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1、2023 年 5 月绵阳南山中学 2023 年高考热身考试数学试题(文科)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第卷（非选择题）组成，共 6 页；答题卷共 6 页，满分 150 分。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应位置上。2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。第第卷卷（选择题，共（选择题，共 60 分）分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合02lg08
2、22xxBxxxA，则BA（）A42，B41，C41，D41，2复数z在复平面内对应的点为2,1，则2i1z（）A1iB1iC1i D1 i 3已知命题:0px，使得1 e1xx，则p为（）A00 x，使得001 e1xx B00 x，使得001 e1xx C00 x，使得001 e1xx D00 x，使得001 e1xx 4大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100 个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A可以估计，该地区年夜饭消费金额在24000320（，家
3、庭数量超过总数的三分之一B若该地区有 2000 个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过 2400 元的有 940 个C可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足 2100 元D可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过 2200 元5 如图所示，点E是ABC边AC的中点，F为线段BE上靠近点 B 的三等分点，则AF （）A1233BABC B4233BABC C5166BABC D2133BABC 6某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A913B883C403D837函数 2ces1oexxf xx的部分图象大致为（）ABCD8将函数 2sin6f xx（
4、0）的图像向左平移3个单位，得到函数 yg x的图像，若函数(yg x）的一个极值点是6，且在,3 6上单调递增，则的值为（）A32B34C38D3169已知0.1e1a，0.1b，ln1.1c，则（）AcabBbcaCcbaDabc10 数列na中，1log(2)(N)nnann，定义：使12ka aa为整数的数k(N)k叫做期盼数，则区间1,2023内的所有期盼数的和等于（）A2023B2024C2025D202611双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,0,0FcFc，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且1224F PFSa
5、，则曲线C的离心率为（）A5B512C5 1D212函数 fx的定义域为R，满足 21f xf x，且当0,1x时，1fxxx.若对任意,xm，都有 1625f x，则m的最大值是（）A115B145C3215D4115第第卷卷（非选择题，共（非选择题，共 90 分）分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13 写出一个具有下列性质的数列 na的通项公式na _ 122nnnaaa；数列 na的前 n 项和nS存在最小值14已知曲线 21f xmxmx在点 1,1f处的切线被圆224460 xxyy所截弦长最短，则m _15一封闭圆台上、下底面半径分别为 1,4，母线
6、长为 6.该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为_16已知抛物线 C：)0(22ppxy，O为坐标原点，过抛物线的焦点 F 的直线与抛物线交于BA,两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点 C，AOF与ACB的面积之比为 4：9，则p的值为_三、解答题：（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答）17（本小题满分 12 分）ABC的内角CBA,的对边分别为31sin,Bcba，且_在，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
7、（1）求ABC的面积；（2）（2）若32sinsinCA，求b18（本小题满分 12 分）2021 年 6 月 17 日 9 时 22 分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波 3 名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站 某公司负责生产的 A 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛该公司为了将 A 型材料更好地投入商用，拟对 A 型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入 x(亿元)与产品的直接收益 y(亿元)的数据统计如下：序号123456789101112
8、x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当017x时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型：4.110 9.yx，模型：21.314.4yx；当17x 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为0.7yxa（1）根据下列表格中的数据，比较当017x时模型，的相关指数2R的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对 A 型材料进行应用改造的投入为 17 亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程4.110 9.yx21.314.4yx721iiiyy79.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20 亿元时，国家给
9、予公司补贴5 亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20 亿元时公司收益(直接收益国家补贴)的大小附：刻画回归效果的相关指数221211niiiniiyyRyy，且当2R越大时，回归方程的拟合效果越好用最小二乘法求线性回归方程ybxa的截距：aybx174.119（本小题满分 12 分）如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为2,E F分别为1,AD CC的中点.（1）已知点G满足14DDDG，求证,B E G F四点共面；（2）求点1C到平面BEF的距离20（本小题满分 12 分）已知函数 lnf xaxx，Ra（1）若1ea，求
10、函数 fx的最小值及取得最小值时的x值；（2）若函数 e1 lnxf xxax对0,x恒成立，求实数 a 的取值范围21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右顶点分别为1M、2M，短轴长为2 3，点C上的点P满足直线1PM、2PM的斜率之积为34（1）求C的方程；（2）若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线1M A、2M B交于点Q探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由选考题：（共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐
11、标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线 M 的方程为24yxx，曲线 N 的方程为9xy，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线 M，N 的极坐标方程；（2）若射线00:(0,0)2l与曲线 M 交于点 A（异于极点），与曲线 N 交于点 B，且|12OAOB，求023（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知定义在 R 上的函数21)(xxxf的最大值为p（1）求p的值；（2）设,a b cR，pcba3432222，求证：9432cba绵阳南山中学绵阳南山中学 20232023 年高考热身考试文科数学答案年高考热身考试文科数学答案一、选择题：1-
12、4 DCBC5-8CBCA9-12CDAA1【详解】解集合420822xxxxxA解集合 102lgxxxxB,41，BA故选：D2【详解】复数z在复平面内对应的点为2,1，则2 iz 2i 1 i2i 1 i2i2i2ii 1 i1 i12i11 i1 i 1 i2z 故选：C3【详解】根据命题的否定的定义，因为命题:0px，使得1 e1xx，所以p为00 x，使得001 e1xx，故选：B4【解析】由题意得，年夜饭消费金额在(2400,3200的频率为350.35100，故 A 正确；若该地区有 2000 个家庭，可以估计年夜饭超过 2400 元的家庭个数为472000940100，故 B
13、 正确；平均数为400 0.08 1200 0.22000 0.252800 0.353600 0.084400 0.042216（元），故 C 错误；中位数为221600800230425（元），故 D 正确故选：C5【详解】解：112()22323AFAEEFACEBACABAE 1211223336ACABACACBA 1251()6366BCBABABABC 故选：C6【详解】原几何体的实物图如下图所示，几何体是长方体去掉一个小三棱锥，由三视图的数据可知该几何体的体积为1188424422323V .故选：B7【详解】因为 coseexxf xx，coseecoseexxxxfxxx，
14、所以 fxfx，故函数 fx的为奇函数，排除 BD；又0,cos0,ee0,2xxxx所以 0f x，A 错误故选：C8【详解】由题意得：2sin2sin3636g xxx，又函数(yg x）的一个极值点是6，即6x 是函数 g x一条对称轴，所以6362k，则223k（k Z），函数 g x在,3 6上单调递增，则函数 g x的周期2263T，解得02，则0k，23，故选：A9【详解】设 e1xf xx，求导 e1xfx，所以当0 x 时，0fx，f x单调递增，故 0.10ff，即0.1e10.10，所以ab；设 ln1g xxx，求导 1111xgxxx，所以当0 x 时，0gx，g x
15、单调递增，0.10.1 ln1.100gg，所以bc，故abc故选：C10【详解】解：+1lg2log(2)lg1nnnann，*()Nn，1232lg2lg3 lg4 lg5log(2)lg2 lg3 lg4lg1kkaaaakk，又123kaaaa为整数，2k 必须是 2 的n次幂*()Nn，即22nk 1,2023k 内所有的“幸运数”的和：123410(22)(22)(22)(22)(22)S 102(1 2)2020261 2，故选：D11【详解】设切点为A，1AFO，连接OA，则1sinAOaOFc，2cos1 sinbc，过点P作PEx轴于点 E，则12212142F PFSFF
16、PEc PEa，故24aPEc，因为1sinPEaPFc，解得14PFa，由双曲线定义得122PFPFa，所以22PFa，在12PFF中，由余弦定理得22222211221121644cos22 42PFFFPFacabPFFFacc，化简得2234acab，又222cab，所以22440abab，方程两边同时除以2a得2440bbaa，解得2ba，所以离心率2215bea故选：A12【详解】因()2(1)f xf x，又当0,1x时，2111()()0,244f xx，当(,1xk k，Nk，时，(0,1xk，则2()2(1)222kf xf xf xf xk，22212()2()(1)20
17、,224kkkkkf xxkxkx，当(,1xkk ，Nk，时，(0,1xk，则12()2(1)222kf xf xf xf xk，222211()2()(1)20,222kkkkkf xxkxkx ，作出函数 fx的大致图象，对任意,xm，都有 1625f x，设m的最大值为t，则 1625f t，且522m所以2251621225t，解得115t,所以 m 的最大值为115故选：A二、填空题：1362 n14211536416413【详解】122nnnaaa，数列 na是等差数列，数列 na的前 n 项和nS存在最小值，等差数列 na的公差0d，10a，显然26nan满足题意故答案为：26
18、n（答案不唯一）14【详解】若0m，则函数()1f x 是一条直线，不符合题意，故0m()2fxmxm，则(1)2fmmm，又(1)1f，所以曲线在(1,(1)f处的切线方程为1(1)ym x，则直线恒过定点(1,1).222224460(2)(3)3xxyyxy，得圆心坐标为(2,3)，半径为3r，且定点(1,1)在圆内.因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，则3 112 1m，解得12m .故答案为：1215【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，易得该轴截面为边长为 6 的正三角形，高34823h，内切球半径33431hr，圆台高为rh243，故该圆台内切球半径最
19、大值为334故36442maxrS16【详解】设，则，设直线的方程为，联立抛物线方程有，则，直线的方程为，令，则，则得，又，则，点，解得二、解答题：17.【详解】（1）若选，由余弦定理得，整理得，则，（2 分）又，则，（5 分）所以；（6 分）若选，则，又，则，又，得，则（2）由正弦定理得：，则，（10 分）即，所以（12 分）18【详解】（1）对于模型，对应的15222740485460=387y，（1 分）故对应的772221171750iiiiyyyy，（2 分）所以对应的相关指数2179.1310.9551750R ，（3 分）对于模型，同理可得对应的相关指数2220.210.9881
20、750R 21R，（4 分）故,模型拟合精度更高、更可靠.（5 分）故对 A 型材料进行应用改造的投入为 17 亿元时的直接收益为21.31714.472.93y(亿元).（7 分）另解另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较 79.13 和 20.2 的大小，从而说明模型拟合精度更高、更可靠.（2）当17x 时，后五组的2122232425235x，（8 分）68.56867.5+66+65675y，（9 分）由最小二乘法可得670.72383.1a ，即1.837.0 xy（10 分）所以当投入 20 亿元时公司收益(直接收益国家补贴)的大小为：0.7 2083.1+574.172.9
21、3，故，投入 17 亿元比投入 20 亿元时收益小.（12 分）19【详解】（1）证明：如图，作1DD中点H，连接,AH HF，因为ABFH是平行四边形，所以BFAH，（2 分）在AHD中，EG为中位线，故EGAH，所以EGBF，故,B E G F四点共面（5 分）（2）设1C到平面BEF的距离为h，点E到平面1BC的距离为2AB，（7 分）在BEF中，5,6BEBFEF故BEF的面积212BEFS（9 分）同理11BC FS，由三棱锥1CBEF的体积11CBEFE BC FVV，（10 分）所以111233BEFBC FShS，得4 2121h 故1C到平面BEF的距离为4 2121（12
22、分）20【详解】（1）解：当1ea 时，1lnef xxx，定义域为0,，所以 11eeexxxfx，令 0fx得ex，所以，当0,ex时，0fx，fx单调递减；当e,x时，0)(xf，fx单调递增，所以，函数 fx在ex处取得最小值，mine0f xf.（4 分）（2）因为函数 e1 lnxf xxax对0,x恒成立所以eln0 xxa xx对0,x恒成立，令 eln,0 xh xxa xxx，则1()(1)e(1)(1)(e)xxah xxaxxx，当0a 时，()(1)0 xh xxe，h x在0,上单调递增，所以，由 exh xx可得 0h x，即满足eln0 xxa xx对0,x恒成
23、立；（6 分）当a0时，则0a，()0h x，h x在0,上单调递增，因为当x趋近于0时，h x趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；（7 分）当0a 时，令()0h x得exax令 exak xx，2e0 xakxx恒成立，故 k x在0,上单调递增，因为当x趋近于正无穷时，k x趋近于正无穷，当x趋近于0时，k x趋近于负无穷，所以00,x，使得00h x，00exax，所以，当00,xx时，()0h x，h x单调递减，当0,xx时，()0h x，h x单调递增，所以，只需 000000000minelne1ln0 xxh xh xxa xxxxx即可；（10 分）所以，001ln0 xx
24、，001lnxx，因为00exxa，所以00lnlnxax，所以00lnln1lnexxa，解得0ea，所以，0,ea，（11 分）综上所解，实数 a 的取值范围为0,e（12 分）21【详解】（1）解：设00,Pxy，则0 xa，且2200221xyab，所以，2220021xyba，则12220222000222220000134PMPMxbayyybkkxa xaxaxaa ，故2234ba，又22 3b，联立，解得24a，23b，故椭圆C的方程为22143xy（5 分）（2）结论：点Q在定直线上4x（6 分）由（1）得，12,0M、22,0M，设,Q x y，设直线l的方程为1xmy，
25、设点11,A x y、22,B xy，联立221431xyxmy，整理得2234690mymy，2223636 3414410mmm，12122269,3434myyy ymm，（8 分）直线1M A的方程为1122yyxx，直线2M B的方程为2222yyxx，所以，12122222yyxxxx，（9 分）可得122212112212121211296323323434922134mmyyxymymy yyxmmmxyxy mymy yyym1212273343934mymmym，解得4x，因此，点Q在直线4x 上（12 分）22【详解】（1）解：由24yxx，可得224(0)yxx y，即
26、224(04,0)xyxxy，又由cossinxy，可得24cos(0)2，所以曲线 M 的极坐标方程为4cos02（3 分）由9xy，可得2cossin9，即2sin218，即曲线 N 的极坐标方程为2sin218（5 分）（2）将0代入2sin218，可得018|sin2OB，将0代入4cos，可得0|4cosOA，则012|tanOAOB，因为|12OAOB，所以0tan1，又因为002，所以04（10 分）23【详解】（1）3)2()1(21)(xxxxxf，当且仅当2x时等号成立3)(maxxf，即3p（5 分）（2）依题意可知93432222pcba，则由柯西不等式得，2222222)432()2()3()2(2)3()2(cbacba814322cba，即9432cba当且仅当1abc 时，等号成立（10 分）