 取 出 的 小 球 没 有 红 球，则 甲 获 得 1 分.（i）记 甲 在 一 轮 游 戏 中 的 得 分 为 X，求 X 的 分 布 列；（i i）假 设 甲 共 参 加 了 5 轮 游 戏，记 5 轮 游 戏 甲 的 总 得 分 为 Y，求 E Y.2 1.（1 2 分）已 知 2exf x a x a R.（1）当
14、 0 a 时，讨 论 f x 的 单 调 性；（2）若 关 于x的 不 等 式 2 l n 0 f x x x 恒 成 立，求 实 数a的 取 值 范 围.2 2.（1 2 分）已 知 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 离 心 率 为2，且 C 的 一 个 焦 点 到 其 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 1.（1）求 C 的 方 程；（2）设 点 A 为 C 的 左 顶 点，若 过 点 3,0 的 直 线 l 与 C 的 右 支 交 于,P Q 两 点，且 直 线,A P A Q 与 圆2 2 2:O x y a 分 别 交 于,M N 两 点，记 四 边 形
15、 P Q N M 的 面 积 为1S，A M N 的 面 积 为2S，求12SS的 取 值 范围.2 0 2 3 年 深 圳 市 高 二 年 级 下 学 期 期 末 调 研 考 试数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准2023.7本试 卷 22 小题，满 分 150 分.一 选择 题：本 题共 8 小题，每 小题 5 分，共 40 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只 有一 项是符合题 目要 求的.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 B C A C D B A D8.解：设 点 2,A a，过 点 A 的 直 线 l 与 曲 线3y x x 相 切 于 点 0 0,B
16、 x y，23 1,y x l 的 方 程 为 2 30 0 0 03 1 x x x y x x，2 30 0 0 03 1 2 x x a x x，化 简 得3 20 02 6 2 a x x，设 3 2 22 6 2,6 1 2 g x x x g x x x，g x 在 区 间,0,2,上 单 调 递 减，在 区 间 0,2 上 单 调 递 增，若 过 点 A 恰 有 三 条 不 同 的 直 线 与 曲 线3y x x 相 切，满 足 条 件 的0 x 恰 有 三 个，0 2 g a g，即 2 6 a，则 点 A 的 轨 迹 长 度 为 8.二 多选 题：本 题共 4 小题，每 小题
17、 5 分，共 20 分.在每 小题 给出的 选项 中，有 多项符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的得 0 分.题 号 9 1 0 1 1 1 2答 案 B C A C A C D A B D1 1.解：（1）考 查 选 项 A：由 抛 物 线 定 义 可 知，若 A M A F，则 A M l，故 选 项 A 正 确；（2）考 查 选 项 B：当 A M A F M F 时，A M F 为 正 三 角 形，直 线 A B 的 倾 斜 角 为3，设 直 线 A B 的 方 程 为 1 1 2 23,2py x A x y B x y，由23,22,py
18、 xy px 可 得2 21 22 30,3,3 3p py y p y p y，123A F yB F y，故 选 项 B 错 误；（3）考 查 选 项 C：过 点,A B 作 直 线 垂 直 于 l，垂 足 分 别 为,A B，由（2）可 知1 2,2 2p pA y B y，作 A B 的 中 点1,2N M A M B M N A B，由 定 义 可 知 1,2A B A F B F A A B B M N A A B B M 为 A B 的 中 点，,A M B 三 点 的 纵 坐 标 成 等 差 数 列，故 选 项 C 正 确；（4）考 查 选 项 D：设0,2pM y，直 线 M
19、 F 的 斜 率 为1k，直 线 A B 的 斜 率 为2k，则0 012 2y ykp pp，由（2）可 知1 2 1 22 2 21 2 1 2 1 222 2y y y y pky y x x y yp p，由（3）可 知01 2 0 2 1 21 2 0 022,1,y p p py y y k k k M F A By y y p y，又,M A M B A M B M M F A B，且2|M F A F B F，由 基 本 不 等 式 可 得 2 A M B M M F A B A F B F A F B F A F B F，故 选 项 D 正 确.1 2.解：（1）考 查 选
20、项 A：当 A B A D m 时，易 知 A B D 与 B C D 为 等 腰 三 角 形，作 B D 中 点 E，,A E B D C E B D A E E C E B D 平 面,A E C A C B D，故 选 项 A 正 确；（2）考 查 选 项 B：当 A B C D m 时，易 知 四 面 体 A B C D 的 所 有 对 棱 相 等，可 将 四 面 体 A B C D 补 为 长 方体，其 中 四 面 体 A B C D 的 各 条 棱 为 该 长 方 体 各 面 的 对 角 线，四 面 体 A B C D 的 外 接 球 即 为 该 长 方 体 的 外 接 球，设 该
21、 长 方 体 的 三 条 棱 的 长 度 分 别 为,x y z，则2 2 2 2 2 2 21,1,x y y z x z m，将 三 式 相 加 可 得2 2 2 22 2 2 2,x y z m 外 接 球 的 半 径 为22 44m，四 面 体 A B C D 的 外 接 球 的 表 面 积 为 222m，故 选 项 B 正 确；（3）考 查 选 项 C：此 时 有 两 种 情 况，当 A B A D m 时，作 B D 的 中 点21 3,14 2E A E m C E A C，则 在 A C E 中 由 三 角 形 性 质 可 得2 21 3 1 31,1,2 3 2 34 2 4
22、 2m m m；当 A B C D m 时，作 C D 的 中 点2,14mF A B m A F B F，则 在 A B F 中 由 三 角 形 性 质 可 知22 1,0 2,0 2 34mm m m，故 选 项 C 错 误；（4）考 查 选 项 D：当 A B A D m 时，若 四 面 体 A B C D 的 体 积 最 大 时，则 底 面 B C D 上 的 高 为 1，即 A C 平 面 B C D，此 时 四 面 体 A B C D 体 积 的 最 大 值 为31 2，当 A B C D m 时，由（3）可 知 此 时214mA F B F，则 A B F 的 面 积 为2112
23、 2mm，四 面 体 A B C D 的 体 积 为22116 2mm，4 22221 116 2 6 2m mmm，设 4 2 3 22,2 4 3 f x x x f x x x，由 单 调 性 可 知 当2 33x 时，f x 的 最 大 值 为32,27 四 面 体 A B C D 体 积 的 最 大 值 为2 327，又3 2 3,12 27 四 面 体 A B C D 体 积 的 最 大 值 为31 2，故 选 项 D 正 确.三 填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.1 5 1 4.3 1 1 5.30,4 1 6.2 2 2，6 4 2.1 6.
24、解：设 D 为 A B 中 点，则 1,C D 点 D 的 轨 迹 方 程 为2 2(1)(1)1 x y，2 O A O B O D，则 最 大 值 为1 22 2 2,l l，且1l 过 定 点 21,3,l 过 定 点 3,1，点 M 的 轨 迹 为2 2(2)(2)2 x y，2 2M A M B M D D A M D D B M D D A M D D A M D D A，2 2 2|3,(1 2)(1 2)1 2 2 2 1 M A M B M D M D，2 2|3(2 2 1)3 6 4 2,M A M B M D M A M B 的 最 小 值 为6 4 2.四 解答 题：
25、本 题共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文字 说明 证明 过程 或演算 步骤.1 7.解：（1）证 明：11nnnaaa，11 1 1 11nn n n naa a a a 11,a 数 列1na 是 以 1 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列，11 1nn na，则1nan.（2）11,1n n n nb a a bn n，1 11nbn n，1 1 1 1 1 11 1,2 2 3 1 1 1n nnT Tn n n n.1 8.解：（1）由 正 弦 定 理s i n s i n s i na b cA B C 及 条 件，得1s i n c os s i n s i
26、n2B A A C，又 s i n s i n s i n c o s s i n c o s C A B A B B A，1s i n c os s i n s i n s i n c os s i n c os2B A A C A B B A，1s i n s i n c os2A A B 1s i n 0,c os2A B，0,3B B.（2）记 A B C 的 面 积 为 S，由 余 弦 定 理2 2 22 c o s b a c a c B，及3B，可 得2 22 7 a c a c，将 2 c a 代 入 上 式，得29 a，故 3,6 a c，1 9 3s i n2 2S ac
27、B.1 9.证 明：（1）作 P C 的 中 点,D P A C 为 等 边 三 角 形，A D P C，平 面 P B C 平 面 P A C，平 面 P B C 平 面,P A C P C A D 平 面 P B C，B C 平 面,P B C B C A D，A B 为 圆 O 的 直 径，B C A C，又,A C A D A B C 平 面 P A C，B C 平 面,A B C 平 面 P A C 平 面 A B C.（2）（法 一）由 三 角 形 中 位 线 的 性 质 可 知 E O A P，又 E O 平 面,P A C A P 平 面,P A C E O 平 面 P A C
28、，E F 平 面,P A C E O E F E 平 面 E O F 平 面 P A C，平 面 E O F 平 面 A F B C F O，平 面 P A C 平 面,A F B C A C F O A C，由 题 可 知 2 3,4 B C A B，取 A C 中 点 M 连 接 P M，则,P M A C 平 面 P A C 平 面 A F B C A C，由（1）可 知 P M 平 面 A B C，如 图 1 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，1 30,0,3,1,0,0,1,2 3,0,3,2,3,02 2P A B E F，5 33,3,0,0,2 2B F E F，设 平 面
29、B E F 的 一 个 法 向 量,m x y z，则3 3 0,5 3 0,x yx z 令3 x，则 3,5,3,3,5 y z m，由（1）可 知 平 面 A B C 的 一 个 法 向 量 0,0,1 n，设 平 面 B E F 与 平 面 A B C 的 夹 角 为，则5 5 37c os37 37m nm n，平 面 B E F 与 平 面 A B C 的 夹 角 的 余 弦 值 为5 3 73 7.（法 二）由 2 3,4 B C A B，取 A C 中 点 M 连 接 P M，则 P M A C，平 面 P A C 平 面 A F B C A C，由（1）可 知 P M 平 面
30、 A B C，如 图 1 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，1 30,0,3,1,0,0,1,2 3,0,3,2,3,02 2P A B E F，令 1,0,3,02F x y E F x y，而 平 面 P A C 的 一 个 法 向 量 0,1,0，在 平 面 A B C 内，圆 O 的 方 程 为2 2(3)4 x y，且 E F 平 面 P A C，2 2(3)43 0 x yy 0,0 x y，则 2,3,0,2,3,0 x y z F，5 33,3,0,0,2 2B F E F，设 平 面 B E F 的 一 个 法 向 量,m x y z，则3 3 0,5 3 0,x yx z
31、 令3 x，则 3,5,3,3,5 y z m，由（1）知 平 面 A B C 的 一 个 法 向 量 0,0,1 n，设 平 面 B E F 与 平 面 A B C 的 夹 角 为，则5 5 37c os37 37m nm n，平 面 B E F 与 平 面 A B C 的 夹 角 的 余 弦 值 为5 3 73 7.（法 三）如 图 2，由 三 角 形 中 位 线 的 性 质 可 知 E O A P，又 E O 平 面,P A C A P 平 面 P A C，E O 平 面,P A C E F 平 面,P A C E O E F E，平 面 E O F 平 面 P A C，平 面 E O
32、F 平 面 A F B C F O，平 面 P A C 平 面,A F B C A C F O A C，由 题 可 知 2 3,4 B C A B，取 A C 中 点 M 连 接 P M，则,P M A C 平 面 P A C 平 面 A F B C A C，由（1）可 知 P M 平 面 A B C，连 接 B M，过 点 E 作 E H P M，H 为 B M 的 中 点，且 E H 平 面 A B C，B F 平 面,A B C E H B F，过 点 H 作 H N B F，垂 足 为 N，连 接,E N E H H N H，B F 平 面,E N H E N B F，则 E N H
33、为 平 面 E F B 与 平 面 A B C 的 夹 角，在 B H F 中，5 5,s i n2 6 6 4F H B F H H N F H，1 3,2 2E H P M 由 勾 股 定 理 可 得537 5 374,c os4 37 374E N E N H，平 面 B E F 与 平 面 A B C 的 夹 角 的 余 弦 值 为5 3 73 7.2 0.解：（1）记“在 一 轮 游 戏 中 甲 从,A B 两 盒 内 取 出 的 小 球 均 为 白 球”为 事 件 C，由 条 件 概 率 可 知 22261 15 C 7 5CP C，在 一 轮 游 戏 中 甲 从,A B 两 盒
34、内 取 出 的 小 球 均 为 白 球 的 概 率 为17 5.（2）（i）由 题 可 知 X 可 以 取 1,3,5，2 2 23 4 42 2 26 6 62 2 1 815 5 5 2 5C C CP XC C C，1 1 1 1 1 13 3 2 4 2 42 2 26 6 62 2 1 1 435 5 5 2 5C C C C C CP XC C C，2 2 23 2 22 2 26 6 62 2 1 355 5 5 2 5C C CP XC C C，随 机 变 量 X 的 分 布 列 为X 1 3 5P82 51 42 532 5（i i）由（i）可 知 3 14 8 135 3
35、125 25 25 5E X，每 轮 游 戏 的 结 果 相 互 独 立，且 甲 共 参 加 了 5 轮 游 戏，5 1 3 E Y E X.2 1.解：（1）2 2 2e e 2 2 1 ex x xf x a x a x，当 0 a 时，由 0 f x，解 得12x，由 0 f x，解 得12x，当 0 a 时，由 0 f x，解 得12x，由 0 f x，解 得12x，当 0 a 时，f x 的 单 调 增 区 间 为1,2，单 调 减 区 间 为1,2，当 0 a 时，f x 的 单 调 增 区 间 为1,2，单 调 减 区 间 为1,2.（2）由 2 l n 0 f x x x，得2
36、e 2 l n 0 xa x x x，（法 一）令 2e 2 l nxg x a x x x，则 221 2 e 111 2 e 2xxx axg x a xx x，当 0 a 时，21 e 2 0 g a 不 满 足 条 件，0 a 不 成 立，当 0 a 时，令 2 2e 1,1 2 e 0 x xk x a x k x a x，当0 x时，211,e 1 0ak x ka，010,xa，使 得 00 k x，即020e 1xax，当 00,x x 时，0 k x，当 0,x x 时，0 k x，g x 在 区 间 00,x 上 单 调 递 减，在 区 间 0,x 上 单 调 递 增，当0
37、 x x 时，g x 取 得 最 小 值 0g x，由020e 1xax，取 对 数 得0 0l n l n 2 0 a x x，则 020 0 0 0e 2 l n 1 l nxg x a x x x a，要 使 不 等 式 恒 成 立，需 1 l n 0 a，解 得1ea，实 数a的 取 值 范 围 是1ea.（法 二）0,x 由（1）解 得22 l nexx xax，令 22 l nexx xh xx，则 2 2 22 2 2212 e 2 l n e 2 e2 1 1 2 l neex x xxxx x x xx x xxh xxx，令 11 2 l n,2 0,x x x x xx
38、在 区 间 0,上 单 调 递 减，1l n 2 0,1 1 02，01,12x，使 得 00 x，即0 01 2 l n 0 x x，且 当 00,x x 时，0 x，当 0,x x 时，0 x，h x 在 区 间 00,x 上 单 调 递 增，在 区 间 0,x 上 单 调 递 减，当0 x x 时，h x 取 得 最 大 值 0h x，由0 01 2 l n 0 x x，得020e exx，则 00 00 202 l n 1e exx xh xx，实 数a的 取 值 范 围 是1ea.（方 法 三）先 证 明 不 等 式 e 1xx（等 号 在 0 x 时 取 得）成 立，设 e 1xu
39、 x x，则 e 1xu x，当 0 x 时，0,0 u x x 时，0 u x，0 0 u x u，即 不 等 式 e 1xx 成 立，则 2 2 l n 12 l n 2 l n 2 l n 1e e e e 2 l n ex x xx x x x x xx x x，根 据 法 二 的 证 明，（评 分 标 准 参 照 法 二）存 在 实 数0 x 使 得0 0l n 2 1 0 x x 成 立，则 上 式 等 号 能 够 取 得，22 l nexx xx的 最 大 值 为1e，因 此，实 数a的 取 值 范 围 是1ea.2 2.解：（1）考 虑 右 焦 点 到 一 条 渐 近 线 的
40、距 离，由 题 可 知 C 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 0 b x a y，右 焦 点 为,0 c，右 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离2 20 b c ada b，2 2 2,c a b d b，则 依 题 意 1 b，由 离 心 率 2cea，有2 22a ba，解 得 1 a，双 曲 线 C 的 方 程 为2 21 x y.（2）设 直 线 l 的 方 程：1 1 2 23,x t y P x y Q x y，由2 23,1,x t yx y 得 2 21 6 8 0 t y t y，要 使 直 线 l 与 双 曲 线 C 的 右 支 交 于 两 点，需 22 21 2 21
41、0,(6)32 1 0,80,1tt ty yt 解 得 1 1,t A 点 坐 标 为 1,0，1 2 1 21 2 1 21 1 4 4A P A Qy y y yk kx x t y t y 1 221 2 1 24 16y yt y y t y y，将1 2 1 2 2 26 8,1 1ty y y yt t 代 入，得222 2818 64 161 1A P A Qtk ktt tt t 2 2 28 18 24 16 16 2 t t t.设1 2:1,:1 A P x m y A Q x m y，且1 21,1 m m，1 21 1 12 m m，即1 22 m m，故1 22
42、m m，2 1121,1 2 m mm，由12 21,1x m yx y，得 2 21 11 2 0 m y m y，12121Pmym，同 理 可 得22221Qmym，由12 21,1,x m yx y 得 2 21 11 2 0 m y m y，12121Mmym，同 理 可 得22221Nmym，1|s i n|21|s i n2A P QA M NA P A Q P A QSA P A QS A M A NA M A N M A N 1 22 21 21 22 21 22 21 12 21 1QPM Nm myy m mm my ym m 2 22 2 2 21 21 2 1 22 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 111 1 1m mm m m mm m m m m m 2 21 22 21 255m mm m 令2 21 2n m m，由1 2 12,1 2 m m m，得 21 2144,5 n mm，5 1 01,4,55 5A P QA M NSnnS n n 令 101,4,55f n nn，f n 在 区 间 4,5 上 为 增 函 数，所 以 f n 的 取 值 范 围 为 9,，1 12 21,A P Q A M N A P QA M N A M NS S SS SS S S S 的 取 值 范 围 为 8,.