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1、第九节函数模型及其应用1.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的增减性_ _ _增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳大小比较 存在一个x0,当xx0时,有_单调递增 单调递增 单调递增logaxxnax2.常见的几种函数模型(1)直线模型:y=_型,图象增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.(2)反比例函数模型:y=_型,图象增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(
2、底数b1,a0),常形象地称为指数爆炸.kx+b(k0)kx(k0)(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型,其中最常见的是二次函数模型:_(a0),图象增长特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型:y=图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(
3、1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(4)不存在x0,使.()【解析】(1)错误.当x(2,4)时,x22x.(2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1).(3)错误.幂函数y=xn(0n1)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢.(4)错误.当0a1时,存在x0,有.答案:(1)(2)(3)(4)1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是()(A)x22%(B)x2
4、2%(C)x=22%(D)x的大小由第一年的产量确定【解析】选B.设第一年的产量为a,则a(1+x)2=a(1+44%),(1+x)2=1+44%,解得x=20%.2.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4),故选B.3.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5m+1(单位:元),其中m0,m表示不大于m的最大整数(如3.62=3,4=4),当m0.5,3.2时,函数f(m)的值域是()(A)1,2,3,4(B)1,1.5,2,2.5(C)1,1.5,2.5,3
5、(D)1.5,2,2.5【解析】选B.当m0.5,3.2时,m所有可能值为0,1,2,3共4个,故f(m)的值域为1,1.5,2,2.5.4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()(A)35万件(B)18万件(C)22万件(D)9万件【解析】选B.利润L(x)=20 x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.考向 1 一次函数与二次函数模型【典例1】西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府对
6、该项特产的销售投资收益为:每年投入x万元,可获得利润P=-(x-40)2+100(万元).当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入x万元,可获利润Q=-(60-x)2+(60-x)(万元).问从10年的总利润看,该规划方案是否具有实施价值?【思路点拨】计算实施规划前后10年的总利润.通过比较总利润的大小,判断规划方案是否具有实施
7、价值.【规范解答】在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.则10年的总利润为W1=10010=1 000(万元).实施规划后的前5年中,修建公路的费用为305=150(万元),又由题设P=-(x-40)2+100知，每年投入30万元时,利润P=(万元).前5年的利润和为(万元).设在公路通车后的5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售，则其总利润为W2=-(x-40)2+1005+()5=-5(x-30)2+4 950.当x=30时,(W2)max=4 950(万元).从而10年的总利润
8、为+4 9501 000,故该方案有极大实施价值.【拓展提升】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法.(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.【变式训练】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,
9、B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x0).g(x)=2(x0).(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=6.总利润y=8.25 万元.设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则y=,0 x18.令=t,t0,则y=当t=4时,ymax=8.5,此时x=16,18
10、-x=2.当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.考向 2 指数函数模型【典例2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?【思路点拨】(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半,列方程求解.(2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的,列方程求解.(3)求出第n年后森林剩余面积,根据森林面积至少要保留原面积的
11、 列不等式求解.【规范解答】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则a(1-x)10=a，即(1-x)10=.解得x=1-.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则,解得m=5.故到今年为止，已砍伐了5年.(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为.解得n15.故今后最多还能砍伐15年.【拓展提升】应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x
12、)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.【提醒】解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性.【变式训练】现有某种细胞100个,其中有占总数 的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,至少经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301)【解析】现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数,1小时后,细胞总数为2小时后,细胞总数为3小时后,细胞总数为4小时后,细胞总数为可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100()x,xN*，由100()x1010,得()x108,两边取以10
13、为底的对数,得xlg 8,x 45.45,x45.45.答:至少经过46小时,细胞总数超过1010个.考向 3 分段函数模型【典例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时,求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
14、辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时).【思路点拨】(1)当20 x200时,利用待定系数法求v(x)的表达式,进而确定当0 x200时,分段函数v(x).(2)根据(1)求出f(x),再根据函数的单调性与基本不等式求最值.【规范解答】(1)由题意:当0 x20时,v(x)=60;当20 x200时,设v(x)=ax+b.故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0 x20时,f(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为6020=1 200;当20 x200时,f(x)=x(200-x)当且仅当x=200-x，即x=100时,
15、等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值f(x)max=3 333,即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.【拓展提升】应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏.(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).【变式训练】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向
16、正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值.(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来.(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=34=12,s=412=24.(2)当0t10时,s=t3t=t2;当10t20时，s=1030+30(t-10)=30t-150;当20
17、t35时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.综上，可知s=(3)沙尘暴会侵袭到N城.t0,10时,smax=102=150650,t(10,20时,smax=3020-150=450650,当t(20,35时,令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40.20t35,t=30.沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.【满分指导】函数建模在实际问题中的应用【典例】(12分)(2012江苏高考)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-
18、(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程.(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【思路点拨】已知条件 条件分析y=kx-(1+k2)x2(k0)令y=0求出x,即为炮的射程函数,再求此函数最值飞行物飞行高度为3.2千米,横坐标为a将y=3.2,x=a,代入y=kx-(1+k2)x2(k0)，根据k0，求a的范围【规范解答】(1),由实际意义和题设条件知x0,k0,2分故x=，当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.5分(2)
19、因为a0，所以,炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立.8分即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根 10分判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0，解得a6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013江门模拟)小孟进了一批水果,如果他以每千克1.2元的价格出售,那他就会赔4元;如果他以每千克1.5元的价格出售,一共可赚8元.现在小孟想将这批水果尽快出手,以不赔不赚的价格卖出,那么每千克水果应定价为()(A)1.2元(B)1.3元(C)1.4元(D)1.45元【解析】选B.设水果的成本价为x元/千克,共有
20、a千克,由题意知 解得x=1.3,则每千克水果应定价1.3元,故选B.2.(2013宜春模拟)某市原来居民用电价格为0.52元/(kWh),换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/(kWh),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/(kWh),对于一个平均每月用电量为200kWh的家庭,换装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()(A)110kWh(B)114kWh(C)118kWh(D)120kWh【解析】选C.设在峰时段的平均用电量为xkWh,由题意知,0.52200-0.55x+0.35(200-x)
21、0.5220010%,解得x118,故选C.3.(2013荆州模拟)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a,b,c为待定系数)是()(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)y=a+x-2.0-1.0 0 1.0 2.0 3.0y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02【解析】选B.由x=0时,y=1,排除D;由f(-1.0)f(1.0),排除C;由函数值增长速度不同,排除A,故选B.4.(2013长沙模拟)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，以为半径画圆，由正方
22、形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为_.【解析】由题意实线部分的总长度为l=4(3-2b)+2b=(2-8)b+12,l关于b的一次函数的一次项系数2-80，故l关于b为单调减函数，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为 代入上式得l最小=(2-8)+12=3.答案：31.某产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元,每提高一个档次,每件利润增加2元,用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是()(A)第7档次(B)第8档次(C
23、)第9档次(D)第10档次【解析】选C.设生产产品的档次为x时,获得的利润为y,则y=8+2(x-1)60-3(x-1)=(6+2x)(63-3x)=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864,当x=9时,y有最大值.2.某商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过500元,则超过500元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算:某人在此商场购物获得的折扣金额为35元,则他实际所付购物金额为元.可以享受折扣优惠金额 折扣率不超过200元的部分 5%超过200元的部分 10%【解析】设此人享受折扣优惠金额超过200元的部分有x元,根据题意有10%x+2005%=35.x=250.因此,此人购物实际付500+200+250-35=915(元).答案:915