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1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1.1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A,BA,B设设A,BA,B是两个是两个_设设A,BA,B是两个是两个_对应关系对应关系f:ABf:AB如果按照某种确定的对应如果按照某种确定的对应关系关系f,f,使对于集合使对于集合A A中的中的_一个数一个数x,x,在集合在集合B B中中都有都有_的数的数f(xf(x)和它对应和它对应如果按某一个确定的对应关如果按某一个确定的对应关系系f,f,使对于集合使对于集合A A中的中的_一个元素一个元素x,x,在集合在集合B B中都有中都有_的元素的元素y y与之对应与之对应名称名称称称_
2、为从集合为从集合A A到集到集合合B B的一个函数的一个函数称对应称对应_为从集合为从集合A A到到集合集合B B的一个映射的一个映射非空数集非空数集非空集合非空集合任意任意唯一确定唯一确定任意任意唯一确定唯一确定f:ABf:ABf:ABf:AB2.2.函数的定义域、值域、相等函数函数的定义域、值域、相等函数(1)(1)定义域定义域:在函数在函数y=y=f(x),xAf(x),xA中中,_,_的取值范围的取值范围(数集数集A)A)叫做函数叫做函数的定义域的定义域.(2)(2)值域值域:函数值的集合函数值的集合_叫做函数的值域叫做函数的值域.(3)(3)相等函数相等函数:如果两个函数的如果两个函
3、数的_相同相同,并且并且_完全一致完全一致,则这两则这两个函数为相等函数个函数为相等函数.自变量自变量x x f(x)|xAf(x)|xA 定义域定义域对应关系对应关系3.3.函数的表示方法函数的表示方法表示函数的常用方法表示函数的常用方法:_:_、_和和_._.4.4.分段函数分段函数(1)(1)若函数在其定义域的不同子集上若函数在其定义域的不同子集上,因因_不同而分别不同而分别用几个不同的式子来表示用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数这种函数称为分段函数.(2)(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_,_,其值域其值域等于各段函数的值域的
4、等于各段函数的值域的_,_,分段函数虽由几个部分组成分段函数虽由几个部分组成,但它但它表示的是一个函数表示的是一个函数.解析法解析法列表法列表法图象法图象法对应关系对应关系并集并集并集并集判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)对于函数对于函数f:ABf:AB,其值域是集合其值域是集合B.(B.()(2)(2)函数函数y=1y=1与与y=xy=x0 0不是同一个函数不是同一个函数.(.()(3)(3)若两个函数的定义域与值域相同若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函则这两个函数是相等函数数.(.()(4)(4)映射是特殊的
5、函数映射是特殊的函数.(.()【解析解析】(1)(1)错误错误.值域是集合值域是集合B B的子集的子集.(2)(2)正确正确.函数函数y=xy=x0 0的定义域是的定义域是(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),函数函数y=1y=1的定的定义域是义域是R,R,因此两个函数是不同的函数因此两个函数是不同的函数.(3)(3)错误错误.函数函数y=xy=x与与y=2x+1y=2x+1的定义域和值域都是的定义域和值域都是R,R,但它们的对但它们的对应关系不同应关系不同,不是相等函数不是相等函数.(4)(4)错误错误.根据函数和映射的定义知函数是特殊的映射根据函数和映射的定义知函数是特殊的映射.答案
6、答案:(1)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(4)1.1.若函数若函数y=y=f(xf(x)的定义域为的定义域为M=x|-2x2,M=x|-2x2,值域为值域为N=y|0 N=y|0 y2,y2,则函数则函数y=y=f(xf(x)的图象可能是的图象可能是()【解析解析】选选B.AB.A中定义域不对应中定义域不对应;D;D中值域不对应中值域不对应;C;C中对一个中对一个x x值值有两个有两个y y值与之对应值与之对应,不符合函数的定义不符合函数的定义.故选故选B.B.2.2.给出四个命题给出四个命题:函数是其定义域到值域的映射函数是其定义域到值域的映射;f(xf(x)=)=是一个函数是一个函
7、数;函数函数y=2x(xN)y=2x(xN)的图象是一条直线的图象是一条直线;f(xf(x)=)=与与g(xg(x)=x)=x是同一函数是同一函数.其中正确的有其中正确的有()(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个(C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析解析】选选A.A.由函数的定义知由函数的定义知正确正确;因为使因为使成立的成立的x x值不存在值不存在,故故不正确不正确;y=2x(xN);y=2x(xN)的图象是位于直线的图象是位于直线y=2xy=2x上的一群孤立的点上的一群孤立的点,故故不正确不正确;函数函数f(xf(x)=)=与与g(xg(x)=x)=x的的定义域不同定义域不
8、同,故故不正确不正确.3.3.函数函数y=xy=x2 2-2x-2x的定义域为的定义域为0,1,2,3,0,1,2,3,则其值域为则其值域为.【解析解析】列表如下列表如下:由表知由表知,函数的值域为函数的值域为-1,0,3.-1,0,3.答案答案:-1,0,3-1,0,3x x0 01 12 23 3y y0 0-1-10 03 34.4.函数函数y=y=的定义域为的定义域为.【解析解析】由由 得函数的定义域为得函数的定义域为x|x-1x|x-1且且x0.x0.答案答案:x|x-1x|x-1且且x0 x05.5.设函数设函数f(xf(x)=)=则则f(f(-4)=f(f(-4)=.【解析解析】
9、x=-40,f(-4)=()x=-40,x=160,所以所以f(16)=4.f(16)=4.答案答案:4 4考向考向 1 1 求函数的定义域求函数的定义域【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013大连模拟大连模拟)函数函数f(xf(x)=)=的定义域为的定义域为_._.(2)(2)已知函数已知函数f(2f(2x x)的定义域是的定义域是-1,1-1,1，则，则f(xf(x)的定义域为的定义域为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据解析式根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组构建使解析式有意义的不等式组求解即可求解即可.(2)(2)要明确要明确2 2x x与与f(xf(x)中中x
10、 x的含义的含义,从而构建不等式组求解从而构建不等式组求解.【规范解答规范解答】(1)(1)要使函数有意义要使函数有意义,则有则有 得得 x0.x0.故所求函数的定义域为故所求函数的定义域为 ,0).,0).答案答案:,0),0)(2)f(2(2)f(2x x)的定义域为的定义域为-1,1,-1,1,即即-1x1,-1x1,2 2x x2,2,故故f(xf(x)的定义域为的定义域为 ,2.,2.答案答案:,2 ,2【互动探究互动探究】若本例题若本例题(2)(2)中条件不变中条件不变,求求f(logf(log2 2x)x)的定义域的定义域.【解析解析】由本例题由本例题(2)(2)知知f(xf(x
11、)的定义域为的定义域为 ,2,2,函数函数y=f(logy=f(log2 2x)x)中中,log,log2 2x2,x2,即即 loglog2 2xlogxlog2 24,x4,4,x4,故函数故函数f(logf(log2 2x)x)的定义域为的定义域为 ,4.,4.【拓展提升拓展提升】简单函数定义域的三种类型及求法简单函数定义域的三种类型及求法(1)(1)已知函数的解析式已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式则构造使解析式有意义的不等式(组组)求求解解.(2)(2)对实际问题对实际问题:由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等式式(组组)求解求
12、解.(3)(3)对抽象函数对抽象函数:若已知函数若已知函数f(xf(x)的定义域为的定义域为 a,ba,b,则复合函数则复合函数f(g(xf(g(x)的定的定义域由义域由ag(x)bag(x)b求出求出;若已知函数若已知函数f(g(xf(g(x)的定义域为的定义域为 a,ba,b,则则f(xf(x)的定义域为的定义域为g(xg(x)在在xa,bxa,b 时的值域时的值域.【提醒提醒】求定义域时对于解析式先不要化简求定义域时对于解析式先不要化简.【变式备选变式备选】(1)(1)函数函数f(xf(x)=)=的定义域是的定义域是_._.【解析解析】要使函数有意义，必须有要使函数有意义，必须有-3x0
13、-3x0或或2x3.2x3.答案答案:(-3(-3，0)(20)(2，3)3)(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)的定义域为的定义域为1,21,2，则函数，则函数g(xg(x)=)=的定义域是的定义域是_._.【解析解析】由使函数有意义及由使函数有意义及f(xf(x)的定义域可知的定义域可知 x1.x1).)=(x1).2f(x)-f(-x)=lg(x+1),2f(x)-f(-x)=lg(x+1),2f(-x)-f(x)=lg(1-x).2f(-x)-f(x)=lg(1-x).(2)(2)已知函数已知函数y=y=f(xf(x)的图象由图中的两条射的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成
14、，求函数的解析式线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【解析解析】根据图象，设左侧的射线对应的解根据图象，设左侧的射线对应的解析式为析式为y=kx+b(x1).y=kx+b(x1).点点(1,1),(0,2)(1,1),(0,2)在射线上在射线上,左侧射线对应函数的解析式为左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1).y=-x+2(x1).同理同理,x3,x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=x-2(x3).y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+2(1x3,+2(1x3,a a0)0)，点点(1,1
15、)(1,1)在抛物线上，在抛物线上，a+2=1,a=-1,a+2=1,a=-1,1x31x3时，函数的解析式为时，函数的解析式为y=-xy=-x2 2+4x-2(1x3).+4x-2(1x3).综上，函数的解析式为综上，函数的解析式为考向考向 3 3 分段函数及其应用分段函数及其应用【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013开封模拟开封模拟)根据统计根据统计,一名工人组装第一名工人组装第x x件某产品所用的时间件某产品所用的时间(单位单位:分钟分钟)为为f(xf(x)=(A,C)=(A,C为常数为常数).).已知工人组装第已知工人组装第4 4件产品用时件产品用时3030分钟分钟,组装第
16、组装第A A件产品件产品用时用时1515分钟分钟,那么那么C C和和A A的值分别是的值分别是()(A)75,25(A)75,25 (B)75,16(B)75,16(C)60,25(C)60,25 (D)60,16 (D)60,16(2)(2013(2)(2013唐山模拟唐山模拟)已知函数已知函数f(xf(x)=)=则则f(x)-f(-xf(x)-f(-x)-1-1的解集为的解集为()()(A)(-,-1)(1,+)(A)(-,-1)(1,+)(B)(B)-1,-)(0,1-1,-)(0,1(C)(-,0)(1,+)(C)(-,0)(1,+)(D)(D)-1,-1,-(0,1)(0,1)【思路
17、点拨思路点拨】(1)(1)由当由当xAxA时时,f(xf(x)=15)=15，且，且f(4)=30f(4)=30可知，可知，4A,4A,从而可列方程组求解从而可列方程组求解.(2)(2)分分-1x0-1x0和和0 x10 x1两种情况求解两种情况求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.由题意知由题意知f(Af(A)=15)=15，且，且f(4)=30,f(4)=30,则则必有必有4A,4A,故故f(4)=30.f(4)=30.(2)(2)选选B.B.当当-1x-1x0 0时，时，0 0-x1-x1，此时，此时f(xf(x)=-x-1)=-x-1，f(-xf(-x)=-(-x)+1=x
18、+1,)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-xf(x)-f(-x)-1-1化为化为-2x-2-2x-2-1-1，得得x x ，则，则-1x-1x .当当0 0 x1x1时，时，-1-x-1-x0 0，此时，此时，f(xf(x)=-x+1)=-x+1，f(-xf(-x)=-(-x)-1=x-1,)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-xf(x)-f(-x)-1-1化为化为-x+1-(x-1)-x+1-(x-1)-1,-1,解得解得x x ，则，则0 0 x1.x1.故所求不等式的解集为故所求不等式的解集为-1,)(0,1-1,)(0,1.【互动探究互动探究】本例题本例题(2)(2)中条
19、件不变中条件不变,若若f(a)+f(1)=0,f(a)+f(1)=0,试求试求a a的的值值.【解析解析】f(1)=-1+1=0,f(a)=-f(1)=0.f(1)=-1+1=0,f(a)=-f(1)=0.若若-1a0,-1a0,则则f(af(a)=-a-1=0,a=-1;)=-a-1=0,a=-1;若若0a1,0a1,则则a=1,a=1,综上知综上知,a=,a=1.1.【拓展提升拓展提升】分段函数分段函数“两种两种”题型的求解策略题型的求解策略(1)(1)根据分段函数解析式求函数值根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代其
20、次选定相应的解析式代入求解入求解.(2)(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.【提醒提醒】当分段函数的自变量范围不确定时当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论应分类讨论.【变式备选变式备选】(1)(1)已知函数已知函数f(xf(x)=)=若若f(f(0)=4a,f(f(0)=4a,则实数则实数a a的值为的值为()(A)0(A)0 (B)(B)(C)2(C)
21、2(D)4(D)4【解析解析】选选C.f(0)=2,C.f(0)=2,f(f(0)=f(2)=4+2a=4a,a=2.f(f(0)=f(2)=4+2a=4a,a=2.(2)(2)设函数设函数f(xf(x)=)=若若f(-2)=f(0),f(-1)=-3f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于则关于x x的方程的方程f(xf(x)=x)=x的解的个数为的解的个数为()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选选B.B.由已知得由已知得 当当x0 x0时，由时，由f(xf(x)=x)=x得，得，x x2 2+2x-2=x+2x-2=x，得，
22、得x=-2x=-2或或x=1,x=1,又又x0 x0，故故x=1x=1舍去舍去;当当x x0 0时，由时，由f(xf(x)=x)=x得得x=2,x=2,所以方程所以方程f(xf(x)=x)=x有两个解有两个解.【易错误区易错误区】忽视自变量的取值范围致误忽视自变量的取值范围致误【典例典例】(2013(2013南京模拟南京模拟)已知实数已知实数a0,a0,函数函数f(xf(x)=)=若若f(1-a)=f(1+a),f(1-a)=f(1+a),则则a a的值为的值为_._.【误区警示误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面本题易出现的错误主要有两个方面:(1)(1)误以为误以为1-a1,1-a1,
23、没有对没有对a a进行讨论直接代入求解进行讨论直接代入求解.(2)(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误.【规范解答规范解答】当当a0a0时，时，1-a1,1-a1,由由f(1-a)=f(1+a)f(1-a)=f(1+a)可得可得2-2a+a=-1-a-2a,2-2a+a=-1-a-2a,解得解得a=,a=,不合题意；不合题意；当当a0a1,1+a1,1+a-1x-1且且x0 x0，所以定义域为所以定义域为(-1,0)(0,2(-1,0)(0,2.3.(20123.(2012安徽高考安徽高考)下列函数中，不满足下列函数中，不满足f(2x)=2
24、f(x)f(2x)=2f(x)的是的是()()(A)f(xA)f(x)=|x|()=|x|(B)f(xB)f(x)=)=x-|xx-|x|(C)f(xC)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x)=x+1 (D)f(x)=-x【解析解析】选选C.C.选项选项A A：f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)，满足要求；，满足要求；选项选项B B：f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足要求；，满足要求；选项选项C C：f(2x)=2x+12(x+1)=2f(x)f(2x)=2x
25、+12(x+1)=2f(x)，不满足要求；，不满足要求；选项选项D D：f(2x)=-2x=2f(x)f(2x)=-2x=2f(x)，满足要求，满足要求.4.(20124.(2012江西高考江西高考)下列函数中，与函数下列函数中，与函数y=y=定义域相同的函定义域相同的函数为数为()()(A)y=(B)y=(C)y=xe(A)y=(B)y=(C)y=xex x (D)y=(D)y=【解析解析】选选D.yD.y=的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，y=y=的定义的定义域为域为 x|xk,kZx|xk,kZ，y=y=的定义域为的定义域为 x|xx|x00，y=y=xexex x的定义域为的定义
26、域为R R，y=y=的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，D D正确正确.5.(20135.(2013衡阳模拟衡阳模拟)设函数设函数f(xf(x)的定义域为的定义域为D D，若存在非零实，若存在非零实数数l使得对于任意使得对于任意xM(MxM(MD D)，有，有x+x+lDD，且，且f(x+f(x+l)f(x)f(x)，则，则称称f(xf(x)为为M M上的上的l高调函数高调函数.如果定义域为如果定义域为-1-1，+)+)的函数的函数f(xf(x)=x)=x2 2为为-1-1，+)+)上的上的m m高高调函数，那么实数调函数，那么实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由由(x
27、+m)(x+m)2 2xx2 2，得，得2mx+m2mx+m2 200，当当m0m0时，时，x x ，xx-1-1，+)+)，-1-1，m2m2，当当m m0 0时，时，x x ，xx-1-1，+)+)，不存在不存在m m使不等式恒成立使不等式恒成立.m2.m2.答案：答案：m2m21.1.若一系列函数的解析式相同若一系列函数的解析式相同,值域相同值域相同,但定义域不同但定义域不同,则称则称这些函数为这些函数为“孪生函数孪生函数”.例如例如,解析式为解析式为y=2xy=2x2 2+1,+1,值域为值域为99的的“孪生函数孪生函数”有三个有三个:(1)y=2x(1)y=2x2 2+1,x-2.(
28、2)y=2x+1,x-2.(2)y=2x2 2+1,x2.(3)y=2x+1,x2.(3)y=2x2 2+1,x+1,x-2,2.-2,2.那么函数解析式为那么函数解析式为y=2xy=2x2 2+1,+1,值域为值域为1,51,5的的“孪生函孪生函数数”共有共有()(A)5(A)5个个 (B)4(B)4个个 (C)3(C)3个个(D)2(D)2个个【解析解析】选选C.C.令令2x2x2 2+1=1,+1=1,得得x=0 x=0，令令2x2x2 2+1=5,+1=5,得得x=x=,所以所以“孪生函数孪生函数”有：有：y y2x2x2 21 1，x0 x0，；y y2x2x2 21 1，x0 x0
29、，；y y2x2x2 21 1，x0 x0，共，共3 3个个.2.2.已知函数已知函数f(xf(x)=)=若若f(f(xf(f(x)=2,)=2,则则x x的取值范的取值范围是围是()(A)(A)(B)-1,1 (B)-1,1(C)(-,-1)(1,+)(C)(-,-1)(1,+)(D)2-1,1 (D)2-1,1【解析解析】选选D.D.若若x-1,1,x-1,1,则有则有f(xf(x)=2)=2-1,1,-1,1,f(2)=2;f(2)=2;若若x x-1,1,-1,1,则则f(xf(x)=x)=x-1,1,f(f(x)=x,-1,1,f(f(x)=x,此时若此时若f(f(xf(f(x)=2,)=2,则有则有x=2.x=2.