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1、 2.3 幂函数 A级 基础巩固 一、选择题 1下列 6 个函数：y x53，y x34，y x13，y x23，y x 2，y x2中，定义域为 R的函数有(B)A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 解析 函数 y x53，y x23，y x2的定义域为 R，函数 y x34 的定义域为 0，)，函数 y x13 及 y x 2的定义域均为(，0)(0，)，所以定义域为 R 的函数有 3个，应选择 B 2下列幂函数在(，0)上为减函数的是(B)A y x13 B y x2 C y x3 D y x12 解析 函数 y x13，y x3，在(，0)上均是增函数，y x12 在(，0)
2、上无意义，y x2在(，0)上是减函数 3幂函数 y xm与 y xn在第一象限内的图象如图所示，则(B)A 1m 0,0 m 1 B n 1,0 m 1 C 1n1 D n1 解析 当 x1 时，y xn的图象在 y x 1的图象下方，n 1；又 0m 1，故选 B 4设 a 0.60.6，b 0.61.5，c 1.50.6，则 a、b、c 的大小关系是(C)A abc B acb C bac D bc0.61.5，又 y x0.6在(0，)是增函数，1.50.60.60.6，cab，故选 C 5(2019天津和平区高一期中测试)已知幂函数 f(x)x的图象过点(2,4)，那么函数 f(x)
3、的单调递增区间是(B)A(，)B 0，)C(，0 D(，0)(0，)解析 由题意得 4(2)，2.f(x)x2.f(x)的单调递增区间为 0，)6函数 y 3x 2 的图象过定点(A)A(1,1)B(1,1)C(1，1)D(1，1)解析 y x的图象过定点(1,1)，函数 y 3x 2 的图象过定点(1,1)二、填空题 7(2019济南济钢中学高一期中测试)幂函数 f(x)的图象过点(3，427)，则 f(x)_x34 _.解析 设 f(x)x，由题意得427 3，334 3，34，f(x)x34.8(2019贵州遵义市高一期末测试)已知函数 f(x)(m2 3m 1)xm2 m 1是幂函数，
4、且其图象过原点，则 m _ 3_.解析 由题意得 m2 3m 1 1，m2 3m 0，m 0 或 m 3.当 m 0 时，f(x)x 11x，其图象不过原点，m 3.三、解答题 9已知函数 f(x)xm2x且 f(4)72.(1)求 m的值；(2)判断 f(x)的奇偶性；(3)判断 f(x)在(0，)上的单调性，并给予证明 上是减函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则解析当时的图象在的图象下方又故选设则的大小关系是解析是减 的单调递增区间为函数的图象过定点解析的图象过定点函数的图象过定点二填空题济南济钢中学高一期中测试幂函数 其图象不过原点三解答题已知函数且求的值判断的奇偶性判断在上的单调性
5、并给予证明解析因为所以所以由知因为的 解析(1)因为 f(4)72，所以 4m2472，所以 m 1.(2)由(1)知 f(x)x2x，因为 f(x)的定义域为 x|x0，关于原点对称 又 f(x)x2 x(x2x)f(x)所以 f(x)是奇函数(3)f(x)在(0，)上单调递增，证明：设 x1 x2 0，则 f(x1)f(x2)x12x1(x22x2)(x1 x2)(1 2x1x2)，因为 x1 x2 0，所以 x1 x2 0,1 2x1x2 0，所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，)上为单调递增函数 B 级 素养提升 一、选择题 1 a 1.212，b 0.912，c 1.1
6、12 的大小关系是(D)A cab B acb C bac D cb(10.9)12 1.112，即 abc.2幂函数 f(x)x3m 5(m N)在(0，)上是减函数，且 f(x)f(x)，则 m可能等于(B)A 0 B 1 C 2 D 0 或 1 解析 因为 f(x)x3m 5(m N)在(0，)上是减函数，所以 3m 5 0，故 m 53.又因为 m N，所以 m 0 或 m 1.当 m 0 时，f(x)x 5，f(x)f(x)，不符合题意；当 m 1 时，f(x)x 2，f(x)f(x)，符合题意 综上知，m 1.上是减函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则解析当时的图象在的图象下方
7、又故选设则的大小关系是解析是减 的单调递增区间为函数的图象过定点解析的图象过定点函数的图象过定点二填空题济南济钢中学高一期中测试幂函数 其图象不过原点三解答题已知函数且求的值判断的奇偶性判断在上的单调性并给予证明解析因为所以所以由知因为的 3(2019云南泸西县一中高一期中测试)已知函数 f(x)(m2 m 1)xm2 2m 1 是幂函数，且在(0，)上是减函数，则 m(D)A 1 B 0 C 1 D 2 解析 由题意得 m2 m 1 1，m2 m 2 0，m 1 或 m 2.当 m 1 时，f(x)x2在(0，)上是增函数，m 1；当 m 2 时，f(x)x 11x在(0，)上是减函数，m
8、2.4当 x(1，)时，幂函数 y x的图象在直线 y x 的下方，则 的取值范围是(C)A(0,1)B(，0)C(，0)(0,1)D(，0)(1，)解析 幂函数 y x12，y x 1在(1，)上时图象在直线 y x 的下面，即 0或 0 1，故选 C 二、填空题 5已知幂函数 f(x)x14，若 f(a 1)f(10 2a)，则 a 的取值范围是 _(3,5)_.解析 f(x)x14 14x(x 0)，易知 f(x)在(0，)上为减函数，又 f(a 1)f(10 2a)，10 2a 0a 1 10 2a，解得 a 5a 3.3 a 5.6为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、
9、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)现在加密密钥为 y x(为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是 _9_.解析 由题意可知函数 y x中，当 x 4 时，y 2，2 4，12.y x12.当 y 3 时，x12 3，x 9.三、解答题 7 已知幂函数 f(x)x m2 2m 3(m Z)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数，求函数 f(x)的解析式 上是减函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则解析当时的图象在的图象下方又故选设则的大小关系是解析是减 的单调递增区间为函数的图象过定点解析的图象过定点函数的图象过
10、定点二填空题济南济钢中学高一期中测试幂函数 其图象不过原点三解答题已知函数且求的值判断的奇偶性判断在上的单调性并给予证明解析因为所以所以由知因为的 解析 f(x)在区间(0，)上是单调增函数，m2 2m 30，即 m2 2m 30，解得 1m 3.又 m Z，m 0,1,2，而 m 0,2 时，f(x)x3不是偶函数，m 1 时，f(x)x4是偶函数 f(x)x4.8定义函数 f(x)maxx2，x 2，x(，0)(0，)，求 f(x)的最小值 解析 在同一坐标系中作出函数 y x2与 y x 2的图象如图 则 f(x)x2x 1x 2 1x0 x 201.f(x)在 x 1 与 x 1 处均
11、取得最小值 1，即 f(x)min 1.9已知幂函数 y f(x)的图象过点(2，22)(1)求 f(x)的解析式；(2)判断 f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由 解析(1)设幂函数 y f(x)x，幂函数 y f(x)的图象过点(2，22)，222，12，f(x)x12.(2)由(1)知函数的定义域为(0，)，定义域不关于原点对称，函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 任取两个实数 x1，x2,0 x1x2，则 f(x1)f(x2)1x11x2x2 x1x1x2 x2 x1x1x2x2 x1.又 0 x10，x2 x10，x1 x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，函数
12、f(x)在定义域上是单调递减函数 上是减函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则解析当时的图象在的图象下方又故选设则的大小关系是解析是减 的单调递增区间为函数的图象过定点解析的图象过定点函数的图象过定点二填空题济南济钢中学高一期中测试幂函数 其图象不过原点三解答题已知函数且求的值判断的奇偶性判断在上的单调性并给予证明解析因为所以所以由知因为的 上是减函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则解析当时的图象在的图象下方又故选设则的大小关系是解析是减 的单调递增区间为函数的图象过定点解析的图象过定点函数的图象过定点二填空题济南济钢中学高一期中测试幂函数 其图象不过原点三解答题已知函数且求的值判断的奇偶性判断在上的单调性并给予证明解析因为所以所以由知因为的