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1、第5章正弦稳态电路相量法分析电路的基础作业（1）5-6，5-10，5-12，5-14，5-16；5-20，5-22，5-24，5-27，5-29；目录相位差正弦量的相量表示复阻抗复导纳相量图用相量法分析正弦稳态电路正弦交流电路中的功率分析教学要点5.1正弦量的基本概念5.1.1 正弦量的三要素：i(t)=Imcos(t+i)i+_u(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angular frequency)(3)初相位(initial phase angle)iiIm ti(t)=Imcos(t+i)i波形图正弦量的三要素是正弦量之间区分和比较的依据iIm ti(t)
2、=Imcos(t+i)i波形图一般|i|i=00i=0ii0i=-9000初相位ii 是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位（初相角），简称初相，即iii0t相位差(phase difference)。设u(t)=Umcos(t+u)i(t)=Imcos(t+i)相位差=(t+u)-(t+i)=u-i 0，u 领先(超前)i，或i 落后(滞后)u;uiui tu,i0 0，i 领先(超前)u，或u 落后(滞后)i;即它们的初相之差，在任何瞬时都是定值。同频率正弦量的=0，同相：=(180o)，反相：重申：规定：|(180)tu,i ui0 tu,iui0 tu,iui0=90,正交u
3、领先i 90或 i 落后u 90当时，称这两个正弦量为同相；当时，称之为正交；时称为反相。5.1.2正弦量的有效值有效值(effective value)1.数学定义有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为rms。)实质：它是基于周期电流（电压）的热效应与直流电流的热效应相比较而定义的。电流函数i(t)的有效值给定函数y=y(t)2.正弦电流、电压的有效值设电流i(t)=Imcos(t+i)注意:只适用正弦量同理而电压 u(t)=Umcos(t+u)时5.2正弦量的相量表示法 本节是相量法的基础理论，介绍复数的基本知识和正弦量的相量形式；涉及到复数的表示形式和运算、以及相量
4、形式正弦量理论等。5.2.1复数的表示形式及运算1.复数F表示形式：FbReIma 0FbReIma 0|F|代数形式指数数形式极坐标形式2.复数运算A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算直角坐标(2)乘除运算首选极坐标运算复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。+1+j图(a)0+1+j图(b)0F1+F2=FF1+F2=F即如图(a)所示作一个平行四边形；或图(b)将两个矢量首尾相连，都可以得到两个矢量的相加之和。（a)两个复数的乘、除运算，其代数形式比较冗长，分别如下(a1+jb1)(a2+jb2)(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1)(b)采用复数的指数形式进行
5、乘、除运算，比较方便。例如(c)极坐标形式的乘除运算更方便，也是运算中的首选方法：补充：旋转因子3.复数运算中的旋转因子ej,+j,j,-1都可以看成旋转因子。+1j0复数ej=cos+jsin=1 A逆时针旋转一个角度，模不变Aej 例5-1设两个复数A=4+3j和B=3-4j，计算A+B，AB和A/B。加、减计算用代数形式，即 乘、除运算时，可以先将A和B化为极坐标形式，即 解5.2.2正弦量的相量表示法1正弦量的相量表示一个正弦电流量可以用：规定 规定：因为 因为：有欧拉公式的关系：即：所以 所以：(5-4)正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位结论：式
6、（5-4）表示一个实数范围内的正弦量与一个复数范围内的复指数量具有一一对应关系。用有效值上加点的方式表示正弦量的方法称为正弦量的相量形式，既可以与有效值 I 区分，又可以与一般复数区分。注意两者是不同定义域中的量，不用“”表示！(5-4)补例1：已知试用相量表示i,u。解：补例2：试写出电流的瞬时值表达式。解：相量的几何意义、相量图、旋转相量、参考相量旋转因子相量 A(t)是旋转相量旋转相量在横轴上的投影就是余弦函数几何意义+j+10相量图 i u 习惯上，一般取初相为零的正弦量为参考正弦量。将参考正弦量转换成相量形式后，称为参考相量。参考相量j1 0很多时候坐标轴可以省略的2同频率正弦量的运
7、算 正弦量乘以实常数、同频率正弦量的代数和，以及正弦量的微分、积分运算，其结果仍然为同频率的正弦量。把它们转换成相量形式，采用复数计算比较方便。(1)同频率正弦量的线性运算 例这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域i1i2=i3时域频域时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。频域中求解时域频域返回（2）正弦量的微分n重微分运算（3）正弦量的积分n重积分运算 例5-2设两同频率正弦电流分别为:一般首先将不是用cos函数表达的式子转换为cos的形
8、式，然后再采用相量计算。即 解:同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。+1+j0+1+j0-170.540-170.540如上面求解例5-2解(续)例5-3求图5-6中的RL电路在正弦电压 作用下的全响应。设电感的初始电流为I0。解采用三要素法分析：要求时间常数、初值I0和稳态解（或特解），前两个量比较容易。稳态解采用相量方法来计算，因为时域中电路的方程为（设i为待求量）化成相量形式：令：图5-6正弦激励下的过渡过程usRL(t=0)iLS正弦激励下的过渡过程usRL(t=0)iLS后续的解要方便，即：最后：三要素方法解毕！5.3基尔霍夫
9、定律及元件方程的相量形式5.3.1基尔霍夫定律的相量形式时域形式 时域形式相量形式例5-4如图电路的某结点，三个电流分别为 如图电路的某结点，三个电流分别为 i1i2i3分别写出其时域和相量形式的KCL方程并计算结果。解时域形式相量形式：=105j8.665+j8.66=0i1i2i3例5-5试计算端口的电压 ABC u uC uBuA解 直接用相量形式，取写成时域形式的电压为 显然在相量形式计算中 5.3.2元件方程的相量形式RLC其他元件：后面有例题和介绍本书重点介绍的元件时域频域1电阻uR(t)i(t)R+-相量形式：有效值关系：UR=RI相位关系：u,i 同相相量模型R+-相量关系相量
10、图2.电感频域有效值关系U=L I相位关系u 超前 i90j L相量模型+-相量图i(t)u(t)L+-时域模型时域 tu,iui0波形图3.电容频域有效值关系I=C U相位关系i 超前u90时域 tu,iui0波形图时域模型i(t)u(t)C+-相量图相量模型+-4、其他如线性受控源 由于线性受控源的控制量与被控量为线性关系，所以，将其转换成相量形式时也比较简单，两者将也是同频率的正弦量。+ikrikuj时域形式 相量形式例5-62ic1 uF+uL-1mH iSus解 方法一：采用相量法。由已知条件得 而：用相量表示为同理：用相量表示为对应写出时域形式为 求图中电感的电压uL和电容中的电流
11、 ic其中方法二：n 也可以直接采用时域形式求解。即例5-7图(a)和(b)所示的仪表均为交流电压表，各读数为电压的有效值。图(a)中读数，V1：30V；V2：60V。图(b)中读数，V1：15V；V2：80V；V3：100V。分别求出图中的电源端电压有效值Us1，Us2。解 作出相量形式电路，如图(c)，令+us1-RLV1V2（a）RjLci由图（c）所以根据KVL得 于是有效值RjL(d)+us2-RLCV1V2V3(b)i由图（d）同理得 最后有效值：(b)作出相量形式电路，如图(d)所示，小结1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电
12、路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。如：电路的相量模型(phasor model)时域列写微分方程相量形式代数方程LCR uSiLiCiR+-j L1/j CR+-时域电路 相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。5.4阻抗和导纳5.4.1.复阻抗定义正弦激励下Z+-无源线性+-|Z|RX阻抗三角形单位：阻抗模阻抗角阻抗Z是一个复量，故又称为复阻抗。关系：或R=|Z|cosX=|Z|sin复阻抗是电阻和电抗的组合 一般情况下，阻抗的定义是一端口的等效阻抗，也称输入阻抗（或策
13、动阻抗），其实部和虚部都是外加激励角频率的函数，所以有时也把阻抗 Z 写成 Z复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X 电抗(阻抗的虚部)。下面讨论一下电抗：回顾两个公式：L、C元件的感抗和容抗1.电感感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。频率的函数XLXL=U/I=L=2f L，单位:欧的感抗U=L I(3)由于感抗的存在使电流滞后电压。错误的写法2电容容抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。频率的函数的容抗I=CU(3)由于容抗的存在使电流超前电压。错误的写法具体分析一下R、L、C 串联电路：Z（）=R+j(L-1/C)=|Z|L1/C
14、，X0，0，电路为感性，电压超前电流；L1/C，X0，1/C)三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即UXj LR+-+-+-+例.iLCRuuLuC+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型为j LR+-+-+-则UL=8.42U=5，分电压大于总电压。-3.4相量图例5-8 已知图示电路中，R1=20 L=5 mH，R2=5，C=25 F。求（1）当角频率为2000 rad/s时，电路的等效阻抗。（2）当角频率为8000 rad/s时，电路的等效阻抗。（3）当电路的角频率为多少时，电路的阻抗为纯电阻性？此时电阻为多少
15、？j LR1+-R2解端口的等效阻抗为（1）当角频率为2000rad/s时，有（2）当角频率为8000rad/s时，有（3）要求阻抗为纯电阻性，即阻抗Z的虚部为零，即：所以可见：阻抗是频率的函数，电路的频率改变，阻抗也就改变了！j LR1+-R25.4.2导纳的定义对图示的无源一端口网络，导纳Y定义为无源线性网络导纳Y也可以表示为 导纳Y是一个复量，又称复导纳。GReY，为导纳的电导分量；BImY，为导纳的电纳分量。复导纳Y单位：SY复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)；|Y|复导纳的模；导纳角。关系：或G=|Y|cos B=|Y|sin|Y|GB导纳三角形复导纳是电导和电纳的组
16、合容纳BC单位均是西门子（S)。导纳也是一个无源一端口元件的等效导纳（或策动导纳），其实部G和虚部B均为外加激励角频率的函数。仿照阻抗的形式，导纳的一般形式为:R、L、C 元件的导纳（1）R：（2）L：（3）C：感纳BLRLC并联电路的导纳由KCL：iLCRuiLiC+-iLj L R+-Y=G+j(C-1/L)=|Y|C1/L，B0，0，电路为容性，i超前u；C1/L，B0，0，电路为感性，i滞后u；C=1/L，B=0，=0，电路为电阻性，i与u同相。画相量图：选电压为参考向量(C1/L，0)RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象j L R+-5.4.3阻抗与导纳的关系及等效阻抗对同
17、一二端网络:1、关系2、互求计算YZ无源线性网络ZRjXGjB Y一般情况G1/R B1/X。若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。2、互求计算(1)Y2、互求计算(2)同样，若由Y变为Z，则有：ZRjXGjB Y3、阻抗串并联n 串联n 并联等效分压等效分流例5-9 图中已知，电流的有效值为2 A，试求端口电压和两个阻抗上电压的有效值。z1z2解 总的阻抗为 端口电压有效值为：两个阻抗上电压有效值为 结果表明，正弦交流电路中不再是分压要比总电压小的规律了!即有部分（或全部）串联阻抗上电压的有效值会高于端口总电压的有效值。同样在并联分流电路中，也会出现分流电流的有效值大于总电流的有效值的情况。例5-10 已知，电源电压的有效值为220V。求图示电路的输入端阻抗和各个支路的电流解 端口等效阻抗为设电压相量为，则有 Z1Z2Y3Z1Z2Y3电流 为分流电流，即 KCL或分流4、-Y等效阻抗互换直流电阻电路中的与Y等效变换仍然适用于阻抗电路 ZaZbZcZ1Z2 Z3Y ZaZbZcZ1Z2 Z3Y Tobecontinued!且听下回分解！