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1、高考模拟测试数学试题（满分150分，时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .设全集Q =H 2 x2-5x 0,xeN ,且 则 满 足 条 件 的 集 合P的个数是A.3 B.4 C.7 D.81-z.2 .若复数z满足=l +i,其中i为虚数单位，则 忖=（）ZA.1 B.7 2 C.2 D.由3.5个人站成一列，甲不站中间且站在乙后面的排法数为（）A.42 B.48 C.52 D.544.已知函数/（x）=e*+aer是奇函数，则y =/（x）图像在x=0处的切线方程为（）A.2x-y=0B.2x
2、+y=0C.x-2y=0 D.x+2 y =0s i n(a-)+cos(一a)5.角。的终边在直线y =2%上，则-.(-J-(=()s i n(+a)-cos(一a)1A.-B.1C.3D.-136.在区间 0,1 上随机取一个数x,则事件“cos匿发生的概率为（)232A.B.C.D.23兀7 .”（l og.2）x2+（l ogz,2）y2=l表示焦点在丁轴上 椭圆”的一个充分不必要条件是（）A.0 a hB.a bC.2 a bD.b 2 3,若将军从点A（3,l）处出发,河岸线所在直线方程为x+y =5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马 的最短总路程为（）A.
3、7 1 0-7 3B.而C.2 7 5-7 3D.2A/5s49.在如图所示的程序框图中，如果。=6,程序运行的结果S为二项式（3-x）的展开式中f项的系数的那么判断框中应填入的关于化的判断条件是（）(mi)A.z 3?C.&v 4?D.k 4?2 21 0.已知K，尸2分别为双曲线A-二=1 （a 0,b 0）的左右焦点，点P为双曲线右支上一点，直线P Ga b交y轴于点Q,且点。，Q,P,居四点共圆（其中。为坐标原点），若射线鸟。是NP鸟耳的角平分线，则双曲线的离心率为（）A.72+1 B.V 3 +1 C.2 D.圣11.已知四边形Q A 8 C的直观图OA 3 C 如图所示，O A=3
4、B C,O A I E C，SO AB C=8,内C D H y,cE，O为OA 的三等分点，则四边形Q 4 5 c沿 轴旋转一周所成的空间几何体的2体积为（）/一D EAr x152A.-713B.4 8 7rD.12%/og 2（x+2）,-2 0,若函数 8（%）=/（/（%）2（。+1 /（/（%）+（尺）恰有7C14.如图在梯形A8CD中，A B/C D,ND=,A 3 =4，A D=CD=2,将该图形沿对角线AC折2成图中的三棱锥3ACD,且 BD=2百，则 此 三 棱 锥 外 接 球 的 体 积 为.8个不同零点，则实数a 取值范围是（）A.（0,1）B.0,1 C.（0,+oo
5、）D.0,+a ）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2 0分）13 .己 知 向 量 次=（1,3）,|而|=2,若（3 砺 一 2砺）砺=1 0,则向量砺与无夹角的余弦值为15.如图，在A A B C 中，点 P在 B C 边上，ZM C=60 ,PC=2,A P+A C=4,若AABC的面积是tS ,则sin N B A P=16.已知数列 4 的前项和为S“，满足2S,=2+（e N*）,设2=（一 1）”为 1，则数列%的an an+前 20 21项和凰2 1 =.三、解答题（本大题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列 a,的前项和为S,
6、.请从2 =3。一3-4，4=一3,=4,4这两个条件中任选一个，证明数列 4,+2是等比数列：数 列 也 为等差数列，4=5,=9,记。,=(见+2)包，求数列匕 的前项和7；.18 .如图，四面体A 8 C D中，AABC是正三角形，AACD是直角三角形，Z A BD=NCBD,A B =B D.(2)若 丽=2诙，求二面角。一4七一。的余弦值.19.中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用8 5的水泡制,再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是2 0).泡制时间x/m i n01234水
7、温y/8579747165(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即2 0)就不能再降的事实，决定选择函数模型=履+2 0(x 2 0)来刻画.令z =l n(y-2 0),求出z关于x的线性回归方程；利用的结论，求出y =3 +2 0(x i 0,c 0)中的人与c.(2)你认为该品种绿茶用8 5 的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？参考数据：I n 6 5 a 4.2,l g 5 9 4.1,l n 5 4 4.0,l n 5 1 3.9,I n 4 5 3.8,l og0 90.6 4.8,o,9,e*2 *6 6.7,4 0 0
8、 -g(x,.-x)(z;-z)”*0.6.参考公式：z=bx+a b=;6 6 7 v(一,i=ia=z-bx-2 0 .已知圆C的方程为/+(-5)2=1 6,直线/的方程为y =3,点尸为平面内一动点，P Q是圆C的一条切线(。为切点)，并且点尸到直线I的距离恰好等于切线P。长.(I)求点尸 轨迹方程;(I I)已知直线加的方程为y =x 2,过直线加上一点R作(I)中轨迹的两条切线，切点分别是A ,3两点,求Z X/W H面积的最小值.2 1 .已知函数/(x)=a l n x-x+-，其中a 0,0 a()与G，G，交点为A,B,|A B|=2,求a.2 3 .己知/(x)=|x +
9、2|+|6-3|(a eR)(1)当a =3时，求不等式/(幻 1 3的解集；(2)若V x；，不等式/(x)4/+x +3恒成立，求。的取值范围.答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .设全集。且P qQ,则满足条件的集合P的个数是A.3 B.4 C.7 D.8 答案I D 解析 详解 Q =x|2 x 2 5 x 0,x eN =x|0 K x w|,x e N =0,l,2 ,所以满足 P =Q 的集合户有23=8个，故选D.-iI I2 .若复数z满足=1 +，其中i为虚数单位，则 囱=（）zA.1 B.7
10、 2 答案A 解析 分析先化简得z =-i,再求出|z|得解.C.2D.百1-z 详解 由题得“下;(1)2(1+O(l-z)-2 zT所以国=1.故选：A3.5个人站成一列，甲不站中间且站在乙后面的排法数为（）A.42 B.48 C.52 D.54 答案B 解析 分析 计算出甲在乙的后面的排法总数，减去甲在中间且在乙的后面的排法总数，可得答案.详解 甲站在乙的后面和乙站在甲的后面人数相同，即甲站在乙后面的排法有（6=6 0种；甲站中间，且站在乙后面，此时乙有两种选择，其余3人全排列，则排法有C；A；=1 2种；则共有6 0 1 2 =48种，故选：B 点睛 本题主要考查排列组合的综合应用，利
11、用对称法是解决本题的关键，难度中等.4.已知函数/(x)=e*+a e T是奇函数，则y =/(x)的图像在 =0处 的 切 线 方 程 为()A.2x-y=0 B.2x+y=0 C,x-2y 0 D,x+2y=0 答案A 解析 分析 由已知函数为奇函数求出。值，然后得到r(0)和f(0),再求出y =/(x)图 象 在 处 的 切 线 方程.详解 由函数/(x)=+a ex是奇函数，可知/(0)=e+a e=0,即a =l,检验可知，函数为奇函数，.f(x)=e-e-x,f(x)=ex+ex,：M=r(0)=2,又/(0)=0,所以切线方程为y =2 x,即2 x-y =0,故 选:As i
12、n (a 乃)+c o s (万一 a)5.角a的终边在直线y =2 x上，则-)-(=()s in (7-c o s (万一a)1 cA.-B.1 C.3 D.-13 答案C 解析 分析 先由直线的斜率得出t a n =2 ,再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式，并在分子分母中同时除以c o s a ,利用弦化切的思想求出所求代数式的值.详解:角a的终边在直线y =2 x上，t a n a =2,e sin(c )+cos(万一 a)-sin e csoa sin 2 +cos tan a+1 o,小 力则-x-；-；=-:-=-=-=3,故选 C.sm(%+a)-cos(一a)-si
13、na+cosa sin a-cos a tan a-1 点睛 本题考查诱导公式化简求值，考查弦化切思想的应用，弦化切一般适用于以下两个方面:(1)分式为角a弦的次分式齐次式，在分子分母中同时除以cosa，可以弦化切;(2)代数式为角a的二次整式，先除以si/a+cos?。，转化为角2弦的二次分式其次式，然后在分子分母中同时除以cos2&，可以实现弦化切.6.在区间 0,1上随机取一个数x,则事件“c o s w g”发生的概率为()2 2 11A.-B.-C.-D.一3 兀 2 3 答案D 解析JT Y 1 分析 根据cos一，求出X的范围，结合几何概型，即可求出结果.2 2 详解 由x e
14、0,1时，,万x,1由 cos ,2 22得一 4尤W1,31-2由几何概型得D 3 1 .r-=1 3故选：D.7.-(logfl2)x2+(logft2)/=1表示焦点在,轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是()A.0ah B.ab C.2ab D.b0 详解 若(log“2)f +(log 2)9=1表示焦点在y轴上的椭圆，则需/o g 20log。2log/,2al即1,所以abab所以“（l o g“2）?+（l o g/7 2）/=1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2 a h,故选：C.点睛 本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.8.唐
15、代诗人李颂的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为f +y2 4 3,若将军从点A（3,l）处出发,河岸线所在直线方程为x+y =5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马 的最短总路程为（）A.V 1 O-V 3 B.屈 C.2 7 5-7 3 D.2非 答案C 解析 分析设点A关于直线x+y=5的对称点A（a,。），则A O-百 为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点A!（a,h）即
16、可得解.详解 设点A关于直线x+y=5的对称点A （a,。）.根据题意，A0-8为最短距离，先求出A的坐标.AA的中点为 直线A 4 的斜率为1，故直线44的方程为丁一1 =一3,即y=x-2.Q +3 。+1-1-=5 ,由 2 2 ,联立得。=4,b=2,b=a-2*,*A（4,2）,则 J 4 2 +2、=2 5/5 ,故AO-b=26-百，则“将军饮马”的最短总路程为26-百 故选：C.点睛 关键点点睛：转化为点A关于直线x+y=5的对称点4与原点。的距离求解是解题关键.s49.在如图所示的程序框图中，如果a=6,程序运行的结果S为二项式(3-x)的展开式中f项的系数的那么判断框中应填
17、入的关于化的判断条件是()(mi)A.z3?C.&4?答案A 解析 分析 根据二项式(3-x)5展开式的通项公式，求出小的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件.详解二项式(3-力5的展开式通项公式&I=C；-35-r-(-x)r=(-l)r I-,令厂 2,7；=(-1)2-33-C 2=2 7 0X2,f 项的系数为 270,S=:2 7 0 =360,模拟程序的运行，由题意可得k=6,S=不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6,&=5不满足判断框内的条件，执行循环体，5=30,k=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120,k=3不满足判断框内的条件，执行循环体，5-360,上2
18、此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为360.故判断框中应填入的关于k的判断条件是女 0,b 0）的左右焦点，点尸为双曲线右支上一点，直线尸士交N轴于点Q,且点。，。，P,居 四点共圆（其中。为坐标原点），若射线工。是NP6片 的角平分线，则双曲线的离心率为（）A.72+1 B,百+1 C.2 D.叵 答案B 解析TF 分析 由。，Q,P,入 四点共圆得到NQa=/。用=万，结合射线8 Q是/尸鸟片的角平分线以及双曲线的性质求得/尸 耳 居=/。月6=/尸月。=2,由此求得|耳|,归闾，结合双曲线的定义求得双曲线的离心率.77 详解 因为点。，Q,P,尸2四点共圆，所以NQP=N
19、Q。玛=.因为射线F2Q是N P F z R的角平分线，所以NP居Q=,由双曲线的对称性知N P F H =N Q F 2 H,所以Z P FtF2=N Q F/=4 PF,Q=?,|可 同=2c，因此|P 6|=c,|尸 周=&,从而2a=|尸耳|-|尸闾=&-=1,2由三视图知原图形为等腰梯形，如图等腰梯形0 LB C,C Z)是梯形的高，C D =2 C U =2,OAOA,BC=B C,所以 0 A =3 8 C,S(M B c=；x(O A+8 C)xC Z)=g x48 C x2=8 ,B C =2,0 4=6,延长B C,A B分别与y轴将于N,E,四边形Q 4 3 C沿 轴旋转
20、一周所成的空间几何体可以看作是是三个直角QA ,QCN,ANBC旋转所形成的圆锥的组合体.由己知N C =O 0 =O A =2=O N,NE=N B =4,3体积为 V =TTX62 X6-7TX22 X2-X42 x4=48万.3 3 3故选：B.点睛 关键点点睛：本题考查旋转的体积，解题关键是确定旋转体的结构，是由哪些基本几何体(圆柱、圆锥、圆台)所构成，然后根据体积公式计算.log2(.v+2),-2x01 2.已知函数/(x)=0,若函数 g(x)=/(./l (x)-(a +i)./(/(x)+a(a eR)恰有8个不同零点，则实数a取值范围是()A.(0,1)B.0,1 C.(0
21、,+巧 D.(),+l,由/Q)=a得t 2,/(x)=，有一个根，不满足条件.若a 0,由/(f)=a得一2/1,x)=r有一个根，不满足条件.若0 a l,由/(f)=a得-1 4 0,或。%1 或，0。2 1，当一 1%0时，/(%)=/,有一个根，当0%1时，/(工)=，2,有3个根，当1%2时:/(x)=r3,有一个根，此时有1 +3+1 =5个根，满足条件.故0。=2 6，所以BO?=6。2+。2,所以BCLCD,又3c_LC4,C4nCD=C,C4,CEu平面A C D,所以8C_L平面AC。，如图将三棱锥3-AC。补成三棱柱BE尸-C D 4,棱柱的上下底面都是直角形，分别取斜
22、边中点M,N,连接M N,取MN中点0,则。为三棱柱BE尸一CD4（也是三棱锥3-ACD）外接球球心，显然。也是AB中点，则厂=3 =向西 =2，4 3 32所以 V=7Tr=71.3 332故答案为：-71.3 点睛 关键点点睛：本题考查求棱锥外接球的体积，解题关键是找到球心求出半径.一般三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与该面垂直的直线上，因此三棱锥中某条棱所在的两个面是以此棱为斜边的直角三角形，则此棱为外接球的直径.15.如图，在AABC中，点P在BC边上，ZPAC=60,PC=2,AP+AC=4,若 4BC的面积是女叵，则2sin N B A P=.答案 立I14 解析 分析 根据余弦
23、定理得到AP，从而得到PAC为正三角形，可得NAPB，再利用面积得PB，然后结合余弦定理得AB，在AA8F中利用正弦定理即可得sin NBAP.详解 在河：中，因为NP4C=60,PC=2,AP+AC=4,则AC=4 AP,由余弦定理得PC?=人产+A C2-2.A P ACcos60，整理得AP?4AP+4=0，解得AP=2，所以AC=2.所以APC是等边三角形，所以NACP=60。，所以 NAPB=120,又因为AA BC的 面 积 为 述，2I 1 3 W所以SA /A1 Zn5 Cr =S A AAiR）P尸 +S 4P P8 sin/AP8+AP AC sin/PAC=*,AH尸 _
24、 2 2 2所以PB=L APB中，AB2=AP2+PB2-2 AP PBcosZAPB=22+l2-2x2xlxcosl20=7所以AB=J7.在APfi中，由正弦定理得,AB PBsin/APB-sin/BAP所以 sin/BAPsin 12014故答案为：叵14 点睛 本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，考查的是学生的计算能力，是中档题.16.已知数列 4 的前w项和为S“，满足2s=/+(%*),设2=(一1)”一5一，则数列抄“的an an+t前 2021 项和 T20 2i=.20232022 解析J 分析 利用4=S“一 S“T(
25、N2)求 得%,注 意 力 =5,得出以后,用裂项相消法求和7202一 详解 因为2S,=+，所以s“=U 2 2 时，a =SG c”(+l)(n-r)nn-S11=-4=耳=罟 =1也适合上式，所以q=，3，所以 to2-(1+)H-F(-F2021 2 2 3 3 4 2020故答案为:20232022202220232022 点睛 本题考查由前项和S,求通项公式，裂项相消法求和.数列求和的常用方法:设数列%是等差数列，血 是等比数列，(1)公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；(2)错位相减法：数列。,也,的前项和应用错位相减法；(1 ,(3)裂项相消法；数列-(左为常数，
26、4 H 0)的前项和用裂项相消法;ana“*k(4)分组(并项)求和法：数列/+4 2 用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；(5)倒序相加法：满足册=A(A为常数)的数列，需用倒序相加法求和.三、解答题(本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知数列 4 的前项和为S”.请从2S“=3/一3 4，6=-3,凡+|=-，一4这两个条件中任选一个，证明数列 4+2 是等比数列：数 列 也 为等差数列，4=5,4=9,记g =(4+为4,求数列匕 的前项和小 答案(1)证明见解析；(2)答案见解析 解析 分析(1)若选条件，根据4
27、=S,-S,(2 2)求解出4,a,-的关系，然后根据等比数列的定义证明 4+2 是等比数列;若选条件，直接根据条件分析凡+1 +2与%+2的关系，根据等比数列定义证明 ,+2是等比数列；(2)先根据 勿 为等差数列结合条件求解出 bH的通项公式；若选条件，q j通项符合等差乘以等比的形式，利用错位相减法进行求和；若选条件，得到 c,J的通项为(2-1(-1)”,然后对分奇偶讨论，采用并项求和的方法进行求和.详解(1)证明：方案一：选条件当=1 时，24=2S=3%3 4,解得q =7,q+2=7+2=9,当 2 2 时，由 2s“=3 4-3-4，可得2s=3%-3-4(-1),两式相减，可
28、得2%=3。“-3。,“_4,即=3。“_1+4,a”+2=3a”_ 1 +4+2=3(a”_+2),数列%+2是以9为首项，3为公比的等比数列，方案二：选条件当 n=1 时，4+2=3+2=-1,当2 2时，。,任1+2=%4+2=+2),数列%+2是以 I为首项，1为公比的等比数列.(2)解：由题意，设等差数列 2 的公差为d,则公 j=二 2,5-3 2b、-b3 2d-5 2x2=1,=1 +2(-1)=2-1,n e N*方案一：选条件由(1),可 得%+2=9-3T=3i,则%=(%+2)2=(2-1)3向，1,=。1+。2+。3 +C=L32+343+5-34+(2-13|,37
29、；=l-33+3-34+-+(2n-3)-3w+1+(2n-l)-3n+2,两式相减，可得-27；=l-32+2-33+2-34+-+2-3fl+1-(2n-l)-3,+2o3 _ q+2=9+2 x -(2“_l 3”+21-3=-1 8-2(n-l)-3,+2,：.Tlt=(n-)-3+2+9,neN*;方案二：选条件由(1),可 得%+2=-1 =(-1),则%=(4+2)勿=(2-1)(一 1),：.Tn=cx+c2+c-+cn=1 +3 5 +(2 1 (1),当为偶数时，7；=1 +3 5 +(2-1)=2+2+2=2x =，y i_ 1当为奇数时，7；,=-l +3-5 +-(2
30、n-l)=2+2+-+2-(2n-l)=2 x-一(2-1)=一，._ -，为奇数 ,为 偶 数.点睛 思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列 q的前项和S,的求解步骤(错位相减法)：先根据数列的通项公式写出数列S“的一般形式：Sn=a+a2+a3+.+%；(2)将(1)中的关于S“等式的左右两边同时乘以等比数列的公比(q w l)；(3)用(1)中等式减去(2)中等式，注意用(1)中等式的第一项减去(2)中等式的第2项，依次类推，得到结果;(4)利用等比数列的前n项和公式以及相关计算求解出S.1 8.如图，四面体A B C D中，A B C是正三角形，AACD是直角三角形，Z A B D =N
31、 C B D,A B =BD.证明:平面A C D 平面A B C ；(2)若 丽=2万后，求二面角。一 A E C的余弦值.答案(1)证明见解析；(2)1.7 解析 分析证明AABOMACBD可得=利用勾股定理证明。再证明QBLAC,即可证明08,平面ACD，利用面面垂直的判定定理即可求证；(2)以AC的中点。为坐标原点，分 别 以0 8,0。所在的直线为x,，z轴建立空间直角坐标系，设A B =2,求出各点的坐标以及平面ADE和平面ACE的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.详解D,(1)取AC的中点O,连接80,。.因为AABC是等边三角形，所以0 3 J_AC,在m)与 ACBO 中，
32、AB=BD=BC,ZABD=ZCBD,所以AABO三AC R D,可得AD=CD,因为 八4。)是直角三角形，所以AC是斜边，可得NAOC=90。，所以0O=，AC,2所以。O?+BO2=AB-=BD1，所以Z8OO=9 0，OBLOD,又因为。0 nA e=O,所以OB _L平面ACO.又。8 u平面ABC,所以平面AC。，平面ABC.(2)由题知，点E是5 0 三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系.塔,g),A=(-l,0,l),设=2,则0(0,0,0)，A0,(),(),C(-l,0,0),0(0,0,1),8(0,6,0),(0,、荏招uuti,AC=(2,0,0)7设平面A)E的
33、一个法向量为z =(x,y,zj,则m -A D=0一 即m-A E =0+Z =0V 3 2 令玉=3,则 z=3,-玉+Z =0所以平面ADE的一个法向量五=(3,百,3).设平面A C E 1的一个法向量为“=(,必*2)n-AC =Q即n-AE =Q则 2x0=0G 2=0，令%=2，则 Z 2=-V 3f +丁 必 +-z2 =0所以平面ACE的法向量为7=e,2,-6)./-m n 2/3-3 /3 -x/3 1所以小 肛 )=抑=的+3+9上 小=访=今所以二面角DAE-C的余弦值为7 点睛 方法点睛：求空间角的常用方法：(1)定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合
34、图形，作出所求空间角，再结合题中条件,解对应三角形，即可求出结果：(2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量)余弦值，即可求出结果.19.中国茶文化博大精深，己知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用85的水泡制,再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是20).(1)小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即泡制时间x/m i n01234水温y/857974716520)就不能
35、再降的事实，决定选择函数模型丁 =履,+20(x 20)来刻画.令z =l n(y-20),求出z关于x的线性回归方程;利用的结论，求出y =A c+20(x N 0,c 0)中的人与c.(2)你认为该品种绿茶用85的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感?参考数据：如65B42,1g 59*4.1,I n 544 4.0,I n 51a 3.9,I n 454 3.8,l o g0 90.6 4.8,e-a 0.9,400,)卜7)_e4 2 66.7 a 0 6.参考公式：z=认+a，b=-;，a-z-b x-667 ZHT-/=1 答案(1)l=0.1x+4.2；C=0.9，k 66.7
36、；(2)4.8 min.解析 分析(1)列出z与x的数据表，求出平均值，求出回归方程中的系数，得回归方程，根据所求线性回归方程与原方程的关系可求得原方程为参数值;(2)由(1)得y=左+2 0,令y=60求得x值即可.详解 解：由已知得出x与z的关系，如下表:泡制时间x/m in01234z4.24.14.03.93.8设线性回归方程1=船+”由题意，得嚏=0+1+2+3+45=2，口.2+41+4.0+3.9+3.8=4,5z,.-z=(-2)x0.2+(-l)xO.l+lx(-0.1)+2x(-0.2)=-l,.号 2 =(2+(-1)2+12+22=10,a=z bx=4+0.1x2=4
37、.2,则z关于x的线性回归方程为1=-o,lx+4.2；由 y=kcx+20(x 0),得 y 20=Zc(x 2 0),两边取对数得，ln(y-20)=InZ+x ln c,利用的结论得：lnc=-).l,ln%=4.2,c eAA 0.9，k=e4,2 66.7;(2)由(1)得，y =66.7 x 0.9+20(x 20),令 y =6 0,得 x =l og09 0.6 4.8.,该品种绿茶用8 5的水泡制4.8 m in后饮用，口感最佳.点睛 思路点睛：本题考查回归方程的应用，非线性回归方程可以通过变形变成线性回归方程，求得线性回归直线方程后，再转化非线性的方程.20.已知圆。的方程
38、为*2+(?一5)2=16,直线/的方程为y =3,点p为平面内一动点，PQ是圆C的一条切线(Q为切点)，并且点P到直线/的距离恰好等于切线P。长.(I)求点尸的轨迹方程；(H)已知直线，的方程为y =x 2,过直线加上一点R作(I)中轨迹的两条切线，切点分别是A,3两点,求 八48火面积的最小值.答案(1)3=4 y；(11)4.解析 分析(I )设点P的坐标为P(x,y),故根据题意得|y -31=J为+(y -一 16,进而整理即可得答案；(I I)设8(,乃)，由导数的几何意义得曲线P在点A,B处的切线方程分别为玉x =2(y +y ),x2x=2(y+y2),设 直 线 加 上 一
39、点 2),进一步得直线A B的方程为江一2y +4 2f=0,进而与中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /2 4f+8的方程联立并结合韦达定理得AB=炉 方.-4 +8，点方程-2)到 直 线 的 距 离d=一,进，4+v而求得A A 8 R面积并根据二次函数性质求最值即可.详解 解：(I)设点尸的坐标为尸(x,y),C(0,5),则点P到直线y =3的距离d=|y-3|,经过点 P作圆 V +(y-5f=16 的切线，切线长为 P Q=/CP2-C22=J x2+(y-5)2-16,因此及一3|=小+幻-5)2-16,整理可得d=4 y,即点P的轨迹方程为：f=4 y；Y(1)对
40、抛 物 线/=4/，求导可得y=耳，故在A(x 1,y)处的切线方程为：y_x=(x%),整理可得：为x =2(y +y),同理在B(占,力)处的切线方程为：X =2(y +%)，设直线加上一点R(r/-2),四=2。-2+y)tx2=2Q 2+%)故A,B 在直线a =2(y +2)上,即直线A 3 的方程为比一 2+4-2，=0.联立X2=4 ytx2y+4-2t=0可得小一2次+4，一 8 =0.二.%+%=2l ,x)x2=4r-8,.|A8|=J+,4产-167+32=J*+4 -47 +8r-4?+8点R(t,t-2)到直线A B的距离d=/,V 4+r2.AB R 面积 S =g
41、 48 .“二 g(/+8)3=1 7 l(r-2)2+43,=4,当且仅当，=2 时取等号，故 八钻火面积的最小值为4.点睛 关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.2 1.已知函数/(x)=a ln x-x +3-L,其中 2.x x 讨 论 A”)的单调性；(2)设me Z,当。=1 时，关于x的不等式/(x)根-(x-2)-ex 在区间(0,1 上恒成立，求加的最小值.答案(1)答
42、案见解析；(2)-3 解析 分析(1)求出函数大宋，讨论aW1 和 1 ln x x +(x 2)/,构造函数，求导，可得存在/使得I n/：一%,由此得出(x)=ln 尤-x+(x-2)e 的单调性，求出取值范围.详解(1)f(x)的定义域为(。,+8),C l 1 M dx+C l 1 (X l)x (Q 1)2XX22X当 a IW O,即 aWl 时，当 xe(0,l)时，/(x)0,则/(x)单调递增，当 xe(l,+8)时，/(x)0,则/(x)单调递减；当0。一1 1,即 1。2时，当xe(O,a l),(l,+e)时，fx)0,x)单调递增.综上，aWl时，“X)在(0,1)单
43、调递增，在(L”)单调递减；当la2时，/(x)在(a 1,1)单调递增，在(0,a-1),(1,转)单调递减；当。=1 时，f(x)=nx-x,由 /(-)m-(x-2)-ex 可得 根,nx-x+(x-2)ex,令 Zz(x)=lnx-x+(x-2)e,x e(0,l,则(无)=(九 一 ,当0 x l时，x-l=2 0,则存在/,使得(为)=0,即e=十，即当 X(0,5)时，M(X)0,(x)单调递增，当 时，”(x)0,hix)/z(x)对任意恒成立，m eZ,所以加2 3,即m的最小值为-3.点睛 关键点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用
44、导数讨论单调性求出函数的取值范围.22.已知曲线G：*2+(y-2)-=4在伸缩变换,下得到曲线C,以原点为极点，x轴的正半轴为 y =2 y极釉建立极坐标系.(1)把G化为极坐标方程并求曲线。2的极坐标方程；(2)射线 e=a(x 7 0,0 a )与 G,C,交点为 A，B，|A B|=2,求 a.答案 I G：/?=4 s i n。，G：P 8 s i n 0；今 或 学.6 6 解析x=pcosO 分析(I)曲线G，C 2根据(y =p s i n。来转化为极坐标方程；x2+y2=p2(2)根据夕的意义建立关于a的方程，然后求解即可.详解 曲 线G：x2+(y-2)2=4,转换为极坐标
45、方程为：Q =4 s i n 6.xx=2,代入曲线G：x2+(y-2)2=4,得到极坐标方程为。=8 s i n,(2)把 6=a代入。=4 s i n d ,即：0 =4 s i n a,转换为 A(4 s i n a,a),同理：B(8 s i n a,a),由于0 a ，x =2x伸缩变换,c 转换为：1 y =2)，所以：|蝴=|8 s i n a-4 s i n a|=4 s i n a =2,解得：s i n a=一,2故：a =或苧.6 62 3.已知/(x)=|x +2|+|a r-3|(a eR).(1)当a =3 时，求不等式/(x)1 3 的解集;(2)若 Er2：，不
46、等式/()4/+3 恒成立，求。的取值范围.7 7 答案 x|-3 x -x+(2)将不等式化为|a r-3 区/+,去绝对值，分离参数可得 ，令函数g(x)=-x +-(尤N),4 x 2a x +一x利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.详解(1)当a =3 时，/(x)=|%+2|+|3%-3|=|%+2|+3|x-l|,当xW 2时，不等式可化为一(x +2)3(x l)3,3xV-2,当一2xl 时，不等式可化为(x+2)-3(x 1)T,2 x l,7 7当x N l 时，不等式可化为(x+2)+3(x l)1 3,解得.1 4 尤 5,7综上可知，原不等式的解集为 x|-3x/；(2)当 X 2 g 时，不等式/(x)x2+x +3 ,即 4 +2+1 c a 3 区 d+x +3 ,整理得|内-3 区+1,则一x2-1 O-3 X2+1 即-X2+2 a x x2+4又无之工，故分离参数可得22a 2 一 工 +一x4a x+x令函数g +芳，显然g(X)在 心,+8)上单调递减一*4 144当-时，x+=2 2 jx=4（当且仅当x2 x x2时等号成立）,7.实数。的取值范围为,4.2