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1、 2.3 幂函数 A级 基础巩固 一、选择题 1下列函数中不是幂函数的是()A y x B y x3 C y 22x D y x 1 解析：显然 C 中 y 22x 4x，不是 y x的形式，所以不是幂函数，而 A，B，D中的 分别为12，3，1，符合幂函数的结构特征 答案：C 2下列函数中既是偶函数又在(，0)上是增函数的是()A y x43 B y x32 C y x 2 D y x14 解析：对于幂函数 y x，如果它是偶函数，当 0 时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则 C 选项正确 答案：C 3幂函数 y x2，y x 1，y x13，y x12在第一象限内的图象依次是图
2、中的曲线()A C2，C1，C3，C4 B C4，C1，C3，C2 C C3，C2，C1，C4 D C1，C4，C2，C3 解析：由于在第一象限内直线 x 1 的右侧时，幂函数 y x的图象从上到下相应的指数 由大变小，故幂函数 y x2在第一象限内的图象为 C1，同理，y x 1在第一象限的图象为 C4，y x13在第一象限内的图象为 C2，y x12在第一象限内的图象为 C3.答案：D 4已知幂函数 y f(x)的图象过(4，2)点，则 f 12()A.2 B.12 C.14 D.22 解析：设幂函数 f(x)x，由图象经过点(4，2)，可得 4 2，即 22 2，所以 2 1，12，即
3、f(x)x12.故 f 12121222.答案：D 5设 a2525，b2535，c3525，则 a，b，c 的大小关系是()A abc B bac C cab D bcb25350.由于函数 y x25在它的定义域 R上是增函数，且3525，故有 c3525a2525，故 a，b，c 的大小关系是 bac.答案：B 二、填空题 6给出下面四个条件：f(m n)f(m)f(n)；f(m n)f(m)f(n)；f(mn)f(m)f(n)；f(mn)f(m)f(n)如果 m，n 是幂函数 y f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数 y f(x)一定满足的条件的序号为 _ 解析：设 f(x)x，则
4、 f(m n)(m n)，f(m)f(n)m n，f(m)f(n)mn(mn)，f(mn)(mn)，所以 f(mn)f(m)f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填.答案：7幂函数 f(x)x3m 5(m N)在(0，)上是减函数，且 f(x)f(x)，则 m 等于_ 解析：因为幂函数 f(x)x3m 5(m N)在(0，)上是减函数，所以 3m 50，即 m 53，又 m N，限为减函数在第二象限为增函数则选项正确答案幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线解析由于在第一象限内 为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为答案已知幂函数的图象过点则解析设幂函数由图象经过点可得即所以 故的大小
5、关系是答案二填空题给出下面四个条件如果是幂函数定义域内的任意两个值那么幂函数一定满足的条件的序 所以 m 0 或 m 1，因为 f(x)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，当 m 0 时，f(x)x 5，是奇函数；当 m 1 时，f(x)x 2，是偶函数 所以 m 1.答案：1 8若 f(x)x是幂函数，且满足f（4）f（2）3，则 f12 _ 解析：因为f（4）f（2）3，所以42 3，即 2 3，所以 f1212 2 3 113.答案：13 三、解答题 9已知函数 f(x)(m2 m 1)x 5m 3，m为何值时：(1)f(x)是幂函数？(2)f(x)是正比例函数？(3)f(x)是反比例
6、函数？(4)f(x)是二次函数？解：(1)因为 f(x)是幂函数，故 m2 m 1 1，即 m2 m 2 0，解得 m 2 或 m 1.(2)若 f(x)是正比例函数，则 5m 3 1，解得 m 45.此时 m2 m 1 0，故 m 45.(3)若 f(x)是反比例函数，则 5m 3 1，则 m 25，此时 m2 m 1 0，故 m 25.(4)若 f(x)是二次函数，则 5m 3 2，即 m 1，此时 m2 m 1 0，故 m 1.限为减函数在第二象限为增函数则选项正确答案幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线解析由于在第一象限内 为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为答案已知幂函数的
7、图象过点则解析设幂函数由图象经过点可得即所以 故的大小关系是答案二填空题给出下面四个条件如果是幂函数定义域内的任意两个值那么幂函数一定满足的条件的序 10已知幂函数 f(x)的图象过点(25，5)(1)求 f(x)的解析式；(2)若函数 g(x)f(2 lg x)，求 g(x)的定义域、值域 解：(1)设 f(x)x，则由题意可知 25 5，所以 12，所以 f(x)x12.(2)因为 g(x)f(2 lg x)2 lg x，所以要使 g(x)有意义，只需 2 lg x 0，即 lg x 2，解得 0 x 100.所以 g(x)的定义域为(0，100，又 2 lg x 0，所以 g(x)的值域
8、为 0，)B 级 能力提升 1 对于幂函数 f(x)x45，若 0 x1f（x1）f（x2）2 B f x1 x22f（x1）f（x2）2 C f x1 x22f（x1）f（x2）2 D 无法确定 解析：幂函数 f(x)x45在(0，)上是增函数，大致图象如图所示 设 A(x1，0)，C(x2，0)，其中 0 x112(|AB|CD|)，所以 f x1 x22f（x1）f（x2）2.答案：A 限为减函数在第二象限为增函数则选项正确答案幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线解析由于在第一象限内 为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为答案已知幂函数的图象过点则解析设幂函数由图象经过点可得即所
9、以 故的大小关系是答案二填空题给出下面四个条件如果是幂函数定义域内的任意两个值那么幂函数一定满足的条件的序 2已知函数 f(x)ax，x 03a x12，x0(a0，且 a 1)是 R上的减函数，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：当 x 0 时，由 f(x)ax为减函数，知 0a0 时，由 f(x)3a x12为减函数，知 a R，且要满足 a0 3a，解得 a13.综上，可知实数 a 的取值范围为0，13.答案：0，13 3已知幂函数 f(x)x1m2 m(m N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定 m的值，并求满足条件
10、 f(2 a)f(a 1)的实数a 的取值范围 解：(1)因为 m2 m m(m 1)，m N*，所以 m与 m 1 必定有一个为偶数，所以 m2 m为偶数，所以函数 f(x)x1m2 m(m N*)的定义域为 0，)，并且该函数在其定义域上为增函数(2)因为函数 f(x)经过点(2，2)，所以 2 21m2 m，即 212 21m3 m，所以 m2 m 2，即 m2 m 2 0.所以 m 1 或 m 2.又因为 m N*，所以 m 1.因为 f(x)在 0，)上是增函数，所以由 f(2 a)f(a 1)得2 a 0，a 1 0，2 aa 1，解得 1 a f(a 1)的实数 a 的取值范围为
11、1，32.限为减函数在第二象限为增函数则选项正确答案幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线解析由于在第一象限内 为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为答案已知幂函数的图象过点则解析设幂函数由图象经过点可得即所以 故的大小关系是答案二填空题给出下面四个条件如果是幂函数定义域内的任意两个值那么幂函数一定满足的条件的序 限为减函数在第二象限为增函数则选项正确答案幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线解析由于在第一象限内 为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为答案已知幂函数的图象过点则解析设幂函数由图象经过点可得即所以 故的大小关系是答案二填空题给出下面四个条件如果是幂函数定义域内的任意两个值那么幂函数一定满足的条件的序