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1、1.2.1 1.2.1 排列排列第一课时第一课时上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？探究探究根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法种方法. .分析：分析：把题目转化为从把题目转化为从甲、乙、丙甲、乙、丙3 3名同学中名同学中选选2 2名
2、，按照参加上午名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的求一共有多少种不同的排法？排法？ 把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3个个不同不同的元素的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的的顺序排成一列顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列所有不同的排列ab, ac, ba, bc, ca, cb问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个
3、排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222 叙述为叙述为: 从从4个个不同不同的元素的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按个，然后按 照一定的照一定的顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位
4、数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动名参加某天的一项活动,其其中中1名参加上午的活动名参加上午的活动,1名参名参加下午的活动加下午的活动,有哪些不同的有哪些不同的排法排法? 实质：实质：从从3个个不同不同的元素中的元素中, ,任取任取2 2个个, ,按一定的按一定的顺序顺序排成排成一列一列, ,有哪些不同的排法？有哪些不同的排法？ 问题问题2 从从1
5、，2，3，4这这4个数个数中，每次取出中，每次取出3个排成一个排成一个三位数，共可得到多少个三位数，共可得到多少个不同的三位数？个不同的三位数？实质：实质：从从4个个不同不同的元素中的元素中, 任取任取3个个,按照一定的按照一定的顺序顺序排成一列排成一列,写出所有不同的写出所有不同的排法排法.定义：定义：一般地一般地,从从n个不同的元素中个不同的元素中,取出取出m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列. 基本概念基本概念1、排列：、排列：说明：说明：（1 1）、元素不能重复。元
6、素不能重复。（2 2）、）、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。断一个问题是否是排列问题的关键。（3 3）、）、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元元素完全相同素完全相同，而且元素的，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同。（4 4）、）、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n时的排列叫时的排列叫全排全排列列。（5 5）、）、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。（有序性）（有序性）（互
7、异性）（互异性） 一般地一般地,从从n个不同的元素中个不同的元素中,取出取出m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列. 练习练习1 下列问题是排列问题吗？下列问题是排列问题吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，四个数字中，任选两个做加法，其其不同不同结果有多少种？结果有多少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，四个数字中，任选两个做除法，其其不同不同结果有多少种？结果有多少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，十个自
8、然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？可得多少个不同的点的坐标？（4）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？个学生排队照相，则不同的站法有多少种？不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列是排列是排列判断下列问题是否是排列问题：判断下列问题是否是排列问题：(1)(1)某班共有某班共有5050名同学，现要投票选举正、副班长各一名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？人，共有多少种可能的选举结果？(2)(2)从从2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？有多少不同对数值？【变式
9、练习变式练习】(3)(3)从集合从集合M M1,21,2，99中，任取相异的两个中，任取相异的两个元素作为元素作为a a，b b，可以得到多少个焦点在，可以得到多少个焦点在x轴上的椭轴上的椭圆方程圆方程 ? ?22221xyab是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的的所有排列的个数个数，叫做从，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的个元素的排列数排列数。用符号。用符号 表示。表示。mnA思考：思考：“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和
10、联系？系？排列数，而不表示具体的排列。排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；mn“排列数排列数”是指从是指从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的mnA所以符号所以符号只表示只表示nm“一个排列一个排列”是指：从是指：从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素233 26A 问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得23A344 3 224A 问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不
11、同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出34A探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种(1)(2)(1)mnAn nnnm这里，m,n正整数，并且mn这个公式叫做排列数公式(1)(1)第一排列数公式第一排列数公式)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn当当m mn n时，时，123) 2)(1(nnnAnn正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫
12、做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。! n即：即：! nAnn(2)(2)第二排列数公式第二排列数公式)!(!mnnAmn说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用的第一个常用来计算，第二个常用来证明。来证明。规定：规定：1! 0 2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。的隐含条件。nm mn=n(n-1)(n-2)(n)A-m+1n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21=(n-m)21mnn!A =(n-m)!例例1. 求证求证:mnn!A =(n-m)!证明证明:!(-)!mnnAnm n 2
13、 3 4 5 6 7 8 n!262412072050404032031 6A66A46A例例1. 计算计算（1 ） （2） （3 ）3161615143360A666 !720A466543360A解：解： （1） （2） （3） 有关排列数的计算与证明有关排列数的计算与证明例例2证明：证明：-mmmnnnAAm A 11证明：右边证明：右边!()!()!nnmn mn m 1! ()!()!nn mn mn m 11() !()!nnnm 11()!()!nnm 11mnA 1左左!(-)!mnnAn m 课堂练习课堂练习1181798,_,_mnAnm 、 如如 果果则则25556686
14、9,()()()()nNnnnn 、若若则则用用排排列列数数符符号号表表示示为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _332310,_nnAAn 、 如如 果果则则755489,_nnnAAnA 、 如如 果果则则由由n=18，n-m+1=8，得，得m=111569 nA).1(8)2)(1(10)22)(12(2nnnnnnnn舍即).4(15,8929112nnnn舍解得化简得小结：小结：【排列】从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同) 2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数121mnAn nnnm ()().()mnn!A=(n-m)!