《高一数学必修二课件第十章 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修二课件第十章 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理两个计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理条条 件件完成一件事有完成一件事有_._.在第在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类类方案中有方案中有n n种不同的方法种不同的方法完成一件事需要完成一件事需要_，做第，做第1 1步有步有m m种不种不同的方法，做第同的方法，做第2 2步有步有n n种种不同的方法不同的方法结结 论论完成这件事共有完成这件事共有N=_N=_种种不同的方法不同的方法完成这件事共有完成这件事共有N=_N=_
2、种不同的方法种不同的方法依依 据据能否能否_完成整个事件完成整个事件能否能否_完成整个事件完成整个事件两类不同两类不同方案方案两个两个m+nm+nmnmn独立独立逐步逐步步骤步骤判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同相同.().()(2)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事这件事.().()(3)(3)如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n类不同方案，在每一类
3、中都有若干种类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法不同的方法m mi i(i(i=1,2,3,n),=1,2,3,n),那么完成这件事共有那么完成这件事共有m m1 1+m+m2 2+m m3 3+m mn n种方法种方法.().()(4)(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的是各不相同的.().()(5)(5)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完
4、成后，这件事情才算完成这件事情才算完成.().()(6)(6)如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n个不同步骤，在每一步中都有若干种个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法不同的方法m mi i(i(i=1,2,3,n),=1,2,3,n),那么完成这件事共有那么完成这件事共有m m1 1m m2 2m m3 3m mn n种方法种方法.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，即第方法互不相同，即第1 1类方案中的类方案中的m m种方法和第种方法和第2 2类方案中的类方案中的n n种种方法没有相
5、同的方法没有相同的.(2)(2)正确正确.在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法都在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法都能完成这件事，否则就是分步了能完成这件事，否则就是分步了.(3)(3)正确正确.这是分类加法计数原理的推广这是分类加法计数原理的推广.(4)(4)正确正确.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同，则可认为是相同的步骤方法如果相同，则可认为是相同的步骤.(5)(5)正确正确.在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的步骤都不能完成
6、这件事，否则就是分类则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事，否则就是分类了了.(6)(6)正确正确.这是分步乘法计数原理的推广这是分步乘法计数原理的推广.答案：答案：(1)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(2)(3)(4)(5)(6)1.1.从从1010名任课教师，名任课教师，5050名同学中，选名同学中，选1 1人参加元旦文艺演出，人参加元旦文艺演出，共有选法种数为共有选法种数为()()(A)50 (B)10 (C)60 (D)500(A)50 (B)10 (C)60 (D)500【解析解析】选选C.C.分类完成此事，一类是选教师，有分类完成此事，一类是选教师，有1010种选法，另种选
7、法，另一类是选学生，有一类是选学生，有5050种选法，由分类加法计数原理可知，共有种选法，由分类加法计数原理可知，共有10+50=6010+50=60种选法种选法.2.2.某城市的电话号码，由六位升为七位某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是则该城市可增加的电话部数是()()(A)9876543(A)9876543(B)89(B)896 6(C)910(C)9106 6(D)8110(D)81105 5【解析解析】选选D.D.电话号码是六位数字时，该城市可安装电话电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9 910105 5部，同理升为七位
8、时，可安装电话部，同理升为七位时，可安装电话9 910106 6部，所以可增加的部，所以可增加的电话部数是电话部数是9 910106 6-9-910105 5=81=8110105 5.3.3.从从3 3名女同学和名女同学和2 2名男同学中选名男同学中选1 1人主持本班的某次主题班会，人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有则不同的选法有_种种.【解析解析】分类完成此事，如果选女生，有分类完成此事，如果选女生，有3 3种选法；如果选男种选法；如果选男生，有生，有2 2种选法种选法.由分类加法计数原理可知，共有由分类加法计数原理可知，共有3+2=53+2=5种选法种选法.答案：答案：5 54 4
9、将将4 4封信投入封信投入3 3个邮箱，有个邮箱，有_种不同的投法种不同的投法.【解析解析】分四步：每一封信都有分四步：每一封信都有3 3种不同的投法，由分步乘法种不同的投法，由分步乘法计数原理，共有计数原理，共有3 33 33 33 381(81(种种).).答案：答案：81815.5.已知集合已知集合M=1M=1，-2,3-2,3，N=N=4,5,64,5,6，77，从两个集合中，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是表示第一、二象限内不同的点的个数是_._.【解析解析】令令
10、M M中的元素作为点的横坐标，中的元素作为点的横坐标，N N中的元素作为点的纵中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共有坐标，在第一象限的点共有2 22 2个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有1 12 2个令个令N N中的元素作为点的横坐标，中的元素作为点的横坐标，M M中的元素作为点的纵坐标，中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共有在第一象限的点共有2 22 2个，在第二象限的点共有个，在第二象限的点共有2 22 2个故个故所求不同的点的个数是所求不同的点的个数是2 22 21 12 22 22 22 22 21414答案：答案：1414考向考向 1 1 分类加法计数原理分类加法计
11、数原理【典例典例1 1】(1)(1)若若x x，yNyN*,且且x+y6,x+y6,则有序自然数对则有序自然数对(x,yx,y)共有共有_个个.(2)(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为数为_.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据题意，用列举法分别求得当根据题意，用列举法分别求得当x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5时，时，y y值的数目情况，进而由分类加法计数原理，计算可得答值的数目情况，进而由分类加法计数原理，计算可得答案案.(2)(2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类对十位数字进行分类或对个位数字进行
12、分类.【规范解答规范解答】(1)(1)当当x=1x=1时，时，y y可取的值为可取的值为5 5，4 4，3 3，2 2，1 1，共，共5 5个；个；当当x=2x=2时，时，y y可取的值为可取的值为4 4，3 3，2 2，1 1，共，共4 4个；个；当当x=3x=3时，时，y y可取的值为可取的值为3 3，2 2，1 1，共，共3 3个；个；当当x=4x=4时，时，y y可取的值为可取的值为2 2，1 1，共，共2 2个；个；当当x=5x=5时，时，y y可取的值为可取的值为1 1，共，共1 1个；个；即当即当x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5时，时，y y值依次有值依次有5 5，4
13、 4，3 3，2 2，1 1个，个，由分类加法计数原理，得不同的数对由分类加法计数原理，得不同的数对(x,yx,y)共有共有5+4+3+2+1=15(5+4+3+2+1=15(个个).).(2)(2)方法一：根据题意，将十位上的数字按方法一：根据题意，将十位上的数字按1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8的情况分成的情况分成8 8类，在每一类中满足题目条件的两位数分类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是别是8 8个，个，7 7个，个，6 6个，个，5 5个，个，4 4个，个，3 3个，个，2 2个，个，1 1个个.由分类加法由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有计
14、数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个.方法二：分析个位数字，可分以下几类：方法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是个位是9 9，则十位可以是，则十位可以是1 1，2 2，3 3，8 8中的一个，故共有中的一个，故共有8 8个；个；个位是个位是8 8，则十位可以是，则十位可以是1 1，2 2，3 3，7 7中的一个，故共有中的一个，故共有7 7个；个；同理个位是同理个位是7 7的有的有6 6个；个；个位是个位是2 2的有的有1 1个个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有由分类加法计
15、数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个.答案：答案：(1)15 (2)36(1)15 (2)36【互动探究互动探究】本例题本例题(2)(2)中条件不变，求个位数字小于十位数中条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数字的两位数且为偶数的个数.【解析解析】当个位数字是当个位数字是8 8时，十位数字取时，十位数字取9 9，只有，只有1 1个个.当个位数字是当个位数字是6 6时，十位数字可取时，十位数字可取7 7，8 8，9 9，共，共3 3个个.当个位数字是当个位数字是4 4时，十位
16、数字可取时，十位数字可取5,6,7,8,95,6,7,8,9，共，共5 5个个.同理可知，同理可知，当个位数字是当个位数字是2 2时，共时，共7 7个，个，当个位数字是当个位数字是0 0时，共时，共9 9个个.由分类加法计数原理知，符合条件的数共有由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(1+3+5+7+9=25(个个).).【拓展提升拓展提升】1.1.分类加法计数原理的特点分类加法计数原理的特点(1)(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准.(2)(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类完成这件事的任何一种方法必须属
17、于某一类.2.2.使用分类加法计数原理遵循的原则使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循遵循“标准要明确，不重不漏标准要明确，不重不漏”的原则的原则.【变式备选变式备选】某同学有同样的画册某同学有同样的画册2 2本，同样的集邮册本，同样的集邮册3 3本，从本，从中取出中取出4 4本赠送给本赠送给4 4位朋友，每位朋友位朋友，每位朋友1 1本，则不同的赠送方法本，则不同的赠送方法共有共有()()(A)4(A)4种种 (B)10(B)10种种 (C)18(C)18种种 (D)20(D)20种种【解
18、析解析】选选B.B.依题意，就所剩余的一本进行分类计数：第一依题意，就所剩余的一本进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4 4种；种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有 6(6(种种).).因此，满足题意的赠送方法共有因此，满足题意的赠送方法共有4 46 610(10(种种).).考向考向 2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理【典例典例2 2】(1)(1)从正方体的从正方体的6 6个面中选取个面中选取3 3个面，其中有个面，其中有2 2个面不
19、个面不相邻的选法共有相邻的选法共有()()(A)8(A)8种种 (B)12(B)12种种 (C)16(C)16种种 (D)20(D)20种种(2)(2)用用5 5种不同的颜色给图中种不同的颜色给图中A,B,C,DA,B,C,D四个区四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？法？【思路点拨思路点拨】(1)(1)可分两步完成此事，第一步选两个不相邻的可分两步完成此事，第一步选两个不相邻的平面，第二步选与前两个平面都相交的平面平面，第二步选与前两个平面都相交的平面.(2).(2)逐
20、步给逐步给A,B,A,B,C,DC,D四个区域涂色即可四个区域涂色即可.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.完成这件事可先选取完成这件事可先选取2 2个不相邻的平面，个不相邻的平面，有有2 2个面不相邻即有一组对面，共有个面不相邻即有一组对面，共有3 3组，然后再取与这两个平组，然后再取与这两个平面都相交的平面，共有面都相交的平面，共有4 4个个.由分步乘法计数原理可知，选法为由分步乘法计数原理可知，选法为3 34 412(12(种种).).(2)(2)分分4 4步：涂步：涂A A有有5 5种方法；种方法；涂涂B B有种方法；涂有种方法；涂C C有有3 3种方法；种方法；涂涂D D有有
21、3 3种方法种方法(D(D与与A A可以同色可以同色).).由分步乘法计数原理得，共有由分步乘法计数原理得，共有5 54 43 33=180(3=180(种种).).【拓展提升拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点使用分步乘法计数原理的关注点(1)(1)明确题目中的明确题目中的“完成这件事完成这件事”是什么，确定完成这件事需是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的要几个步骤，且每步都是独立的.(2)(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这的连续性，只有当所有步骤都
22、完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数就是完成事件的方法总数.【提醒提醒】解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取.【变式训练变式训练】已知在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶已知在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共点的连线称为它的对角线，那么一个正五
23、棱柱对角线的条数共有有()()(A)20 (B)15 (C)12 (D)10(A)20 (B)15 (C)12 (D)10【解析解析】选选D.D.如图，在正五棱柱如图，在正五棱柱ABCDEABCDEA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1中，从顶点中，从顶点A A出发的对角线有两条：出发的对角线有两条：ACAC1 1，ADAD1 1，同理从，同理从B B，C C，D D，E E点出发的点出发的对角线也有两条，共对角线也有两条，共2 25 510(10(条条).).考向考向 3 3 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013
24、潍坊模拟潍坊模拟)如果一个三位正整数如如果一个三位正整数如“a a1 1a a2 2a a3 3”满足满足a a1 1aaa3 3，则称这样的三位数为凸数，则称这样的三位数为凸数(如如120,120,343,275343,275等等)，那么所有凸数的个数为，那么所有凸数的个数为()()(A)240 (B)204 (C)729 (D)920(A)240 (B)204 (C)729 (D)920(2)(2)用用5 5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻涂一种颜色，若要求相邻(有公共边有公共边)的区域不同色，那么共有的
25、区域不同色，那么共有_种不同的涂色方法种不同的涂色方法.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由于中间数最大，可先按中间数进行分类，由于中间数最大，可先按中间数进行分类，再按两边的数分步进行解答再按两边的数分步进行解答.(2).(2)本题是解决涂色问题，要明确本题是解决涂色问题，要明确涂色要求，严格区分是涂色要求，严格区分是“分类分类”还是还是“分步分步”.【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.分分8 8类，当中间数为类，当中间数为2 2时，有时，有1 12 22(2(个个)；当中间数为当中间数为3 3时，有时，有2 23 36(6(个个)；当中间数为当中间数为4 4时，有时，有3 34 41
26、2(12(个个)；当中间数为当中间数为5 5时，有时，有4 45 520(20(个个)；当中间数为当中间数为6 6时，有时，有5 56 630(30(个个)；当中间数为当中间数为7 7时，有时，有6 67 742(42(个个)；当中间数为当中间数为8 8时，有时，有7 78 856(56(个个)；当中间数为当中间数为9 9时，有时，有8 89 972(72(个个).).故共有故共有2 26 6121220203030424256567272240(240(个个).).(2)(2)完成该件事可分步进行完成该件事可分步进行.涂区域涂区域1 1，有，有5 5种颜色可选种颜色可选.涂区域涂区域2 2，
27、有，有4 4种颜色可选种颜色可选.涂区域涂区域3 3，可先分类：若区域，可先分类：若区域3 3的颜色与的颜色与2 2相同，则区域相同，则区域4 4有有4 4种种颜色可选颜色可选.若区域若区域3 3的颜色与的颜色与2 2不同，则区域不同，则区域3 3有有3 3种颜色可选，种颜色可选，此时区域此时区域4 4有有3 3种颜色可选种颜色可选.所以共有所以共有5 54 4(1(14+34+33)3)=260(=260(种种)涂色方法涂色方法.答案：答案：260260【拓展提升拓展提升】1.1.两个计数原理的区别两个计数原理的区别 原理原理区别区别分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计
28、数原理区别一区别一每类办法都能独立完成这每类办法都能独立完成这件事件事.它是独立的、一次的，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这只需一种方法就可完成这件事件事每一步得到的只是中每一步得到的只是中间结果，任何一步都间结果，任何一步都不能独立完成这件事，不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了只有各步骤都完成了才能完成这件事才能完成这件事区别二区别二各类办法之间是互斥的、各类办法之间是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相互依存各步之间是相互依存的，并且既不能重复的，并且既不能重复也不能遗漏也不能
29、遗漏2.2.应用两个计数原理的应用两个计数原理的“两个两个”注意点注意点(1)(1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在在分步时可能又用到分类加法计数原理分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.【变式训练变式训练】某小组有某小组有1010人，每人至少会英语和法语中的一门，人，每人至少会英语和法语中的一门，其中其中8 8人会英语，人会英语，5 5人
30、会法语，人会法语，(1)(1)从中任选一个会外语的人，从中任选一个会外语的人，有多少种选法？有多少种选法？(2)(2)从中选出会英语与会法语的各从中选出会英语与会法语的各1 1人，有多少人，有多少种不同的选法？种不同的选法？【解析解析】由于由于8 85=135=131010，所以，所以1010人中必有人中必有3 3人既会英语又会人既会英语又会法语，法语，5 5人只会英语，人只会英语，2 2人只会法语人只会法语.(1)(1)可分类完成此事：一类只会英语，一类既会英语也会法语，可分类完成此事：一类只会英语，一类既会英语也会法语，一类是只会法语，共有一类是只会法语，共有5+3+2=10(5+3+2=
31、10(种种)(2)(2)同样分同样分3 3类，共有类，共有N=5N=52 25 53 32 23=31(3=31(种种)方法方法.【创新体验创新体验】计数原理类的新定义问题计数原理类的新定义问题【典例典例】(2012(2012湖北高考湖北高考)回文数是指从左到右与从右到左读回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数都一样的正整数,如如2222，121,3 443,94 249121,3 443,94 249等等.显然显然2 2位回文数位回文数有有9 9个：个：11,22,33,11,22,33,，99.399.3位回文数有位回文数有9090个：个：101,111,101,111,121121
32、，191,202191,202，999.999.则则(1)4(1)4位回文数有位回文数有_个；个；(2)2n(2)2n1(nN1(nN+)位回文数有位回文数有_个个.【思路点拨思路点拨】找准找准创新点创新点回文数的定义：从左到右与从右到左读都一回文数的定义：从左到右与从右到左读都一样的正整数样的正整数寻找寻找突破口突破口(1)(1)根据回文数的定义得出什么数是回文数根据回文数的定义得出什么数是回文数(2)(2)如何得到如何得到4 4位回文数，可转化为填位回文数，可转化为填4 4个并列个并列的方格的方格(3)(3)由由2 2位、位、3 3位、位、4 4位回文数归纳得出位回文数归纳得出2n+12n
33、+1位位回文数的求法及个数回文数的求法及个数【规范解答规范解答】(1)4(1)4位回文数相当于填位回文数相当于填4 4个方格个方格,首尾相同首尾相同,且不且不为为0,0,共共9 9种填法种填法,中间两位一样中间两位一样,有有1010种填法种填法,共计共计9 910=90(10=90(种种)填法，即填法，即4 4位回文数有位回文数有9090个个.(2)(2)根据回文数的定义根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格此问题也可以转化成填方格.结合计数结合计数原理知有原理知有9 91010n n种填法种填法.答案：答案：(1)90 (2)9(1)90 (2)91010n n【思考点评思考点评】1.1
34、.方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想、归纳推理的方方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想、归纳推理的方法在解题中的应用，即依据回文数的定义，将确定回文数的问法在解题中的应用，即依据回文数的定义，将确定回文数的问题，转化为填方格的问题，进而利用计数原理解决题，转化为填方格的问题，进而利用计数原理解决.求一般的求一般的位数的回文数的个数，可由位数的回文数的个数，可由2 2位、位、3 3位、位、4 4位回文数归纳得出位回文数归纳得出2n+12n+1位回文数的求法及个数位回文数的求法及个数.2.2.技巧提升：对于计数原理类新定义问题，常见的类型有新定技巧提升：对于计数原理类新定义问题，常见的类型有
35、新定义数的个数、新定义中符合条件的计数问题等义数的个数、新定义中符合条件的计数问题等.新定义问题构新定义问题构思巧妙，隐蔽性强，除了考查理解新定义、接受新知识的能力思巧妙，隐蔽性强，除了考查理解新定义、接受新知识的能力外，还考查数学中的基础知识和基本技能，解题的关键是抓住外，还考查数学中的基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新定义及新概念的特征，将新信息与所学知识结合起来，转化新定义及新概念的特征，将新信息与所学知识结合起来，转化为已知的或所学过的数学知识解决，本题是转化为利用计数原为已知的或所学过的数学知识解决，本题是转化为利用计数原理解决理解决.1.(20131.(2013烟台模拟烟台模拟
36、)体育场南侧有体育场南侧有4 4个大门，北侧有个大门，北侧有3 3个大门，个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有()()(A)12(A)12 种种 (B)7(B)7种种 (C)24(C)24种种 (D)49D)49种种【解析解析】选选D.D.学生进门有学生进门有7 7种选择，同样出门也有种选择，同样出门也有7 7种选择，由种选择，由分步乘法计数原理，该学生的进出门方案有分步乘法计数原理，该学生的进出门方案有7 77 749(49(种种)，所，所以应选以应选D.D.2.(20122.(2012陕西高考陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获
37、胜，两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同各人输赢局次的不同视为不同情形视为不同情形)共有共有()()(A)10(A)10种种 (B)15(B)15种种 (C)20(C)20种种 (D)30(D)30种种【解析解析】选选C.C.由题意知，比赛场数最少为由题意知，比赛场数最少为3 3场，至多为场，至多为5 5场场.当当比赛场数为比赛场数为3 3场时，情形为甲或乙连赢场时，情形为甲或乙连赢3 3场，共场，共2 2种；当比赛场种；当比赛场数为数为4 4场时，若甲赢，则前场时，若甲赢，则前3 3场中甲赢场中甲赢2 2
38、场，最后一场甲赢，共场，最后一场甲赢，共有有 =3(=3(种种)情形；同理，若乙赢，则也有情形；同理，若乙赢，则也有3 3种情形，所以共有种情形，所以共有6 6种情形；当比赛场数为种情形；当比赛场数为5 5场时，前场时，前4 4场，甲乙双方各赢场，甲乙双方各赢2 2场，最场，最后一场胜出的人赢，所以共有后一场胜出的人赢，所以共有 =12(=12(种种)，综上可知，共有，综上可知，共有2+6+12=20(2+6+12=20(种种).).故选故选C.C.3.(20123.(2012安徽高考安徽高考)6)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多
39、交换一次，进行交换的两位同学交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品互赠一份纪念品.已知已知6 6位同学之间共进行了位同学之间共进行了1313次交换，则收到次交换，则收到4 4份纪念品的同学人数为份纪念品的同学人数为()()(A)1(A)1或或3 (B)13 (B)1或或4 (C)24 (C)2或或3 (D)23 (D)2或或4 4【解析解析】选选D.D.设设6 6位同学分别用位同学分别用a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f表示表示.若任意两位若任意两位同学之间都进行交换，共进行同学之间都进行交换，共进行 =15(=15(次次)交换，现共进行了交换，现共进行
40、了1313次交换，说明有次交换，说明有2 2次交换没有发生，此时可能有两种情况：次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)(1)由由3 3人构成的人构成的2 2次交换，如次交换，如a ab b和和a ac c之间的交换没有发之间的交换没有发生，则收到生，则收到4 4份纪念品的有份纪念品的有b,cb,c两人两人.(2)(2)由由4 4人构成的人构成的2 2次交换，如次交换，如a ab b和和c ce e之间的交换没有发之间的交换没有发生，则收到生，则收到4 4份纪念品的有份纪念品的有a,b,c,ea,b,c,e四人，故选四人，故选D.D.4.(20134.(2013衡阳模拟衡阳模拟)用数字用数字
41、2 2，3 3组成四位数，且数字组成四位数，且数字2 2，3 3至少至少都出现一次，这样的四位数共有都出现一次，这样的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答).).【解析解析】方法一：数字方法一：数字2 2，3 3至少都出现一次，可以分为至少都出现一次，可以分为3 3类，类，第一类：一个第一类：一个2 2三个三个3 3，有，有4 4个；第二类：两个个；第二类：两个2 2两个两个3 3，有，有6 6个；个；第三类：三个第三类：三个2 2一个一个3 3，有，有4 4个，共有个，共有1414个个.方法二：可以考虑四个位置任排，然后减去方法二：可以考虑四个位置任排，然后减去2 2222 222和和3
42、3333 333这两这两种情况，个数为种情况，个数为2 24 4-2=14.-2=14.答案：答案：14141.1.用用n n种不同的颜色为下列两块广告牌涂色种不同的颜色为下列两块广告牌涂色(如图甲、乙如图甲、乙)，要，要求求四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共的边界有公共的边界)区域不用同一颜色区域不用同一颜色.(1)(1)若若n=6n=6，则为甲图涂色的不同方法共有，则为甲图涂色的不同方法共有_种种.(2)(2)若为乙图涂色时共有若为乙图涂色时共有120120种不同的方法，则种不同的方法，则n=_.n=_.【解析解析】(1)(1)在甲图中对区域在甲图中对区域按顺序涂色，由分步乘按顺序涂色，
43、由分步乘法计数原理得：共有法计数原理得：共有6 65 54 44=480(4=480(种种).).(2)(2)由分步乘法计数原理，得由分步乘法计数原理，得n(n-1)(n-2)(n-3)=120n(n-1)(n-2)(n-3)=120，即，即(n(n2 2-3n)3n)2 2+2(n+2(n2 2-3n)-12-3n)-1210=010=0，所以所以n n2 2-3n-10=0-3n-10=0，解得：，解得：n=5n=5或或n=-2(n=-2(舍去舍去).).答案：答案：(1)480 (2)5(1)480 (2)52.2.若一个若一个m,nm,n均为非负整数的有序数对均为非负整数的有序数对(m
44、,nm,n)，在做，在做m+nm+n的加法的加法时各位均不会进位，则称时各位均不会进位，则称(m,nm,n)为为“简单的简单的”有序数对，有序数对，m+nm+n称称为有序数对为有序数对(m,nm,n)的值，那么值为的值，那么值为1 9421 942的的“简单的简单的”有序数对有序数对的个数是的个数是_._.【解析解析】可分类进行：可分类进行：个位个位2 2有有3 3种种0+20+2，1+11+1，2+02+0；十位十位4 4有有5 5种种0+40+4，1+31+3，2+22+2，3+13+1，4+04+0；百位百位9 9有有1010种种0+90+9，1+81+8，2+72+7，3+63+6，4
45、+54+5，5+45+4，6+36+3，7+27+2，8+18+1，9+09+0；千位千位1 1有有2 2种种0+10+1，1+01+0，所以值为所以值为1 9421 942的的“简单的简单的”有序数对的个数是有序数对的个数是3 35 510102=300(2=300(种种).).答案：答案：3003003.3.将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数奇和数”.那么，所有的三位数中，奇和数有那么，所有的三位数中，奇和数有_个个.【解析解析】
46、设此数为设此数为abcabc，则，则a+ca+c之和必为大于之和必为大于1010的奇数，且的奇数，且b+bb+b 不能大于不能大于1010，b b可以取可以取0 0，1 1，2 2，3 3，4.4.此和一定是一个四位数此和一定是一个四位数.a a取取2 2时，时，c c取取9 9，a a取取3 3时，时，c c取取8 8，a a取取4 4时，时，c c取取7 7，9 9，a a取取5 5时，时，c c取取6 6，8 8，a a取取6 6时，时，c c取取5 5，7 7，9 9，a a取取7 7时，时，c c取取4 4，6 6，8 8，a a取取8 8时，时，c c取取3 3，5 5，7 7，9 9，a a取取9 9时，时，c c取取2 2，4 4，6 6，8 8，上面上面acac的组合就有的组合就有2020种种.另另b b有有5 5种取法，种取法，奇和数有奇和数有20205=100(5=100(个个).).答案：答案：100100