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1、第 1页，共 4页2024 年 4 月绵阳南山中学高 2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题绵阳南山中学高 2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题理科数学理科数学一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1已知集合2340,ln(1)Mx xxNx yx，则MN（）A(1,4)B1,4)C(1,4)D 1,4)2若复数z满足3i2z，则z（）A1B2C3D23已知双曲线22123xya的渐近线方程为3yx，则a（）A1B1C3D34 已知向量,a b满足2,5ab，且a与b夹角的余弦值为15，则 22
2、abab（）A36B36C32D325已知数列 na是首项为 1 的等比数列，nS是数列 na的前 n 项和，且369SS，则数列 na的前 5 项和为（）A30 或 40B31 或 40C31D306点P在圆C：22449xy上，3,0A，0,1B，则PBA最小时，PB（）A8B6C4D27某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：2cm）是（）A24B28C32D368若ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC的面积2sinSaC，6c，角 C 平分线 CM 交边 AB 于点 M，则 AM 的长为（）#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQX
3、yCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#第 2页，共 4页A2B4C2 2D2 39 设 函 数()2sin(),(0),6f xx若 存 在12,3 3x x 且12xx，使 得 121f xf x，则的取值范围是（）A4,B4,6C6,D6,1010将甲、乙、丙、丁 4 名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派 1 名医生，A 表示事件“医生甲派往村庄”；B 表示事件“医生乙派往村庄”；C表示事件“医生乙派往村庄”，则（）A事件 A 与 B 相互独立B事件 A 与 C 相互独立C5|12P B A D5|12P C A 11若实数x，y满足24ln2ln44
4、xyxy，则（）A22xy B2xyC12xy D31x y 12已知椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，以2F为圆心的圆与x轴交于1F，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段1AF与C交于点M.若BM与C的焦距的比值为313，则C的离心率为（）A312B12C314D712二、填空题二、填空题:（本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2 20 0 分分。）1352xyxy的展开式中42x y的系数为（用数字作答）14已知3 50,sincos45xxx，则3tan4x15若12,x x是函数 21e12xf xaxaR的两个极值点，且2
5、12xx，则实数a的取值范围为#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#第 3页，共 4页16将正方形ABCD沿对角线BD折起，当2 3AC 时，三棱锥ABCD的体积为4 33，则该三棱锥外接球的体积为三、解答题三、解答题:（共（共 7070 分）分）17一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5,15,15,25,25,35,35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值
6、；（2）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量5,15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）18设nS为数列 na的前n项和，已知244,20aS，且nSn为等差数列(1)求证：数列 na为等差数列；(2)若数列 nb满足16b，且12nnnnbaba，求数列 nb的前n项和nT19如图，在三棱柱111ABCABC-中，122ACBBBC，123CBBCAB，且平面ABC平面11BCCB.（1）求证：平面ABC平面1ACB；（2）设点P为直线BC的中点，求直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值.#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAI
7、oOQAAEoAAByAFABAA=#第 4页，共 4页20已知函数 2e2 exxf xaax（1）讨论 fx的单调性；（2）若 fx有两个零点，求a的取值范围.21已知点1,2 2E在抛物线2:20C ypx p上，,A B为抛物线C上两个动点，AB不垂直x轴，F为焦点，且满足8AFBF(1)求p的值，并证明：线段AB的垂直平分线过定点；(2)设（1）中定点为M，当ABM的面积最大时，求直线AB的方程22在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为1sin032，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为2cos2sinxy（为参数）.(1)写出1C的直角坐标方程和2
8、C的普通方程；(2)已知点0,1P，1C与2C相交于A，B两点，求11PAPB的值.23已知 x、y、z 均为正实数，且22243xyz(1)求2xyz的最大值；(2)若2yx，证明：113xz#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 1页，共 6页2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题理科数学参考答案一、单选题一、单选题题号123456789101112答案AAABCCCBADAD二、填空题二、填空题133014.315.2,ln216.323三、解答题三、解答题17（）由题意，得0.020.0320.018101a
9、，解得0.03a；又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20（克）而50个样本小球重量的平均值为：0.2 100.32200.3 300.18 4024.6X（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；（）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2则1(3,)5XB.X的可能取值为0、1、2、3，03031464055125P XC ，2131448155125P XC ，2231412255125P XC，3033141355125P XC .X的分布列为：X0123P64125481251212511256448121
10、301231251251251255EX .（或者13355EX ）18（1）设等差数列nSn的公差为d，则41341SSd，即135Sd，因为21214SaaS，所以由2121SSd，得124Sd#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 2页，共 6页由、解得12,1Sd，所以1nSnn，即1nSn n，当2n时，1112nnnaSSn nnnn，当1n 时，112aS，上式也成立，所以*2nan nN，所以数列 na是等差数列；（2）由（1）可知122242nnnnbannbann，当2n时，121121121126
11、131nnnnnbbbnnbbbbbnnn n，因为16b 满足上式，所以*12111211nbnn nnnN1111111212112112223111nTnnnn19（1）证明：因为22ACBC，所以1BC.因为23ACB，所以6ACB.在ABC中，sinsinBCACAB，即12sinsin6B，所以sin1B，即ABBC.又因为平面ABC平面11BCCB，平面ABC平面11BC CBBC，AB平面ABC，所以AB平面11BCCB.又1BC 平面11BCCB，所以1ABBC，在1B BC中，12B B，1BC，13CBB，所以2221112cos33BCB BBCB B BC，即13BC
12、，所以1BCBC.而1ABBC，AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以1BC 平面ABC.又1BC 平面1ACB，所以平面ABC平面1ACB.#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 3页，共 6页（2）以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：则0,0,0B，1,0,0C，0,3,0A，1BC 平面ABC，11,0,3B，11,0,3BB，在三棱柱中，111/AA BBCC，可得12,0,3C，11,3,3A，P为BC中点，1,0,02P，11,3,3
13、2AP，11,3,3AB，10,0,3CB，设平面1ACB的一个法向量为,nx y z，则1100AB nCB n，即33030 xyzz，令3x，可得1,0yz，则3,1,0n，设直线1AP与平面1ACB所成角为，则1113303 32sincos,51022AP nAP nAPn ,故直线1AP与平面1ACB所成角的正弦值为3 310.20（1）fx的定义域为,，2221121xxxxfxaeaeaee，（）若0a，则 0fx，所以 fx在,单调递减.（）若0a，则由 0fx得lnxa.当,lnxa 时，0fx；当ln,xa 时，0fx，所以 fx在,lna 单调递减，在ln,a单调递增.
14、（2）（）若0a，由（1）知，fx至多有一个零点.#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 4页，共 6页（）若0a，由（1）知，当lnxa 时，fx取得最小值，最小值为1ln1lnfaaa.当1a 时，由于ln0fa，故 fx只有一个零点；当1,a时，由于11ln0aa，即ln0fa，故 fx没有零点；当0,1a时，11ln0aa，即ln0fa.又4222e2 e22e20faa，故 fx在,lna 有一个零点.设正整数0n满足03ln1na，则00000000ee2e20nnnnf naannn.由于3ln1lnaa
15、，因此 fx在ln,a有一个零点.综上，a的取值范围为0,1.21（1）将点1,2 2E代入抛物线方程，可得22 221p，解得4p，所以抛物线方程为28yx，设直线AB的方程为：11220,ykxm kA x yB xy，联立方程28ykxmyx，消去y得222280k xkmxm，0k，由韦达定理得212122282,kmmxxx xkk，根据抛物线定义：12282448kmAFBFxxk，可得42mkk，此时222228432 26410kmk mkmk，解得1k 或1k，设AB的中点坐标为00,xy，则12000222xxxykxmkm，可得AB的垂直平分线方程为：122ykmxk，将
16、42mkk代入整理得：16yxk，故AB的垂直平分线过定点6,0#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 5页，共 6页（2）由（1）可得222222228248 111kmmkABkkkkk，且点6,0M到直线AB的距离2214611kkmkdkk，则ABM的面积为22116112kkkSAB dk，可得22224246125612111256 1kkkSkkkk，设21tk，设 23101f ttttt ，则 21 23fttt令 0ft，解得103t；令 0ft，解得113t；则 f t在10,3上单调递增，在1,
17、13上单调递减所以当13t 时，ABM的面积取最大值，此时23k，即3k 此时2:33AB yx.22（1）曲线1C的极坐标方程为1sin032，即sin3 cos10，则曲线1C的直角坐标方程为310 xy，把参数方程平方相加得曲线2C的普通方程为224xy.（2）易知点P在直线310 xy 上，且该直线的斜率为3，倾斜角为3，则曲线1C的参数方程为12312xtyt（t为参数），联立曲线1C的参数方程与曲线2C的普通方程得2330tt，设点A，B在直线310 xy 上对应的参数分别为1t，2t，由韦达定理可得123tt，1 23t t ，#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyC
18、kAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#试卷第 6页，共 6页2112121 21 2111133ttttPAPBttt tt t .23（1）因为22243xyz，所以222(2)3xyz，又 x、y、z 均为正实数，由柯西不等式有222222211122xyzxyz，所以23xyz，当且仅当2xyz且22243xyz，即21xyz时，等号成立，所以2xyz的最大值为 3.（2）因为2yx，0 x，0y，0z，由（1）得243xyzxz，即043xz，所以1143xz，当且仅当21xz时，等号成立，因为114445529zxzxxzxzxzxz，当且仅当4xzzx，即21zx时，等号成立，因为1143xz，所以11934xzxz，即113xz#QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=#