数学高考冲刺模拟试卷含答案.pdf

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1、高考模拟测试数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 .已知集合4 =k忖 0,/?0,若 优=3,7+2 8=2 指，则 的最大值为1 0 .已知公差不为0的等差数列 4 的前几项和为S“，若火,工,$6 1 0,0 ,则 S,的最小值为一1 1 .已知点A8 在抛物线：y 2=4 x 上，点 M在的准线上，线段M 4、M B的中点均在抛物线r上，设 直 线 与 y轴交于点N（O,），则时的最小值为 一.1 2 .设曲线C与函数/（x）=*x2（ox 2

2、）的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍然为某函数的图像，则实数俄的取值范围为二、选择题（本大题共有4 题，满分20分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.1 3.J 1”的（）aA 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1 4.给定一组数据1 5,1 7,1 4,1 0,1 2,1 7,1 7,1 6,1 4,1 2,设这组数据的平均数为a,中位数为一,众数为c,则（）A.a b c B.c b aC c a b D.b c a1 5 .已知平面a经 过 圆 柱 旋 转 轴，点 A3 是在圆柱。2 的

3、侧面上，但不在平面a上，则下列4个命题中真命题的个数是（）总存在直线/,/u a且/与 A3 异面；总存在直线1,1 u a且/_L A B ；总存在平面分,/3 匚 且尸_La ；总存在平面 A 6 u 且尸/a.A.1 B.2 C.3 D.4TT M7T1 6 .若函数 f（x）=3s i n cox+4 c o sx 0）的值域为4,5 ,则 c o s 的取值范围为（）A.,-B.2 5 5 2 5 5C.D.2 5 5 2 5 5三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.1 7.在直三棱柱 A B C -A 4G 中，A C L B C

4、,AC B C=C Ct=2.c求四棱锥A-3 CG4 体积v；(2)求直线A B,与平面ACA所成角的正切值.1 8,已知三个内角A、B、C所对的边分别为a力,c,a=4,cosB=-：(1)若s i n A =2 s i n C,求 AABC的面积；(2)设线段A3的中点为O,若C D =M，求AABC外接圆半径的值.1 9.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共2 0万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.(1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车(e N*)年

5、后共支出费用为S“万元，求S”的表达式；(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加1 0%,设使用(e N*)年后养护保险年平均费用为C,当=。时，Q最小，请你列出6时C”的表达式，并利用计算器确定。的值(只需写出。的值)20已知函数求证：函数f(x)是/?上的减函数；己知函数/(x)的图像存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=/(x +a)-b的图像关于原点中心对称，判断函数/3)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；若 对 任 意 玉 都 存 在 口 二 及实数加，使得/

6、(I 一 小)+/(占)=1,求实数”的最大值.21.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离,而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系xoy中，定义点4(百,)1),8(马,必)的“直角距离“d(A,B)为:J(A B)=|x,-x2|+|y1-y2|,设 M(1,1),N(1,-1).yrrrT4T.i.LL12i _1-4-2-1O1234xrr-1rTL-21T-：3j._-4 写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点C 的坐标；过点加(1,1),77(-1,-1)作斜率为2 的 直 线 小 4,点。、R 分别是直线小4 上的动点，求d(Q,R)的最小

7、值；设尸(x,y),记方程d(P,)+d(P,N)=8 的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线；答案与解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 .已知集合 A=X|X2,8=1,3,5,7,则=答案 1 解析 分析 直接根据集合运算求解即可.详解 解：因为A =x|x 的二项展开式中产 的 项 为&产 盘 22/,其系数为2 4.故答案为：2 43.l i m 一 83 2 3 +1 答案H 解 分析 由于3 w.3 +1 +-3,进而根据极限法则求极限即可得

8、答案.详解 l i m 上 心-=l i m 年-8 3 +1 -*8 1 1=l i mn ot4故答案为：1 2 y=1 c2=2所以q-。2 =1-2 =-1故答案为：-1.5.在直角坐标系无”中，角a的始边为x正半轴，顶点为坐标原点，若角a的终边经过点(-3,4),则 sin(a+;r)=4 答案 一#-0.8 解析 分析 结合三角函数的定义、诱导公式求得正确答案.4 4 4rW解-ft2 isin=Q ,F1 =5,sin(a+)=-sina=54故答案为：一二6.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法.答案6

9、 解析 分析 利用排列计算出正确答案.详解3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则 共 有&=6种不同的安排方法.故答案为：67.已 知 双 曲 线 一.=1的左，右焦点为、F2,过 的直线/与双曲线M的左、右支分别交于点A 8.若AABF?为等边三角形，则 A B F2的边长为 答案4 解析 分析 根据题意，结合双曲线的定义求解即可.详解 解：如图，设“8用 的边长为r,|A制=?，因 为 工 为 等边三角形，所以|明=M闾=忸 闾=r,由双曲线的方程知a =后，所以由双曲线的定义得iMlTMl=2,忸耳|一|愿|=2,即 r+加一/*=2/

10、-加=2,解得=4，m =2.所以AABK的边长为4.8.在复平面X，内，复 数 所 对 应 的 点 分 别 为ZZ2,对于下列四个式子：,.uuu-2|Uur,2|Uutr uuw,.uutr,uuur,z：=M；(2)|Z1-Z2|=|ZI|-|Z2|；(3)c2+d2=ya2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以(2)正确.西2=|西=/+，所 以 正确.故答案为：(2)(3)9.设匕)，?,。080,若 优=/=3,4 +2 6 =2 遍，则,+的最大值为x y 答案 1 解析 分析 由指对互化对数换地公式得+=1 0 8 3。，再根据基本不等式得。6(0,3 ,进%y而得+L=l

11、og 3 必 w(O,l .x y1 ,1 ,详解 解：因 为 优=,=3，所以x =l og 3,y =1 0 gz,3 ,所以(=l og 3 a,=l og 3 b ,1 1 ,+=l og3 abx y因为4 +2%=26，所以2 次;4(心 丝)2=6,故 8 e(0,3 ,所以，+=l og 3 a b e(0 尤 V1 1故一+一 的最大值为1.x y故答案为：1.1 0.已知公差不为0的等差数列 凡的前项和为s.，若 g,S s，S 7 G -1 0,0,则 S,的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 答案-1 2 解析 分析 对处的值进行分类讨论，结合等差数

12、列前项和最值的求法求得S”的最小值.详解 S“取得最小值，则公差d 0,%=-1 或4=0，(1)当%=0/0 鸟=1*7=7。4 =0,5 =5。3 =T()=4+3 4 =0,5 4 +l(W =-1 0 ,=4 =-6,J =2 0,q=2/?-8,=2n -8 n 0,S7=色 铲 _*7 =7%=-7 0，不合题意.综上所述：。4=，$5=-10,S7=0,S,的最小值为 12.故答案为：-1211.已知点A 8在抛物线:V=4 x上，点M在的准线上，线段M 4、M B的中点均在抛物线上，设直线A B与y轴交于点N（0,），贝I时的最小值为.答案2夜 解析分 析 设4（千，x）,3哈

13、,巴）,A/（T,，进 而 根 据 题 意 得 到，必 是 方 程y2-2my-m2-8 =0的 两 个 实 数 根，故X+%=2根,/=一/一8 ,进 而 得L：y-x=2（x-），再根据直线A 3与y轴交于点N（0,）得=-彳-，最后结合对m 4 2 m勾函数求解即可.详解 解：设4,凹）,8（，%）,加（-1,，）所以A M的中点坐标为,丝土耳）,8 2由于Per,所以（丝$o 2=4 x江 心，即y：一2m M 一加2 8 =0；2 8同理得 y22-2my2-m2-S=0,)|2 2/n y,_ ITT _ 8 =0 ,所以 2，即%，%是方程y -2m y n?8 =0的两个实数根

14、,y2 2my2 m 8 =0所以 M +%=2m,x y2=-m2-8 ,k-4 -2所以 2L_21 X+%“2，故 加：y-y =(x-4 4 m由于直线AB与y轴交于点N(0,)所以 一y =-(0-即=-,m 4 2 m-o o,2,/2 J o+,所以=2夜，故答案为：2 G因为对勾函数y =+：的取值范围是（12.设曲线C与函数/(x)=1g x 2(0 4 x 4 m)的图像关于直线y =Kx对称，若曲线。仍然为某函数的图像，则实数?的取值范围为 答案 1(0,2 解析 分析 设/是/(犬)=*2(0芭加)在点”(见*加)处 的 切 线，进而根据题意得直线/关于y =氐对称后的

15、直线方程必为x =。，曲线。才能是某函数的图像，进而得/的方程为/:y鸣)+如n r,再联立方程即可得加=2,进而得答案.3 12 详解 解：设/是/*)=*/(0 相)在点加(犯哈加2)处 切线，因为曲线C与函数/(X)=*X2(0 4XM的图像关于直线丫 =底对称，所以直线/关于y =后对称后的直线方程必为 =。，曲线C才能是某函数的图像，如图所示直线y =G x与x =。的 角 为 所 以/的 倾 斜 角 为，所以/的方程为I:y=-(x-m)+-m3 1233V312-yy故联立方程得(x-/7 1)d -m2，BP x2-4 x+4 m-n r=0，9x所以 =16-16 m+4 /

16、=0，解得加=2所以加的取值范围为（0,2故答案为：（0,2.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“工 1”的（）aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析 分析先利用分式不等式的解法将4 1或 再 利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 判a断.详解 因为,1,a所 以-1 0,a所 以 匕 1或a 0 ,所 以“1的必要不充分条件.a故选：B14.给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组

17、数据的平均数为。，中位数为b,众数为c,则（）A.a b c B.c b aC.c a b D.b c a 答案B 解析 分析 求得平均数、中位数、众数，由此确定正确选项.W 10,12,12,14,14,15,16,17,17,17,10 +12 +12+14+14+15 +16+17 +17 +1710中 位 数 上 生=14.5,2众数c=17,所以c 匕 a故选：B15 .已知平面a经过圆柱0Q的旋转轴，点A8是 在 圆 柱 的 侧面上，但不在平面a上，则下列4个命题中真命题的个数是()总存在直线/,/u a且/与AB异面；总存在直线/,/u a且/，A 3 ；总存在平面氏A 3 u

18、且尸_ L c；总存在平面月,A B u 且6/a.A.1B.2 C.3 D.4 答案C 解析 分析 根据空间位置关系可直接判断.详解 解：由己知得直线AB与平面。可能平行，也可能相交，所以一定存在直线/,/ua且/与 异 面，故正确；一定存在直线/,/ua且/LAB，故正确；一定存在平面4，A B u/7且尸，a,故正确；当直线A3与平面a相交时，不存在存在平面尸，AB u/3 豆 B H a,故错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故选：Crr mjr16.若函数/(%)=3 s i ncox+4co s d?x(0 x 0)的值域为 4,5 ,则 c os的取值范围为(答案A 解析47

19、1 分 析 由 题 知f(x)=5sin(yx+),tan P=-,0/?,再 结 合 函 数 值 值 域 得IT(f)TT皆W乃-2万，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案 详解 解/(X)=3 sin cox+4cos cox=5 sin(ox+6),(0 0)tan/?=3,sin/?=,cos/?=,令/=cox+0,则 g(t)=5sin/,TT TTfi)TT因为0,所以/+尸,因为函数/(X)的值域为 4,5,则g0r )=4,g()=5L L,、l九一(O7t 八 八 r n 八 (071.八八所以一 w-卜。&兀一。，即B 4 乃一2/?,2 3 2 3因为()一夕2乃，函数

20、y=cosx单调递减，jr 4 16 9 7cos(/?)=sin =,cos(-2/?)=-cos 2/?=sin2/?-cos2=五 一 石=石所以cos”的取值范围为,-3 25 5故选：A三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.在直三棱柱 ABC-A中，A C B C,A C B C =CCt=2.c求四棱锥A-BCG瓦 的体积V；(2)求直线AB|与平面A C 4所成角的正切值.8I答案 3 在2 解析 分析(1)根据题意得AC，平面,进而根据体积公式计算即可；由题可证4 G，平面A C C A，进而N 4A G是直线AB】与平

21、面A C C 4所成角，再计算即可得答案.小 问1详解解：因为直三棱柱ABC 4 4 c l中，CG，平面ABC,所以 C G A C,CC,BC因为 AC_L BC,BCcCC1=C,所以AC，平面BCG g，因为 AC=BC=CC=2,所以 SBCC、B 1=4t 1 o所以四棱锥A BCC隹 的体积V=xS8CG旷AC=x4x2=:小问2详解解：因为直三棱柱ABC 4 4 a中，CG，平面ABC,所以CG因为 AC_LBC,ACI CC,=C,所以BC_L平面ACGA,因为在直三棱柱A B C A4 G中，B C B ,所以gG，平面ACC/，故连接AG，A B,则Z B|A G是直线A

22、 B|与平面ACG4所成角,所以tanN4 A=/=4=也，1 A Q 2 夜 2所以直线A4与平面A C G A所成角的正切值为Y 2 .218.已知三个内角A、B、。所对的边分别为a,4c,a =4,co s B =-,4(1)若 s i n A =2 s i n C,求A B C 的面积；(2)设线段AB的中点为。，若 C D =屈,求AABC外接圆半径的值.答案也5 解析 分析(1)由题知a =2 c,进而根据余弦定理，结合已知得。=2几，s i n 3 =姮，再根4据三角形面积公式计算即可；(2)在 88 中由余弦定理得c=2,进而在AABC中，b=2限,再根据正弦定理求解即可.小

23、问1详解解：因为s i n A =2 s i n C,所以a =2 c,因为 a =4,co s B =-,4所以c=2,因为8w（O,乃），所以s i n 3 =J I二 商/=，4所以 AABC的面积为S&ABC=；a cs i n B=g x 4x=-J 5-小问2详解解：因为线段A8的中点为。，C D =M，a =4,co s B =，4-C D2 -+16-19 1所以在 B C D中，由COSB=3-=-4-=_ _ 1,解得c=2（c=-6c c 八 4c 4舍），所以在A B C 中，b1=a2+c2 2 a cco s 5 =2 4，即/?=2 6，因为8 (0,4)，所以s

24、 i n 8 =J F=嬴7万=丫 幺，4C D b 2 V 6 8 加所以由正弦定理得AABC外接圆半经R满足 s i n -J后 5丁所以AABC外接圆半径R=勺 叵51 9.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共2 0万元；购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.(1)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车(“e N*)年后共支出费用为S“万元，求S“的表达式；(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险费都比

25、前一年增加1 0%,设使用(eN*)年后养护保险年平均费用为c“，当=小 时，G最小，请你列出 6时c”的表达式，并利用计算器确定。的值(只需写出。的值)川 答案(1)S“=一 +2 0,wN*“1 0 1 0八、1 0 xl.l -5-5 4 3 一(2)Cn=-N*;o =7n 解析 分析(1)根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2,公差为0.2,进而得n(n s N*)年后燃油的总费用 是 幺+上”，进而结合题意可得sn=+2 0；1 0 1 0 1 0 1 0(2)由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1 ,公比为1.1,进而得(eN*,6)年后，养护保

26、险费为5,再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得o=7.小 问1详解解：根据题意，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为2,公差为0.2,所 以 购 买 该 种 型 号 汽 车 第e N*)年的燃油费用为an=0.2 +1.8,所 以 购 买 该 种 型 号 汽 车e N*)年后燃油的总费用是“2+L8+2)=二 十上，2 1 0 1 0因为每年养护保险费均为1万元，所 以 购 买 该 种 型 号 汽 车e N*)年后养护费用共万元,C 1 9 2 2 2 9 ”一所以 S”=-1-+2 0 =-1-F 2 0,N

27、*.“1 0 1 0 1 0 1 0 小问2详解解：当6时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加1 0%,所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为1.1,公比为1.1,所以从第七年起，第(e N*,n 6)年的养护保险费用为1 .I ”,e N *,所以购买该种型号汽车n(n e N*,6)年后，养护保险费为6 +I.l x(l-l.r6)1-1.1=1 0 x 1.1 5,所以当 6时，使 用 N*)年后，养护保险费的年平均费用为n经计算器计算得%=7时，C.最小.2 0.已知函数/(x)e R).(1)求证：函数f(x)是 R上的减函数；(2)已知函数f(x)的图像存在对称中心(a,

28、份 的充要条件是g(x)=/(x+a)-b 的图像关于原点中心对称，判断函数/(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；(3)若对任意不田1,川，都存在 1,会 及实数加，使得/(I -烟。+/(玉)=1,求实数的最大值.答案 证明见解析(2)存在,(3)2 解析 分析(1)根据函数单调性的定义证明即可;(2)假设函数f(x)的图像存在对称中心(a,切，进而根据题意将问题转化为(1-2 6)(2 +2 m)+2 2 b-2 b 2?a =0 恒成立,进而得.1 2万=0c 八C八，解方程2-2b-2b-2a=0即可得答案；1 1 3(3)根据题意得1-加内

29、+西工2=。，进而结合己知条件得以m-,m一一 c 1,-，所以n J _ 2_1,3、1 R C-(m-)m i n=不，故M 2.n 2 2 小 问 1 详解解：设对于任意 实数不，w，x,x2,则 小)_ _ _ _ _ _ _ 1 _(2”+1)-(2”+1)2-2,，人“3尸 八 刈 一药-赤丁(2%+1)(2*+1)_(2,，+1)(2”+1)因为看,超e R,玉 0,(2为+1)(2*+1)0,所以 石)-/(/)0,即 n)/(工 2)所以函数/(X)是 R上的减函数 小问2 详解解：假 设 函 数 的 图 像 存 在 对 称 中 心 S，份，则g(x)=/(x +。)=W。的

30、图像关于原点中心对称,2+1由于函数的定义域为R,所以 g (_*)+g (%)=一 +8=0 恒成立，即(1 一 2b)(2x+a+2x+a)+2-2。一 26 2?=0 恒成立,所以1-2b=Q2 2b2b=0解得 a=0,b=-,2所以函数/(x)的图像存在对称中心(，3)I小问3详解3一解：因为对任意外 口,都存在G 及实数用，使得了(I 一，叫)+/(玉)=1，1所以+1+2+1=1,即 2叼+再 为 _ i,所以1 一%+玉工2=0,mx.-1 1即 x2=-=m-万 玉11,m n因为所以m-e m-3因为e h-所以m-1,m-1 e 1,2,n一 2所以m-1 11 3,即m

31、 221 3 1所以一2(根一二)“面二二，所以几 2,即实数的最大值为2.n 2 221.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离,而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系双”中，定义点4 M,乂),3(,必)的“直角距离，d(A,B)为:J(A B)=|x,-x2|+|y1-y2|,设-1).A y；4II-;：1j-1-TIII11 ;1 卜II11L_J _1 _ l-;_JL_ 1 _ _ ；21 1;:_ _4_ t _L_J:1:;1.1II11-4；-3;-2;-1；o1 2；3；4 xIII1；!：-111TIIII1L 11-1 J ；-2

32、1 1II:!1-!4 I-31-4-1-1-!11II；1 -I (J._._1 _.1_ L_ J-4(1)写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点。的坐标；过 点(1,1),(一 1,一 1)作斜率为2 的直线4、4,点。、R分别是直线4、4上的动点，求 d(Q,R)的最小值；(3)设尸(X,y),记方程d(P,M)+d(P,N)=8 的曲线为类比椭圆研究曲线的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线；答案(1)(0,。)(在丁=一%上)(2)1 (3)答案见解析 解析 分析(1)根据题意设C(A,%),进而代入(0,0)检验即可得答案；由题设。(芭,2%-1),砥工2,2-

33、1),进而得d(Q,R)=|%一/l+2I X-工2-”，故令 3/+2,/0西一=。得 1(。,7?)=7 +2,0 ，l(3)根据题意，作出图像，结合图像研究性质即可.小 问 1 详解解：设 C点的坐标为C(毛,%)，若d(C,M)=d(C,N),所以 WT+帆 -所以C点在直线=一上，故(0,0)满足要求.小问2详解解：由题可知，/,:y =2%-l,/2:y =2x +l ,因此。(%,2%-1),R(X2,2X2-1),所以4(。,/?)=|-2 l +K2xi -l)-(2 x2+l)H i-x2|+2|X 1 -x2-l|,令$-2=乙 则d(Q,R)=|f 3t+2,f 0所以 d(Q,H)=T +2,0 W/l所以当1 =1时,d(以R)取得最小值1 小问3详解解：因 d(P,M)+d(P,N)=8,所以|%-1|+卜+1|+卜-1|+卜+1|=8,所以，类比椭圆的几何性质，曲线的性质的性质有：对称性：曲线即是以x轴、轴为对称轴 对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形；顶点：(3,1),(1,3)范围：-3WxW3,-34y 3图像如图所示: