数学高考冲刺模拟试卷及答案.pdf

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1、高考模拟测试数学试题（满分：150分，完卷时间：120分钟）一.选择题（共10小题，每题4分）1.已知全集 U 为实数集，A =（|X2-3X?O）,B =X|X 1,则 An,B）=（）A x 0 x l B.x|O 4x l C.x l 6 c”是“a +h 2c”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.平行四边形A B C。中，点 E 是。的中点，点 F 是 8。的一个三等分点（靠近B）,则EF=（）1 1 I ,A.-A B A D B.-AB+-AD2 3 4 2C.-A B +-A D D.-A B-A D.3 2 2 3x-y+6

2、 2 05 .若直线产a x+2 a 与不等式组0围是（）-9 A.0,-B.0,9 C.0,+oo）D.（-c o,9 6 .在 4 一/的 展 开 式 中 x 的系数是（）A.-2 0 B.-15 C.2 0 D.3 07 .黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比 黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为3 6。的等腰三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AAH C中，生=1 二1,A C 2根据这些信息，可得s i n 12 6=（）BiA,且44+V5R3+V5D.-8C 1 +亚4D.88.设

3、/(x)是函数/(x)的导函数，y =/(x)的图象如图所示，则 y =/(x)的图象可能A.B.2+a x,则下列结论中正确 是(存在实数a,使/(X)有最小值且最小值大于对任意实数“，/(X)有最小值且最小值大于00D.存在正实数和实数%,使/(X)在(-8,%)上递减，在(天,”)上递增对任意负实数小 存在实数%,使/(x)在(-8,%)上递减，在(天,”)上递增10.在空间直角坐标系。-型中有一正三角形A 3C,其边长为4,其中点A在 z 轴上运动,点 B在平面x O y 上，则 0 c的长度的取值范围是()A.2,6C.2A/3-2,2V3+2B.2V2-1,2A/2+1D.12-1

4、,273+1二、填空题（共 7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36分）11.函数/（同=2+/（aeR）为奇函数，则。=.12 .某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积是 cm3,表面积是_cm2.13 .我国古代数学著作 增删算法统宗中有这样一道题：”三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算其大意为 某人行路，每天走 路是前一天的一半，6天共走了 3 7 8 里.”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路.1 4.在AAHC中，内角A,B,C 所对的边分别为。，b,C ,若V S a s i nB +/3

5、bsin A =2 c s i n A）若a=b，则 4=，三角形的形状为1 5.某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、3、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师,则不同的分配方案共有 种2 21 6 .椭圆二+与=1（。方0）的半焦距为c,直线y =2 x 与椭圆的一个交点的横坐标恰a b为c,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.1 7 .已知平面向量工员工，同=咽=3,忖=4,屈B|,则|溷 匹|的最大值是,最小值是_三、解答题（共 5 小题，第 18题 14分，其余每题15分，共 74分）1 8 .函数/（x）=A

6、 s i n（s +e）的部分图象如图所示.求函数/(x)的解析式；求函数g(x)=/(x-2)-2 c o s 2 x在 区 间0,y上的最小值.1 9.如图，直三棱柱 A B C AA&中，A C =B C =A A=2,M、N 分别为 AB、4 G的中点.(1)求证：MN平面AC C/；(2)若4 M=3夜，求二面角g-AM-N的余弦值.2 0 .设等差数列 4 公差为d,等比数列也 公比为9,己 知 麻=4,4=4+仇=5,q =2”.求数列 4 ,也”的通项公式；记g =an-bn,求数列 c,的前n项和Sn.r2 22 1 .已知椭圆C：+方=1(方)右焦点为F(LO)，且过点A(

7、2,0).(1)求C的方程；(2)点尸、。分别在C和直线x =4上，O Q/A P,M为A P的中点，求证：直线QW与直线的交点在某定曲线上.2 2.已知函数，(x)=Y7 1 n x(a 0).(1)若。=2,求曲线y =f(x)的斜率等于3的切线方程；若y =/(x)在 区 间-，e上恰有两个零点，求a的取值范围.答案与解析一、选择题(共10小题，每题4分)1 .已知全集 U为实数集，A =x|x2-3 x?o),B =X|X 1 ,则 an(。向=()A.x|Ox l B,%|0 x C.x l b c”是“a+0 2 c”的()A.充分不必要条件 区必要不充分条件C.充分必要条件 D.

8、既不充分也不必要条件 答案A 解析 分析 本题可根据充分条件以及必要条件的判定得出结果.详解 若a6 c,则a+h 2 c,故 a b c”是“a+h 2 c”的充分条件，令a=5,b=,c =2,满足a+8 2 c,但不满足a6 c,故 a b c”不 是 a+b 2 c 的必要条件,综上所述，“a b c”是a+b2c”的充分不必要条件,故选：A.4,平行四边形A3CD中，点E是O C的中点，点F是8C的一个三等分点（靠 近B）,则乔=（）A.-A B-A D2 3421 1 .C.-A B +-A D3 2B.-A B +-A DD.-A B-A D.2 3 答案D 解析 分析 用向量的

9、加法和数乘法则运算.由题意：点 后 是DC的中点，点尸是8C的一个三等分点，_ _ _ _ _ 1 _ _ 1 1 2：.E F E D +D A +A B+B F A B-A D+A B +-A D -A B A D.2 3 2 3故选：D.点睛 方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.x-y+6 05.若直线yax+2a与不等式组 x 0,卜 八 =9 ,(-)-(-2)：.ae0,9.A.-2 0 B.-1 5 C.2 0 答案A 解析 分析D.3 0首先写出展开式的通项(+1 =C：)=(-1丫 禺/-6,再令3 一6 =3,即可求 详解(J

10、_ *2)的 展 开 式 的 通 公 式 为=C；2(3)=(-邛3 ，令 3 6 =3.则 r =3,故尤3的系数是7；=(1)3 C；=-2 0,故选：A 点睛 本题主要考查了求二项式展开式中某一项的系数，属于基础题.7.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比 黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为3 6。的等腰三角形(另一种是顶角为1 0 8。的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AAHC中，生=叵1，A C 24 +V 58 答案C 解析 分析 结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.详解 依题意可知.I Q。2

11、 V 5-1,A C 4所以 si n 1 2 6 0 =si n(9 0+3 6)=c o s 3 6。=1 2 si r?1 8=l-2 x3-V5 1 +V54 -4故选：C8.设/(x)是 函 数 的 导 函 数，y =/(x)的图象如图所示，则y =/(x)的图象可能是()解析 分析根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可.详解 解：根据导函数图像，丁 =)的增区间为(一3,-1),(0,1),减区间为(一1,0),(1,3),观察选项可得D符合，故选：D.点睛 本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础

12、题.9.已知函数/(x)=：_?+：办2+,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是()A.存在实数“，使/(X)有最小值且最小值大于0B.对任意实数a,/(x)有最小值且最小值大于0C.存在正实数a和实数方,使 x)在(一%为)上递减，在(%,+8)上递增D.对任意负实数”，存在实数%,使/(X)在(-8,%)上递减，在(毛,+8)上递增 答案C 解析 分析 求出导函数，根据导数与单调性、最值的关系判断.i f(x)=x3+a)c+a,-g(x)=f(x)=x3+ax+a,则 g(x)=3/+a,当aN O时，g(x)2 0恒成立，g(x)即/(x)在R为增函数，/(x)=O有且只有一个实根x

13、。，且无%时，/(x)0,f(x)递增，/是极小值点，也是最小值点.C显然正确.0 时/u)m i n=/(o)=o,a0时，/(%0)=焉+“)+4 =(),-ax()-a,a=-0,-1 x0 0 ,X o+1/(必而=/(%)=X：H(2XQ+ux XQ(-t z X y -a)+万ax+UXQ ax+j ox 0 ax。(x 0+3)0,B错误，当。0 时，/(0)=0,而 x =0不是最小值点(因为/(O)w O),因此存在0。0,使得综上得 A 错,由g(x)=0 得百=一/a i 4,-,X X?,g(x)0,X,x x2 H t，g(X)0,即g(x)在(-8,%)和(4,+8

14、)上递增，在(%,2)上递减，所以 g(x)极 大 俶=g(X)=d+a =qX+a =t 7(2 X 1 +3),当 a 0 ,g(x)极小优=g(%)g(0)。，因此g(x)即/(X)在(-8,X|),(*,)，(,+8)上各有一个零点，从小到大依次为在(-0 0,6),&幻 上)(X)0，/(幻递增，D错误.故选：C.点睛关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性与极值.解题基础是掌握单调性与导数的关系.解题关键是对“存在”、“任意”等词语的正确理解，掌握相应命题的求解方法.1 0.在空间直角坐标系。-x y z 中有一正三角形ABC,其边长为4,其中点A在 z 轴上运动,点 B在平面x

15、 O y 上，则 OC的长度的取值范围是()A.2,6 B.2&一1,2&+1 C.2 7 3-2,2 7 3 +2 D.2 7 3-1,2 +1 答案C 解析 分析取A8的中点为。，连接。，C D,根据题中条件，求出0。，CD；得到点。在以 D 点 为 圆 心，以 2 石 为 半 径 的 圆 上，根 据 圆 的 性 质，结 合 题 意，即可得出OC-ODOCOD+CD,从而可得出结果.取A3的 中 点 为 连 接0。，C D,因为在空间直角坐标系中，Z A O B =90,即AAOB为直角三角形，又AB=4,所以。=,。6=2；2因为AABC是边长为4的等边三角形，所以CD=-22=2技因此

16、点。在以。点为圆心，以 为 半 径 的 圆 上，为使0 c的长度取得最值，只需O,C,。三点共线，因此一|0胃V 10clsin A-2csin A 若a=b,则4=三角形的形状为 答案.?.等腰三角形O 解析 分析 由给定等式边化角得回=c,再用余弦定理求出cos A即可得解.详解AABC 中，由正弦定理及给定等式得Gsin Asin B+/3 sin Bsin A=2sin Csin A,因为sin A w O,所以 6 sin 3 =sinC，所以=用小 A 向 A 6？+c2/h2+3h2 b2 A/32bc 2屉2 27t又0A =4,易得co s a=；,则s i n a =1，进

17、而表示B?4，作图分析只讨论。e 0。,1 8()；利用分类讨论 与乱的投影的正负，以 与垂直，与B垂直作为分界线，从而分三类讨论单调性，求得分别的最值，即可求得答案.详解 因为忖=2,忖=3,忖=4,?B -|,可设=(2,0),3 =(4(：05 4,4 5泊4),(=4 ,易得co s a=,则 s i n a=4 4所以|a?c|4鬃 co s q|+|4鬃 co s(a-q)或W?q|4鬟co s g|+|4鬃co s(g-a),其外有绝对值，结果一样故后面只讨论前者,将其整理为卜?c|卜?c|8 co s I+|3 co s +3 V1 5 s i n r|；从图象中可看出对顶角部

18、分(无论阴影部分还是非阴影部分)是对称的，所以只讨论6G()O,180O 当 与,5的投影均非负时，显然以 与 垂直是第一个分界线，则4i馥,90则I词网1 looser+3-715 sin=16sin+j)，患n/11,cos/163A/1516因为sin 2/121 128-V-256 2561 ,=sin452所以(T 45由j?q j?905 j/i3sin(q-匕),壬nb=-,cosbi 27显然 在第四象限，因cos2(-45)=5 记=8$2万，所以-45。80,即0-h 45?90 90-b 135 7 90 a 90-b+a 135+n 225,故90 90-b q-b?9

19、0 b+a/10cos-=4/10?215肛皿=4/10sin(90-=4/10cosh=35/15；当 与 的 投 影 均 为 负 时，则q?(90 a,180口所以I?|/2?c|-llcos-3/15sin7=-16sin+j)，和nJ=j,cosj=由中0 勺 45,B|J90 90+a+/q+j?180 j O,y O,O e m卜勺部分图象如图所示.求函数“X)的解析式;(2)求函数g(x)=yX71-2 c os 2 x在 区 间0,7T-上的最小值.答案 x)=2 s in 2彳+讣 一3.解析 分析(1)由图象可得出/(x)的最大值和最小正周期，可求得A、的值，再由=2结合。

20、的取值范围可求得9的值，进而可求得函数/(x)的解析式；利用三角恒等变换思想化简函数g(x)的解析式为g(x)=2&s in 1 2 x-。，由x e 0,1可求得2 x-。的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数g(x)在区间JT0,y上的最小值.详解(1)由图象可得A=%,所 以,若=2,八 7t 71 71 5 万 71 71 一,/口0 夕 ,一&(p ,/.(p-,可得(p2 3 3 6 3 2因此，/(x)=2sin(2x+?)；/、.71 2cos2x=2sin 2x-2 cos2xI 6 J二百 sin 2x-cos 2x-2 cos 2x=G sin 2x-3 cos 2

21、x=2 g sin 2x-,71 万 c 乃 2万当0,时，一一2x一一，2 3 3 3所以，当2%一(=一(时，函数g(x)取最小值，EP(x)mjn=2A/3sin-y j =-3.点睛 方法点睛：根据三角函数/(x)=Asin(&x+)+人的部分图象求函数解析式的方法:求A、h:A ，b=(一)“&)加.；22求出函数的最小正周期T，进而得出0=；T(3)取特殊点代入函数可求得。的值.19.如图，直三棱柱 ABC-4AG 中，AC=B C =A A,=2,M N 分别为 AB、B的中点.(1)求证：MN平面ACGA；(2)若4=3直，求二面角4-4M-N的余弦值.答案1(1)证明见解析；

22、士 叵.3 解析 分析(1)取AC的中点。，连接OM、0G，证明四边形。MN G为平行四边形，可得出M N H O G，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；(2)以点C为坐标原点，C4、CB、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,利 用 空 间 向 量 法 可 求 得 二 面 角 的 余 弦 值.详解(1)取A C的中点。，连接O M、0G，在AAH C中，因为M为A B中点，。为A C中点，所以且O A/=，BC,2；BB、/CCIRBB、=C G，所以，四边形BB|G C 平行四边形，所以，BC BCi 且 B C=B C i，又因为点N为4G的中点，所以C NB C,且G

23、N=：B C,所以。M G N且O M=N,从而四边形。MNG为平行四边形，所以M N O G，又MNZ平面A CGA，O C|U平面A CG4,所以MN平面A CG4；(2)在直三棱柱A B C A A C中，8 g，平面ABC,A B I平面A B C,则8耳_1,4 8,因为4M=3 0，BBI=4 ,所 B M =可 不 二 威=6，故 4 3=2及，A C2+B C2=A B2.从而 AC J_BC-以点。为原点，C4、CB、CG所在直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系C一孙z如图所示，则 M（l,l,o）、A（2,0,4）、耳（0,2,4）、N（0,L 4）,而瓦=（-1,1,

24、4）,胸=（1,-1,4）,2 W 7 V=（-1,0,4）,设平面M 4,用 的法向量为彳=(x,y,z j，则勺-MA =0雇函=0即,王一y +4 Z =0一%+y +4 Z|=0X =x解得 八匕=0令X =1,得 勺=(1,1,0)，设平面MA N的法向量为1=(x2,y2,z2),2 -M A,=0n-MN=Qx7-y7+4 z,=0 x,=4 z,即 ,解得1-。-X2+4Z2=Q y2=8Z2令Z 2=l,得 后=（4,8,1）,所以co s =n n2 _ 1 2272亍由图可知，二面角g-4-N为锐角，所以二面角4 一 4-N的 余 弦 值 为 逑.3 点睛 思路点睛：利用

25、空间向量法求解二面角步骤如下：(1)建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；(2)设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量(注:若半平面为坐标平面，直接取法向量即可)；(3)计算(2)中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.2 0.设等差数列 4公差为d,等比数列也 公 比 为 已 知q=4，%=4+仇=5，4 =2 d.（1）求数列%,2的通项公式；记C“=an-bn,求数列%的前几项和S,.答案 /=2-1,包=4 ，S“=93X4 +解析 分析（1）将条件均用基本

26、量表示，列方程求解即可；写出S”和4 S“，作差，利用等比数列的求和公式整理即可.详解贝）：伉+优=5,；.白（1 +4）=5,又,：q=2d,%=%，q（l +2 d）=5,4 =4 +2 d=5 ,，4 =5 2。，（5-2 d）（l +2 d）=5,解得：4=0,4=2,若4 =0,g =2 4 =0（舍去），若d=2,q=2d=4,b、=%=C I 3 .2d=T,an=4 +（-1”=2n l,勿=伪01=4，1%=4 =（2-1）4 1,S“=1 +3x4+5 x4 2+（2-l）4 T ,4 S“=4 +3x4 2+5 x4，+（2-1）4”,-3S“=1 +2 x4 +2 x4

27、 2+2 x4、+2 x4 T-（2-1）x4”=l +2 x-（2-1）x4=-6-n-5 x4A 5.3 3 点睛 本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力,是基础题.2 1.已知椭圆C：工 +3=1(。0)右焦点为尸(1,0),且过点村(一2,0).(1)求C的方程；(2)点P、。分别在C和直线x=4上，O Q/A P,例为”的中点，求证：直线OM与直线Q E的交点在某定曲线上.2 2 答案 工+汇=1;证明见解析.4 3 解析1分析(1)根 据 已 知 条 件 求 得 由 此 求 得。方程.(2)设 出 的 坐 标，求得直线A P的斜率，根据O Q/A

28、 P求得直线。的方程，从而求得Q点的坐标，计 算 而 而=0，由此得到O M L Q F ,从而判断出直线O M与直线Q F的交点在圆(x+y2=J _上.-4 详解(1)依题意知A(2,0)为椭圆C的左顶点，故。=2,又 尸(1,0)为C的右焦点，所以-6 2=1.于是尸=3,b=6%所以C的 方 程 为2二+v乙2=1.4 3 设 POO，%）（XH 2）,则 M/一2 J o 2,2 r直线A P的斜率上=7,%+2又O Q H A P,所以直线OQ的方程为y=x0+2（4 v 、令 x=4 得 Q 4,-,x（）+2,丽=（胃与，用 二（3,4、，（2 2）x0+2?O M F Q=3

29、（。2）+2 =3（汇-4）+4 y；（*）一 2 x0+2 2（x0 4-2）2 2又尸在C上，所 以 今+为=1,即34+4巾=1 2,代入（*）得 两 无=0,所以。M L Q F .故 直 线 与 的 交 点 在 以 竹 为 直 径 的 圆 上，且该圆方程为(X；)+/=(.(1 A2 即直线OM与直线Q F的交点在某定曲线x-+y2=-.124 点睛 本题解题关键在于判断出OM LQF,采用的方法是利用向量数量积的坐标运算.22.已知函数/(x)=x?-alnx(a 0).(1)若。=2,求曲线y=/(x)的斜率等于3的切线方程；若y=/(x)在 区 间 上 恰 有 两 个 零 点，

30、求。的取值范围._e 答案(1)3X 7-2-21n2=0；R e/.解析 分析(1)求出导函数，令r(x)=3求得切点坐标后可得切线方程；求导函数/(X),确定/(X)在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间上，然 后 得 函 数 在 上 的 极 小 值，由极小值小于0,区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论.详解 由已知函数/(x)定义域是(0,+8),小2 OI-、2 2(x+l)(x-l)(l)/(x)=x-21nx,j(X)=2x =-,x x2 i由 r(x)=2x =3 X =2(X=-舍去)，x 2又/(2)=4 -21 n2,所以切线方程为 y_(4 _21 n2)=3(x 2),即 3x_y_2 _ 21 n2=0；易知A*)只有一个极值点J-,要 使 得 有 两 个 零 点，则即二a 2e2,V 2 e U e2此时上/(x)o,r(x)递增,综上。的范围是伽 .点睛 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题.函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的。范围，在此范围内计算 了。)的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论.