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1、2022年中考数学压轴题1.【阅读】如图 1,四边形 O 4 BC 中，O4=a,O C=8,B C=6,Z A O C=ZB CO=90 ,经过点。的直线/将四边形分成两部分，直 线/与 OC所成的角设为0,将四边形0/8 C的直角/0C8沿直线/折叠，点 C落在点。处，我们把这个操作过程记为 6,a .【理解】若点。与点4重合，则这个操作过程为F Z4 5 ,8 ；【尝试】（1）若点。与 04的中点重合，则这个操作过程为F ZJ 4 5 ,1 6 1；（2）若点。恰 为 的 中 点（如图2）,求。的值；【应用】经过心4 5 ,操作，点 8落在点E处，若点E在四边形。/8。的边N8上，直线/
2、与 相 交 于 点 R试画出图形并解决下列问题：求 出 a的值；若尸为边O/上一动点，连接尸E、P F,请直接写出尸+P E 的最小值.（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：夜或企：V 2：2）解：（1）点。与。1 的中点重合，如 图 1,由折叠得：N C O P=NDOP=4 5 ,N C=N O D P=9 0 ,第1页 共1 2页：.CP=PD,：OP=OP,ARtAO C P RtAO r P QHL),：.OC=OD=S,。为04的 中 点，OA=。=1 6,则 这 个 操 作 过 程 为 砥4 5 ,1 6 ；故 答 案 为：4 5 ,1 6；(2)延 长MD、O A,交 于
3、 点N,如 图2.V ZAOC=ZBCO=90,N 4 0 C+N 8 c o=1 8 0 ,:BC0A,：.ZB=ZD A N.在 B O M和 4 D N中，2B=乙DANBD=AD,、乙BDM=乙 ADN:.4BDM%AADN CASA),：.DM=DN.V Z0D M=Z0CM=9Q,根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得0M=0N,，根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得N M O Z)=N N O D第 2 页 共 1 2 页由折叠可得NMO0=NA/OC=e,：.ZCOA=3Q=90,9=30；【应用】过点8作5”，0 4于 点 用 如 图3.VZCOA=
4、90,ZCOF=45,.ZFOA=45 .点8与点E关于直线/对称，：.ZOFA=ZOFB=90,：.ZOAB=45,：.ZHBA=90-45=45=/HAB,:,BH=AH.9：CO VOA,BH.LOA,：.CO/BH.:BCOA,四边形BCOH是平行四边形，:BH=C0=8,0H=CB=6,：.OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14.:a的值为14.过点8作8HJ_04于点，过点尸作。力的对称点0,连接4 0、EQ,0 B,如图4,第 3 页 共 1 2 页则有/。4。=/见。=45,QA=FA,：.ZQAF=90Q.在 R 3 H A 中，AB=y/BH2+AH2=8&.在 R t
5、Z 0E4 中，ZAFO=90,ZA O f=ZOAF=45:.AF=O F=%=7 五,：.AQ=AF=l/2.在 RtA0C5 中，0B=V O C2+BC2=V 82+62=10.在 RtAOFB 中，BF=AB-A F=8 a -7V 2=V 2.由折叠可得EF=BF=V 2,：.AE=AF-EF=12-V 2=672.在 RtAQ4E 中，EQ2=4E2+4Q2=(6A/2)2+(7V2)2=170.根据两点之间线段最短可得：当点E、P、0 三点共线时，PE+PF=PE+PQ最短,最小值为线段E。长.J.PE+PF的最小值的是g U.2.如图，力 8 是 的 直 径，/8=4,点 P
6、 是 上 方 圆 上 的 一 个 动 点，连接力 尸，作NR18的平分线/C,交。于点C,过点。作 8，/尸交N尸的延长线于点O.(1)求证：C。是0。的切线；(2)当4P=2时,四边形/P C O 是平行四边形；第4页 共1 2页(3)连接。尸交ZC 于点，连接。尸，当为P=2 或 2/时;(?尸与/O A/相似.图1./C是N R/5的平分线，：.ZC A P ZC A O,：OA=OC,：.NOAC=ACAO=NCAP,J.OC/AD,JAPA.CD,：.COVCD,是。的切线;(2)由(1)知，OC/AP,如果四边形/PCO 是平行四边形，则 OC=/P,即 AP=%8=2,故答案为2
7、；(3)如图2,延长。交圆于点4,连接尸”,第5页 共1 2页Dr ；j z ,图2CD是O O的切线，：.ZPCO+ADCP=9Q,：C/是直径，ZCPH=90=ZCPO+ZOPH=ZPCO+ZOHP,：.ZDPC=ZOHP=APAC,若CZ)P与4OM相似，则存在/4 W O=9 0 或/4 O M=9 0 两种情况，当N/M O=9 0 时，：ZCAP=ZCAO,ZPMA=ZOMA=90a,AM=AM,:.丛MAP咨&MAO(AAS),：.PM=OM,*.Q =OC,OMA,AC,：.AM=MC,.四边形/尸CO为平行四边形，而。.四边形 C O为菱形，贝I AP=AO=%8=2；当/。
8、阳=9 0 时，则/O P为等腰直角三角形，故/尸=何。=2或；故答案为：2或2企.3.如图，在RtZXMC中，ZACB=90,以斜边”上的中线 8为直径作。，与BC交于点M,与N 3的另一个交点为E,过M作垂足为M(1)求证：是。的切线；(2)若。的直径为5,s in B=*求E Q的长.第 6 页 共 1 2 页：OC=OM,：/OCM=/OMC,在RtZ V f AC中，CO是斜边4 5上的中线,:CD=%B=BD,:./DCB=/DBC,：,/OM C=/DBC,：OM BD,：MN 工 BD,J.OMLMN,TOM过 O,M N是。的切线；图2(2)解：连接。M,CE,:C O是。的
9、直径，：.ZCED=90,NDMC=90,第 7 页 共 1 2 页即 m _8C,CELA B,由(1)知：BD=C D=5f M 为 8 C 的中点，3Vsin=1,4cosB=引在 中，8例=8 0cos8=4,:B C=2 B M=8,Q9在 Rt/XCEB 中，BE=BC s B=等，：.ED=B E-BD=32-5=g7.4.已知NMPN的两边分别与。0 相切于点/,B,。0 的半径为八(1)如 图 1,点 C 在点4 B 之间的优弧上，N M P N=80 ,求/C 8 的度数；(2)如图2,点 C 在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形/P 8 C 为菱形，N/P 8 的度数
10、应为多少？请说明理由；(3)若 P C 交。于点。，求 第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含，的式子表示).图1,：PA,P 8 为。的切线，：.Z P A O=ZPB O=90 ,V ZA PB+ZPA O+ZPB O+ZA OB=360 ,第 8 页 共 1 2 页A ZAPB+ZAOB=SO,V ZAPB=SO0,A ZAOB=00,/.ZACB=50；(2)如 图2,当N 4 P B=6 0 时，四边形Z P 8 C是菱形,连 接。4 OB,由(1)可知，N4OB+N4PB=180,V ZAPB=60,A ZAOB=120,A ZACB=60=NAPB,点C运动到PC距离最大，：.P
11、C经过圆心，9：P A,尸8为O。的切线，:.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30,又:PC=PC,:APgXB PC (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30,:AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形Z P 8 C是菱形；(3)。的半径为小.OA=rf OP=2r,：.AP=V 3 r,PD=r,第9页 共1 2页V ZAOP=90Q-Z APO=60a,二厢的长度=r,阴影部分的周长=以+即+前=V 廿+*=（V3+1+J）r.5.如图，必 为。的切线，P8C为。的割线，于点。，/Z）C的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：ZBAE=NAC
12、B.【解答】证明：连接ON,OB,OC,BD.：OALAP,ADI.OP,由射影定理可得：PA2=PDPO,A D P D P D.（5分）又由切割线定理可得P=PBPC,:.PBPC=PD，PO,；.D、B、C、。四点共圆，（点分）ZPDB=ZPCO=N（）BC=NODC,NPBD=ZCOD,JAPBDsCOD,PD BD 八:.=,（15 分）CD 0D:.BD，CD=PD*OD=AN,.BD AD 布二CD又 NBDA=NBDP+900=NOZ）C+90=A ADC,:BDASADC,：.ZBAD=ZACD,：.AB是4DC的外接圆的切线,：NBAE=/ACB.第 1 0 页 共 1 2
13、 页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x 轴对称，过点/任作直线交抛物线y =#于 P,0两点.（1）求证：Z A B P=A A B Q-,（2）若 点/的 坐 标 为（0,1）,且N P 8 0=6 O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P 0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t =xPxQ.B C yP+t|%p2+t
14、|%p2一|x p%Q|x p(x p-%Q)2 =2 2 -2B D y Q+t -%Q2+t -XQ2-XpXQ-XQ(XQ-Xp)XpXQPC xP”,B C PC又因为而=一五所 以 访=而因为 N8 CP=/8 O0=9O ,所以 BCPSB。,第11页 共1 2页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设PC=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZA B P=ZA B Q=30 ,B C=V 3 a,B D=V 3 b,所以/C=V 5a-2,A D=2-Wb.因为 PC。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ A D b 2-y/3b所以Q+力=娼ab.由（1）中 px Q=-9t,即一a b=一去 所以a b =9，c i b 于是可求得a =2b=V 3.将力=*代 入y =4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y =-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =-苧x +1或y =x+l.第1 2页 共1 2页