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1、第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1.1.两个实数比较大小的法则两个实数比较大小的法则关系关系法则法则作差法则作差法则作商法则作商法则abab_(a,b0)_(a,b0)或或_(a,b0)_(a,b0)a=ba=ba-b=0a-b=0(b0)(b0)aba0)_(a,b0)或或_(a,b0)_(a,b0a-b0a-b0a-bbab_传递性传递性ab,bcab,bc_可加性可加性abab_可乘性可乘性注意注意c c的符号的符号babcaca+cb+ca+cb+c性质性质性质内容性质内容特别提醒特别提醒同向可加性同向可加性同向同正同向同正可乘性可乘性可乘方性可乘方性(nN,n2)(
2、nN,n2)a a，b b同同为正数为正数可开方性可开方性(nN,n2)(nN,n2)3.3.不等式的倒数性质不等式的倒数性质(1)a(1)ab,abb,ab0 0(2)a(2)a0 0b b(3)a(3)ab b0,00,0c cd d(4)0(4)0a ax xb b或或a ax xb b0 0判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立立.().()(2)(2)同向不等式具有可加性和可乘性同向不等式具有可加性和可乘性.().()
3、(3)(3)若两个数的比值大于若两个数的比值大于1 1，那么分子就大于分母，那么分子就大于分母.().()(4)(4)一个数越大，它的倒数不一定越小一个数越大，它的倒数不一定越小.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，在一个不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.(2)(2)错误错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.(3)(3)错误错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立
4、.(4)(4)正确正确.例如，例如，2323时，有时，有 但但-22-22时，却有时，却有答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)1.1.若若a0a0，-1b0-1b0，那么下列不等式中正确的是，那么下列不等式中正确的是()()(A)aab(A)aab2 2ab (B)abab (B)ab2 2aabaab(C)aabab(C)aabab2 2 (D)ab(D)ab2 2abaaba【解析解析】选选A.A.因为因为-1b0,-1b0,所以所以b0bb0b2 21,1,于是于是aabaab2 2ab.1ba1b，下列不等式中不一定成立的是，下列不等式中不一定成立的是()()(A
5、)a-b1-b (B)a-1b-1(A)a-b1-b (B)a-1b-1(C)a-11-b (D)1-ab-a(C)a-11-b (D)1-ab-a解析解析】选选C.C.由由a1a1知知a-b1-b,a-b1-b,故故A A正确；由正确；由abab知知a-1b-1,a-1b-1,故故B B正确正确;由由1b1b知知1-ab-a,1-ab-a,故故D D正确，正确，C C项错误，项错误，如当如当a=3a=3，b=-3b=-3时，不成立时，不成立.3.x+y2m3.x+y2m的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是()()(A)xm(A)xm或或ym (B)xmym (B)xm且且ymym(C
6、)xm(C)xmym (D)xm(D)xmym【解析解析】选选B.B.由不等式的性质知，当由不等式的性质知，当xmxm且且ymym时时必有必有x+y2m,x+y2m,但当但当x+y2mx+y2m时，不一定有时，不一定有xmxm且且ym,ym,如当如当x=1,y=5,m=4x=1,y=5,m=4时就不成立时就不成立.4.4.与与 的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】因为因为 而而所以所以 即即答案答案:5.5.已知已知-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,则则a-ba-b的取值范围是的取值范围是_，a a2 2+b+b2 2的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为因为-
7、2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,所以所以2-b3,2-b3,于于是是0a-b2.0a-b2.又因为又因为1a1a2 24,4b4,4b2 29,9,所以所以5a5a2 2+b+b2 213.0.5-x0.而要构成三角形，还要满足而要构成三角形，还要满足(5-(5-x)+(12-x)13-x.x)+(12-x)13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此(5-(5-x)x)2 2+(12-x)+(12-x)2 2(13-x)1a1时，时，有有当当a1a0a=co
8、s 2 0，且，且cos sin cos sin，所以，所以b0.b0.而而由于由于故故即即 故必有故必有ab.ab.【互动探究互动探究】本例题本例题(2)(2)中，若将中，若将的取值的取值范围改为：范围改为：()()，那么，那么a a与与b b大小大小关系如何？关系如何？【解析解析】由于由于 所以所以22故故a=cos 20a=cos 20，且，且cos sin cos sin，所以，所以b0.b0.而而由于由于故故即即 故必有故必有ab.a0a-b0，则，则abab；若若a-b0a-b0，则，则aba11，b0,b0,则则abab；若；若 11，b0,b0,则则aba5x5，则则P P与与
9、Q Q的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】而而 所以必有所以必有PQ.PQ.答案答案:PQPQ考向考向3 3 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013合肥模拟合肥模拟)已知已知a,b,c,da,b,c,d为为实数，且实数，且cdcd，则，则“ab”ab”是是“a-cb-d”a-cb-d”的的()()(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2012(2)(2012湖南高考湖南高考)设设ab1,cb1,clog
10、(a-c)loga a(b-c)(b-c)，其中所有的正确结论的序号是，其中所有的正确结论的序号是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)(3)(3)已知已知-32x-11-32x-1dcd，所以，所以-d-c-d-c，因此当，因此当abab时能够时能够推出推出a-db-ca-db-c，但不一定有，但不一定有a-cb-da-cb-d，如，如a=3,b=2,c=4,d=1.a=3,b=2,c=4,d=1.但当但当cdcd且且a-cb-da-cb-d时，必有时，必有ab,ab,所以是必要不充分条件所以是必要不充分条件.故选故选B.B.(2)(2)选选D.D.由不等式由不等式ab1a
11、b1知知 又又c0cb1ab1，c0cb-c1-c1a-cb-c1-c1，由对数函数的图象与单调性知，由对数函数的图象与单调性知正确正确.故选故选D.D.(3)(3)由由-32x-11-32x-11，得，得-1x1-1x1，所以，所以 -1a,a0 xa,a0，则，则若若xa,aa,a0，则，则 或或若若xa,a0 xa,a0，则，则若若x0 x0，则，则【变式训练变式训练】(1)(2012(1)(2012长沙模拟长沙模拟)下列命题中为真命题的是下列命题中为真命题的是_._.若若ab,ab,则则若若ab0,cd0,ab0,cd0,则则若若ab,ab,且且a,bR,a,bR,则则若若-,-,，则
12、，则1-sin 0.1-sin 0.【解析解析】由于由于 所以所以是错误的；由于是错误的；由于ab0,cd0,ab0,cd0,所所以以 所以所以 故故 所以所以正确；由于函数正确；由于函数 是减函数，是减函数，ab,ab,所以所以 故故正确；当正确；当 时，时，1-sin=0,1-sin=0,故故不正确不正确.答案答案:(2)(2)若若13,-42,13,-42,则则-|-|的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为因为-42,-42,所以所以0|4,0|4,于是于是-4-|0,-4-|0,又又13,13,所以所以-3-|3.-3-|0a0，b0()b0()(A)(A)若若2 2a a+
13、2a=2+2a=2b b+3b+3b，则，则a ab b(B)(B)若若2 2a a+2a=2+2a=2b b+3b+3b，则，则a ab b(C)(C)若若2 2a a-2a=2-2a=2b b-3b-3b，则，则a ab b(D)(D)若若2 2a a-2a=2-2a=2b b-3b-3b，则，则a ab b【思路点拨思路点拨】找准找准创新点创新点由等量关系研究不等量关系由等量关系研究不等量关系寻找寻找突破口突破口(1)(1)利用不等式的性质得到利用不等式的性质得到2 2a a+2a+2a与与2 2b b+2b+2b的大小关系的大小关系以及以及2 2a a-2a-2a与与2 2b b-2b
14、-2b的大小关系的大小关系(2)(2)结合式子的特点构造函数结合式子的特点构造函数f(x)=2f(x)=2x x+2x+2x或或g(x)=2g(x)=2x x-2x2x，研究其单调性，研究其单调性(3)(3)根据单调性，判断根据单调性，判断a a与与b b的关系的关系【规范解答规范解答】选选A.A.由于由于a0,b0a0,b0，且，且2 2a a+2a=(2+2a=(2b b+2b)+b+2b)+b，所以有，所以有2 2a a+2a2+2a2b b+2b+2b，设函数，设函数f(x)=2f(x)=2x x+2x+2x，显然函数，显然函数f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上上单调递增，又单
15、调递增，又f(a)f(b)f(a)f(b)，所以有，所以有ab.ab.故故A A正确，正确，B B错误错误.又又2 2a a-2a=(2-2a=(2b b-2b)-b-2b)-b，所以，所以2 2a a-2a2-2a0g(x)0可得可得 所以函数所以函数g(x)g(x)在在 上递减，在上递减，在 上递增上递增.因此由因此由g(a)g(a)g(b)bab，将，将A A，B B两杯盐水混合后，盐水的浓度两杯盐水混合后，盐水的浓度变为变为 则有则有故有故有答案答案:1.1.若若a a2 2+4b+4b2 2+22a+4b+22a+4b，则实数，则实数a,ba,b满足满足()()(A)a1(A)a1且
16、且b (B)a1b (B)a1或或bb(C)a=1(C)a=1且且b=(D)a=1b=(D)a=1或或b=b=【解析解析】选选B.B.由已知得由已知得a a2 2+4b+4b2 2+2-2a-4b0+2-2a-4b0，即即(a-1)(a-1)2 2+(2b-1)+(2b-1)2 200，只有当，只有当a=1,b=a=1,b=时才有时才有(a-1)(a-1)2 2+(2b-1)+(2b-1)2 2=0=0，因此必有，因此必有a1a1或或b b 故选故选B.B.2.2.若若x-2x-2且且x0 x0，则，则 的取值范围是的取值范围是()()(A)(-,)(A)(-,)(B)(0)(B)(0)(C)(0,+)(0)(C)(0,+)(0)(D)(0,+)(-,)(D)(0,+)(-,)【解析解析】选选D.D.因为因为x-2x-2且且x0 x0，所以当，所以当x0 x0时有时有 00；当；当-2x0-2xN (B)MN (B)M0(sin-1)(cos-1)0，故，故MN.MN.