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1、2022届高三数学二轮复习大题训练(综 合 训 练(8)1 .如图，A A B C 中，角力，B,C的对边分别为a,b,c(1)求角3的大小；(2)已知人=3,若。为 A A B C 外接圆劣弧AC上一点，求 A D +OC的最大值.且 2a-c=2 Z?co s C .2.为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区1 0万人中随机抽取了 2 00人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按 0,2 0),2 0,40),40,60),60,80),80，1 00 分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示.同时发现这2 00人中有1 2 0人在体内产生了抗体
2、，其中该项指标值不小于60的有80人.(1)填写下面的2 x 2 列联表，判断是否有9 5%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于 60有关”.指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计(2)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4 人，求产生抗体的人数X的分布列及期望.附：K =-(一1-,其中 =a+6+c+d.(a +b)(c+d)(a+c)(b+d)p g.k )0.1 50.1 00.050.02 50.01 00.0050.0012.0722.7063.8415.02 46.63 57.8791 0.82 83 .
3、已知单调递增的等比数列 4 ,满 足/+%+4 =2 8,且 出+2 是。2，%的等差中项.(1)求数列 6 的通项公式；(2)若b“=-na”,5“=4+4+，对任意正整数”，总有S,+(+)40+1 2 .2022届高三数学二轮复习大题训练(综 合 训 练(8)1.如图，AABC中，角力，B,C 的对边分别为a,b,c,且 2 a-c =%cosC.(1)求角8 的大小；(2)已知6=3,若。为AABC外接圆劣弧AC上一点，求 AD+OC的最大值.【解答】(1)由 2 a-c =26cosC=2b巴士 ,整理得，a2+c2-b2=ac,2ab2 2 r 2 I由余弦定理得，cosB =a
4、+C-=-,2ac 2由5 为三角形内角得5=60。；(2)由圆内角四边形性质可得，N=120。，设 NAC)=a,则NC4。=(60。-a),在 A4DC中，由正弦定理得=3=2 6，sin Z D sin a sin(60-a)V32所以 AO=26sina,CD=2/3sin(60o-a),所以 A D +C D=2 G sin a+2/3 sin(60-a)=2/3(sin a+cos a)=2 G sin(a+60)，2 2当a =30。时，AQ+CD取 得 最 大 值.2.为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了 200人，
5、对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按0,20),20,40),40,60),60,80),80,100分组,得到该项指标值频率分布直方图如图所示.同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人.(1)填写下面的2 x 2 列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于 6 0 有关”.指标值小于6 0 指标值不小于6 0合计有抗体没有抗体合计(2)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数X的分布列及期望.附：K2=-be)-,其中=4+6 +。+.(a +b)(c
6、+d)(a+c)(b+d)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 12.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8【解答】(1)由该项指标值频率分布直方图,可得该项指标值不小于6 0 的人共有(0.0 2 5 +0.0 0 5)x2 0 x 2 0 0 =1 2 0,填写下面的2 x 2 列联表,200 x(40 x 4。-80X4 0),5563.84I,指标值小于6 0 指标值不小于6 0合计有抗体4 08 01 2 0没有抗体4 04 08 0合计8 01 2 02 0 0犬=8 0 x1
7、 2 0 x1 2 0 x8 0有9 5%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于6 0 有关”.(2)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，则概率2=超=3.2 0 0 5若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，产生抗体的人数X的可能取值为0,1,2,3,4,则 乂 3(4,|),P(X =A)=C：(|)&q)j,k=(),i,2,3,4,P(X =0)=仁 X (-)0 X (2)4 =也,同理可得：5 5 6 2 5Q A n 1 O 1 zs O 1p(x=l)=，P(X =2)=，P(X =3)=，P(X=4)=,6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5
8、X 的分布列,X01234P1 66 2 59 66 2 52 1 66 2 52 1 66 2 58 16 2 5Q 19则 X 的数学期望E(X)=4X；=.3.已知单调递增的等比数列 4,满 足/+%+4=2 8,且 出+2 是。2，%的等差中项.(1)求数列 6 的通项公式；(2)若b“=-”a,，S“=b|+4+，对任意正整数”，总有S,+(+，)0+2n+,=二22.2,用1-2=2+l-2-n.2,+,由 S“+(“+M)a,用 0 ,即 2,+l-2-n.2+n.2+m.2n+0 对任意正整数恒成立，m.2n+2-2+).对任意正整数，?，“1 ,.成,1 .X即加的取值范围是
9、(-8,-1 .4.如图，三棱柱A B C-A A G的底面是等边三角形，平面，平面A B C,B VA B,A C=2,ZAlA B =60 ,O 为 A C 的中点.(1)求证：A C _ L平面A B O；(2 )试问线段CG是否存在点P ,使得二面角P -0 3 -A的平面角的余弦值为2打，若存在，请计算乌的值；7 CC,若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：A A 3 C是等边三角形，O是AC的中点，A COB,平面 A B 4 A _ L 平面 A B C,平面 C 平面=A iB VA B,A B J _ 平面 A B C,A C u 平面 A B C,.A.B IA C,A
10、 C L OB,A 始。8 =B,.AC_L 平面 A8 O.(2)存在线段C G的中点P满足题意.理由如下：48,面ABC,OB L A C,以O为坐标原点，。4所在直线为x轴，0 8所在直线为y轴，网所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 0(0,0,0),8(0,石，0),C(-l ,0,0),A(1 ,0,0),A(。，G，26),设CP =r Cg =1 4 4,=(T ,底,27 3/),其中，喷出 1,则07=0。+。=(-1-/,6人2 4),平面 AOB 的一个法向量=(1,0,0),设平面尸0 8的法向量机=(x,y,z),n.tn-OB=y =0则！L L ，m O P=
11、(-1 -f)x +/3ty+2J3tz=0取 x =2后,则m=(2 疯，0,f +1),由题意得 I cos =川=-243tn-m J1 2-+(r +i y例1,r.解得/=LCG 2,线段C G上存在点。使得二面角P-。的 平 面 角 的 余 弦 值 为 咨 4 5.己知O为坐标原点，点 （3,0）,过动点卬作直线x =-的垂线，垂足为点尸，O W E F=0,4 4记W 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）若A，B、,4,纥均在c 上，直线A M，4纥 的交点为P（,，0）,求四边形 444小面积的最小值.【解答】1 1 3（1）设 W（x,y）,则）（-上,y）,所以
12、OW=（x,y）,E/=（一 上一=y）=（-l,y）,4 4 4所以OW EF =-x +y 2=o,所以W 的轨迹C 的方程为：y2=x .（2）由题知直线A 4，劣与斜率必存在，且不为0,设 A（X1,%）,4（%，必），人式鼻，为），B式 x,以），设 4 a,：y =（x-；），代入抛物线C 方程中得：k2（x-）2=x,整理得二 一（_ 1 二+1 +-1 妤=0,T=(g r+1)2 _%4=左2 +0,所以玉=/i W =2，L|=Jl +公?y(xt+x2)2-4X,X2?=J1 +r J:：l=k；I,因为44，4为，设L：y=q(x；)，代入抛物线C方程中得：3*-；)2
13、=犬,整理得：x2-(-+k2)x+=O92 1 6二 2=(+4 2)2 =左2 +左 4 0,所以电+2 =+k29X3X4=,+x4)2?4%3X4=k20.+k2)=l+k2,所以四边形A&q 生的面积为:S =：IABJ.|A/2l=；x*x(*2+D =乙 乙 K街+1)2 k2+1 =2,k2 i当 且 仅 当 =泰，即 二=1 时等号成立，此时四边形A&B 招2的面积最小，最小值为2,综上，四边形A 44鸟的面积最小值为2.6.已知函数/(x)=a/n x-x,g(x)=x2-ax,awR.(1)若/(x)存在唯一的零点，求。的取值范围；(2)若/(%)=g(x)有两个不同的解
14、%，求证：玉+尤22.【解答】(1)f(x)=a历x x的定义域为(0,+oo),fx)=-,X当 4,0 时，/(x)0,f(x)单调递减，当 x-O 时，/(X)f+00,f(1)=-l 0 时，fx)=-=-,X X当 x w(0,)时，fx)0,/(%)单调递增，当 x w(a,+oo)时，fx)0),2 x x当,0时，(尤)0恒成立，所以力(幻在(0,+a)上为增函数，不符合题意；当a 0时，由力(%)=0得x =。，当时，/(x)0,力(x)单调递增，当O v x v a时，”(x)v O,/z(x)单调递减,所以当x =a时，(x)取得极小值/(a)又因为力(幻 存在两个不同零点西，元2，所以/(a)0,即 a2+(-a)a-alna 1-a,2 2作y=hx关于直线x =a的对称曲线z(x)=(2a-%),令 c(x)=mx)-hx)=h(2a-x)-(x)=2a-2x-aln-,X G(O,2a),x”(x)=-2+=-2+-g-7.0,所以 e(x)在(0,2a)上单调递增，(2a-x)x-(x -a)+。不妨设X V a 9 (a)=0,即双毛)=/2(2。-/)(七)=人(不)，又因为2a-9 (。,口)，%(0,。)，且(x)在(0M)上为减函数，故2a-彳22，又一;Q,易知成立，故玉+/2.