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1、 二二,排排 列列 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列 两个排列相同两个排列相同，当且仅当这两个排列的，当且仅当这两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且元素的，而且元素的排列顺序也完全排列顺序也完全相同相同排列定义排列定义 如果两个排列所含的元素完全一样，但如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么这是摆的顺序不同，那么这是不同的排列不同的排列 A A A A A排列的第排列的第一个字母一个字母n n n n nm m m
2、m m元素总数元素总数下标下标取出元素数 从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m（mn）个元素的所有个元素的所有排列的个数叫做从排列的个数叫做从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个个元素的排列数，记作元素的排列数，记作排列数定义排列数定义注注意意:“一一个个排排列列”是是指指“从从n个个不不同同元元素素中中，任任取取m个个元元素素按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列”；“排排列列数数”是是指指“从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的所所有有排排列列的的个数个数”特点：特点：m个连续正整数的连乘积，个连续正整数的连乘积，最大因数为最大因数为n以下依次减以下依次减1，
3、最小因数是（，最小因数是（n-m+1）排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式：全全排列：从排列：从n个不同素中取出个不同素中取出n个元素的排列称个元素的排列称为为n个元素的全排列。个元素的全排列。阶阶乘：乘：123n称为称为n的阶乘，记做的阶乘，记做n！=n！排列数公式：排列数公式：排列数公式的阶乘形式排列数公式的阶乘形式=n！(nm)！n！(nm)！排列数公式两种不同形式的应用排列数公式两种不同形式的应用一般地：连乘形式用于一般地：连乘形式用于 值的计算；阶乘值的计算；阶乘形式用于有关形式用于有关 的式子化简。的式子化简。规定0！=1例例1：全国足球甲级联赛共有全国足球甲级联赛共有14队
4、参加，每队都要队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛与其余各队在主、客场分别比赛1场，问共进行多场，问共进行多少场比赛？少场比赛？解：解：对应于从对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的一个个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次是排列，因此总共进行的比赛场次是世界杯小组赛（每组世界杯小组赛（每组4个队）是单循环赛，个队）是单循环赛，各个小组赛的场次：各个小组赛的场次：N=6？例例2：（：（1）有）有5本不同的书，从中选本不同的书，从中选3本送给本送给3名名同学，每人各同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？（2）有）有5种不同的书，要买种不同的书，要买3
5、本送给本送给3名同学，每名同学，每人各人各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？解：解：从从5本不同的书中选出本不同的书中选出3本分别送给本分别送给3名同学，名同学，对应于从对应于从5个元素中任取个元素中任取3个元素的一个排列，因此不个元素的一个排列，因此不同送法的种数是同送法的种数是=543=60由于有由于有5种不同的书，送给每个同学的种不同的书，送给每个同学的1本书本书都有都有5种不同的选购法（书店里有足够的书），种不同的选购法（书店里有足够的书），因此送给因此送给3名同学每人名同学每人1本书的不同方法数是本书的不同方法数是 N=555=125例例3：某信号兵用红、黄、蓝某
6、信号兵用红、黄、蓝3面旗帜在竖直的面旗帜在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、面、2面或面或3面，面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？示多少种不同的信号？解：解：分为三类：第一类挂一面旗：有分为三类：第一类挂一面旗：有 种信号，种信号，第二类挂二面旗：有第二类挂二面旗：有 种信号种信号第三类挂三面旗：有第三类挂三面旗：有 种信号种信号 由加法原理：由加法原理：+=3+32+321 =15答：答：一共可以表示一共可以表示15种不同的信号种不同的信号例例4：10个人坐个人坐6把椅子，若每把椅子把椅子
7、，若每把椅子必须且只能坐必须且只能坐1人，问有多少种不同的坐法？人，问有多少种不同的坐法？分析：分析：可把可把10个人抽象地看做元素，个人抽象地看做元素，6把椅子看做把椅子看做6个位置，问题转化为个位置，问题转化为10个元素中任取个元素中任取6个元素的个元素的排列问题。排列问题。解：解：答：有答：有151200种不同的坐法。种不同的坐法。分析：分析：条件限制：百位上不能排条件限制：百位上不能排0，十位个位无限制。，十位个位无限制。第二步从余下的九个数（包括数字第二步从余下的九个数（包括数字0）中任选）中任选2个占据十位、个位，有个占据十位、个位，有 种方法。种方法。解法解法1：分两步完成。分两
8、步完成。第一步从第一步从1到到9这九个数中任选一个占据百位，这九个数中任选一个占据百位，有有 种方法。种方法。由乘法原理：由乘法原理：=998=648例例5：用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？解法解法2：符合条件的三位数可以分三类：符合条件的三位数可以分三类：根据分类计数原理得：根据分类计数原理得：+=648第一类每一位数字都不是第一类每一位数字都不是0的三位数有的三位数有 个个第二类个位数字是第二类个位数字是0的三位数有的三位数有 个个第三类十位数字是第三类十位数字是0的三位数有的三位数有 个个例例5：用用0到到9这这
9、10个数字中，可以组成多少个没个数字中，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？分析：分析：着眼于特殊元素着眼于特殊元素分析分析：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的 排列数排列数.解法解法3：从：从0到到9十个数字中任取十个数字中任取3个数字的排列总数为个数字的排列总数为 ，其中，其中0在百位的有在百位的有 个，即所求的三位个，即所求的三位数的个数是数的个数是 =109898=648答：可以组成答：可以组成648个没有重复数字的三位数。个没有重复数字的三位数。例例5：用用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没有个数字，可以组成多少个
10、没有重复数字的三位数？重复数字的三位数？例例6：5个人站成一排：个人站成一排：（l）共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？（3）其中甲乙两人必须相邻有多少种不同的排法？）其中甲乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其中甲乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？）其中甲乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？解解：（1）由于没有条件限制，）由于没有条件限制，5个人可作全排列，个人可作全排列，共有共有 种排法种排法（2）由于甲的位置已确定，其余）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，人可任意排列，有有 种排法种排
11、法例例6：5个人站成一排：个人站成一排：（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其其中中甲甲、乙乙两两人人不不站站排排头头和和排排尾尾有有多多少少种种不不同同的的排法？排法？解：解：（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙绑）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙绑在一起，与其余在一起，与其余3 3人共有人共有 ，而甲、乙又有而甲、乙又有 种排法，种排法，根据乘法原理共有根据乘法原理共有 种排法。种排法。（4）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余可从其余3人中选人中选2人来站有人来站有 种排法，种排法，剩下的人有剩下的人有 种排法，种排法，共有共有 种排法种排法