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1、2022年中考数学压轴题1.已知抛物线y=a x 2+bx+c顶 点(2,-1),经 过 点(0,3),且与直线y=x -1 交于“，B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上恰好存在三点0,M,N,满足求S 的值；(3)在 4 8之间的抛物线弧上是否存在点尸满足/尸8=90?若存在，求点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.(坐标平面内两点A/(x i,yi),N(X 2，y2)之间的距离MN=一 血/+(y】一、2 尸)解：(1).,抛物线的顶点为(2,-1).顶点式为尸a (x -2)2-1:抛物线经过点C(0,3)：.4a-1=3解得：a=l.抛物线的解析式为=(%-2)2-1 =
2、x2-4 x+3二产3解得:猊菜猊/：.A(1,0),B(4,3)：.AB=J(4-l)2 +3 2 =3A/2设直线歹=x-1 与y 轴交于点E,则 E(0,-1)：.OA=OE=：.ZAEO=45 S&QAB=S&MAB=S&NAB=S.点。、A/、N到直线N8的距离相等如图，假设点M、N在直线48上方，点 0在直线Z8下方:.M N/AB 时,总有 SMABSNABS要使只有一个点Q在直线A B下方满足S&QAB=S,则。到A B距离必须最大过点。作 0 C y轴交45于点C,Q D L 4 B于 点。./CD0=9O ,N D C0=N N EO=4 5.8。是等腰直角三角形第1页 共
3、9页:DQ=孝 CQ设 0(f,?-4?+3)(1 /4),则 C(f,L l)：.C Q t-1 -(P-4 1+3)=-於+5-4=_(z-|)2+11=|时，C。最大值为3.V2 9 9V2*DQ最大值为月 x-=-L 4 o:S=S&QAB=AB*DQ 4 x 3V2 x 2.=(3)存在点尸满足乙4 PB=90.V ZAPB=90,AB=3&：.AP2+BP2=AB2设 尸(p,/-4p+3)(ipV4)：.AP2=(p-1)2+(p2-4/2+3)2=p4 -*3+23/-26/7+10,BP2=(p-4)2+(p2-4p+3-3)2=p4 _ 8P3+17p2-8P+16：.p4
4、-8P3+23p2,2如+10取4 -8P3+17/-8夕+16=(372)2整理得：p4 -8P3+2022 -17/r+-4 =0p2(/-82+16)+4p2-17P+4=0p2(p-4)2+(4p-1)(p-4)=0(p-4)p2(p-4)+(4 p-1)=0Vp l p-IWO,P2tp+1-4 0=0第2页 共9页解得：pi=3/5,p2=3.5(舍去)3+V5.点P 横坐标为一 时，满足/尸 8=90.2.抛物线y=ae+6x-6a与 x 轴交于4 8 两点，且 N (-2,0),抛物线的顶点为P.(1)求点P 的坐标；(用只含。的代数式表示)(2)若-8 W a W-5,求 面
5、 积 的 最 大 值；(3)当。=1 时，把抛物线=0?+-6a位于x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象.若直线y=-x+f与新的函数图象至少有3 个不同的交点，求 t 的取值范围.解：(1):点 4 (-2,0),在 抛 物 线 二 小+版-6a上，/4 a-2b-6。=0,b-a,y=Q，_ dx _ 6Q=ci(%_ z)2 .点P 坐标为(4，(2)由(1)可知，抛物线的对称轴为直线 =今 点B 与点A 关于直线%=/对称，：.B(3,0),：.AB=5,丁点尸坐标为 4 8。面积 S=：X 5 x|=苧 I a|.-5 S =-萼 如 随 a 的增大而
6、减小.O第3页 共9页:.a=-8时，4 A B P面积的最大值为1 2 5.(3)V a=l,b=-a,*.y=x-x -6,y=x 2 -x -6 与 x 轴交于 Z (-2,0),B(3,0).新函数为y=%2%6-%2+x +6(%3 或 x -2)(-2 x 3)当直线丁=-田7过点3 (3,0)时，直线与新函数图象有3个不同的交点.即-3+=0,解得 =3；当直线y=-x+Z 与抛物线=-f+x+6 (-2 x 3)有唯一公共点时，直线与新函数的图象有3个不同的交点.即方程-f+x+6=-x H有两个相等的实数根.整理，得 x2-2 x+r -6 =01=4 -4 (/-6)=0,
7、解得，=7,.1 的取值范围为3 W/W 7.3.已知：等腰 0 4 8 在直角坐标系中的位置如图，点 4坐 标 为(-38，3),点 8坐标为(-6,0).(1)若将 0 4 3 沿 x轴向右平移。个单位，此时点/恰好落在反比例函数夕=苧的图象上，求 a的值；(2)若 0/8 绕点。按逆时针方向旋转a 度(0 a 3 6 0).当a=3 0 时，点 8恰好落在反比例函数y=的图象上，求人的值；问点/、8能否同时落在中的反比例函数的图象上？若能，直接写出a 的值；若不能,解：(1)设点/平移后落在双曲线夕=竽上时，坐标为，(m,),U：A(-3 V 3,3),由已知得=3,(1 分)第4页 共
8、9页代 入 歹=婴，求得加=2 百；(2 分)，平移的星巨离。=|2 遥一(-3V 3)|=5 V 3；(2)的纵坐标是：-6s i n a=-6X s i n 30 =-3,横坐标是：-6c o s a=-6c o s 30 =-3冉，B 的坐标是：(-38，-3)(5 分)-3V 3 x (-3)=9 次；(6 分)：点 4坐 标 为(-3遍，3),：.OA=6,*OA=O B=6,.t a n 4 8=*=冬二 4 0 8=30 ,当N BO 4 =30 时,则/B O 8=60 ,A 的坐标为(-3百，-3),B 的坐标为(-3,-3V 3),此时点N、8 能同时落在中的反比例函数的图
9、象上：同理：a=2 4 0 也符合题意；/.a=60 或 2 4 0 .4.如图，在 R t ZX ZB C中，/C=90 ,点。在 Z C 上，以。/为半径的半圆。交 N8 于点D,交 4 c 于点、E,过点。作半圆O的切线。尸，交 B C 于点F.(1)求证：BF=DF-,(2)若 N C=4,BC=3,C F=1,求半圆。的半径长.第5页 共9页解：(1)连接0 Q,如 图1,过点。作半圆O的切线。尸，交BC于点、F,：.ZODF=90,A ZADO+ZBDF=90,U：OA=OD,:NOAD=NODA,：./OAD+NBDF=90,VZC=90 ,：.ZOAD+ZB=90,:/B=NB
10、DF,:BF=DF；图1(2)连接QF,O D,如图2,设圆的半径为匕则OO=OE=r,ZC=4,8C=3,CF=1,：.OC=4-r,DF=BF=3-1=2,第6页 共9页:O D2+DF2=OF2=O C2+CF2,./+2 2=(4 -r)2+12；1 3故圆的半径为七.O5.如图，ZB C是。的内接三角形，NBAC=7 5 ,N/B C=4 5 .连接NO并延长,交OO于点。，连接8 0.过 点C作。的切线，与比1的延长线相交于点E.(1)求证：AD/EC；(2)若 4 B=1 2,求线段E C的长.证明：（1）连接0 C,第7页 共9页E CE与O O 相切于点C,：.ZOCE=90
11、,V ZABC=45,A ZAOC=90,NZOC+NOCE=180,：.AD/EC.(2)如图，过点力作Z F,E C 交 EC 于 R：/BAC=75,ZABC=45,A ZACB=60,：ND=NACB=60,1。是O O 的直径，A Z ABD=90,第8页 共9页A sin XADB=彳 =区，：.AD=8V3,.OA=OC=4y3,：AFEC,/O C E=90,ZAOC=90,.四边形0/尸 C 是矩形，又 Q=0C,.四边形。力 F C 是正方形，；.C F=A F=4:NBAD=90-ND=30,；.NEZ产=180-90-30=60,.tanZF=筝=V3,:.EF=V3JF=12,CE=CF+EF=12+4V3.第9页 共9页