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1、2022年中考数学压轴题1.（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图 1,在/8 C 中，AB=AC,/8/C=9 0 ,。是 Z 8 C 外一点，S.AD=AC,求N 8O C 的度数.若以点/为圆心，Z8为半径作辅助。4则点C、。必在O Z上，Z历（C 是。/的圆心角，而N 8C C 是圆周角，从而可容易得到N 8O C=3.（2）【问题解决】如图 2,在四边形/8 CO 中，N B4 D=N BC D=90 ,ZBDC=25 ,求/比 1 C 的数.（3）【问题拓展】如图3,如图，E,F
2、是正方形488的 边 上 两 个 动 点，满足4E=D F.连接C F 交8。于点G,连接B E 交 4G 于点H.若正方形的边长为2,则线段。，长度的最小值是V 5-1_.解：（1）如图 1,:AB=AC,AD=AC,以点/为圆心，点 8、C、。必在。力上，历JC是。/的圆心角，而N B O C 是圆周角，；.N B D C=*N B A C=4 5。,故答案是:4 5；(2)如图2,取 8。的中点0,连接N O、C O.:N BAD=N BC D=90 ,.点 4、B、C、。共圆，:.N B D C=N B A C,：4 BDC=25 ,第1页 共1 1页A ZBAC=25,(3)如图 3
3、,在正方形4 8 C Q 中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,/A D G=/C D G,在力8 E和。(才 中，(AB=CD乙 B A D =Z.CDA.AE=DF：.XABE/XDCF(SAS),AZ1=Z2,在 Z OG和 COG中，AD=CDZ-ADG=4 CDG,、DG=DG：.AD G/CDG(SAS),N 2=N 3,AZ 1 =Z 3,：NBAH+N3=NBAD=90,；N1+NB4H=90,A ZAHB=180-9 0 =9 0 ,取 45的中点。，连接OH、OD,则 OH=AO=%B=1,在 RtA J OD 中，OD=y/AO2+AD2=Vl2 4-22=V 5,根
4、据三角形的三边关系，OH+DHOD,，当 O、D、三点共线时，的长度最小，最小值=。-OH=V5-1.(解法二：可以理解为点是在R tZ X Z H B,Z8 直径的半圆脑上运动当0、H、D三点、共线时，。长度最小)故答案为：V s 1.第 2 页 共 1 1 页2.四边形488中，AB=AD,P E、尸产分别是边8 C、8 的中垂线，连接以，PB,PC,P D,延长/尸交8 c于点，延长C尸 交 于 点G,若ADBP,C GYAB.(1)判断四边形/8尸。的形状，并加以证明；(2)求N4H B的度数；(3)若 BH=6,C H =2,求4 8 的长度.解：(1)四 边 形 是 菱 形，理由如
5、下:PE、尸尸分别是边8。、C D的中垂线，:.PB=PC,PC=PD,：.PB=PD,第3页 共1 1页在/台 产 与 尸 中，AB=ADPB=PD.AP=AP:/ABP义/ADP(SSS).：.ZBAP=ZD AP.：ADBP,：.NDAP=NAPB.:.N B AP=/A PB.：.AB=BP.：.AB=BP=PD=AD,四边形力初。是菱形；(2)设/C P H=a,/P C B=0：.ZAPG=ZCPH=a.,P E 垂直平分BC,：/PBC=/PC B=6.：.ZGPB=NPBC+NPCB=2B.A APB=AAPG+Z GPB=a+2 p./A P D=N4P8=a+2B./G P
6、 D=ZAPG+ZAPD=2a+2p.YAD/BP,CG.LAB.：.ZGPD=90.2a+2B=900./.a+p=45.*.NZH8=a+0,A ZAHB=45；(3)；BH=6,CH=2,：.BC=BH+CH=8.T P E 垂直平分BC,第4页 共1 1页1：.BE=CE=15C=4.：.EH=CE-CH=4-2=2.在直角P E 4中，；NPEH=90,NPHE=45,EH=2,:.PE=2.在直角PE8 中，,:NPEB=9Q,BE=4,PE=2,：.BP=7BE?+PE2=V42+22=2V5.：.AB=BP=2/5,即AB的长度为2遍.3.如图，在R tZ/8C中，ZACB=9
7、0,以斜边Z 5上的中线。为直径作。，马BC交于 点 与N 2的另一个交点为E,过A/作垂足为N.(1)求证：A/N是。的切线；(2)若。的直径为5,sinB=求E O的长.*：OC=OM,：.ZOCM=ZOMC,在中，CO是斜边力8上的中线,第 5 页 共 1 1 页:.CD=%B=BD,：.ZD CB=ZD BC,：.40M C=NDBC,：.OM/BD,:MNLBD,J.OMLMN,过 O,是。的切线;CD是O O 的直径，：.ZCED=90Q,NDMC=90,即。M _ L 8 C,CE1AB,由(l)知：BD=CD=5,为 5c的中点，3V s i n =耳,.c o sDn=耳4,
8、在 R t Z X BM D 中，BM=BDcosB=4,:.BC=2BM=8,在 R t Z X CEB 中，BE=BCcosB=背，：ED=BE-BD=学32-5=g74.已知N M尸 N 的两边分别与O O 相切于点/,B,O O 的半径为八(1)如 图 1,点。在点力，8之间的优弧上，/M PN=80,求N A C B 的度数；(2)如图2,点。在圆上运动，当尸。最大时，要使四边形/I P BC为菱形，N 4PB 的度第 6 页 共 1 1 页数应为多少？请说明理由；（3）若 PC 交。于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.【解答】解：（1）如 图 1,连接
9、0 4,0B,图1,：P A,尸 8为。的切线，Z P A O=ZPBO=90 ,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB36 0 ,./P 8+/O8=1 8 0 ,；N/P B=8 0 ,A ZAOB=lOO ,：.ZAC B5 0；(2)如图2,当乙4 P 8=6 0 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接0 4,OB,由(1)可知，NZ O8+NNP B=1 8 0 ,V Z A P B=6 0,第7页 共1 1页A ZAOB=20,A ZACB=60Q=NAPB,.点C运动到PC距离最大，；.PC经过圆心，,：P A,尸8为。的切线，:.PA=PB,/APC=/BPC=30,又,：P
10、C=PC,:.AP gXB PC (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,.N4PC=/4CP=30,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,.四边形/P8C是菱形；(3)丫。的半径为，.0/1r,0P2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=90-Z APO=60,.而的长度=r,，阴影部分的周长=弘+/7。+筋=g f+$=（V3+1+J）r.5.如图，玄 为。的切线，P8C为。的割线，4。，。产于点。，4DC的外接圆与5c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接。N,OB,OC,BD.：OA1.AP,AD LOP,第8页 共1 1页 由 射 影
11、 定 理 可 得：PA2=PD*PO,AN=PDOD.（5分）又 由 切 割 线 定 理 可 得Pm=PBPC,:PBPC=PD/PO,:.D、B、C、。四 点 共 圆，（1 0分）A ZPDB=ZPCO=ZOBC=AODC,/P B D=/C O D,.,.P S D ACOP,PD BD 八:.=,（1 5 分）CD OD:BDCD=PD，OD=AN,.BD AD布-CD,又 NBDA=/BDP+90。=NOOC+9 0 =ZADC,:.A B D A s 4ADC,：.NBAD=NACD,:A B是 Z Q C的 外 接 圆 的 切 线，：.ZBAE=ZACB.6.如 图，点/为y轴 正
12、 半 轴 上 一 点,4 8两 点 关 于x轴 对 称，过 点/任 作 直 线 交 抛 物 线y=|/于P,。两 点.(1)求 证：ZABP=ZABQ；(2)若 点”的 坐 标 为(0,1),且/尸8。=6 0 ,试 求 所 有 满 足 条 件 的 直 线P。的函数解 析 式.第9页 共1 1页【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y 轴的垂线，垂足分别为C,D.设点”的坐标为（），），则点B 的坐标为（0,-t）.设直线P。的函数解析式为了=履丑，并设尸，。的坐标分别为（X P,yP）,（XQ,yS）.由y=kx+ty=jx22 7得Q%，kx t=0,3 2于是久p%Q =2tf 即亡
13、=-JXPXQ.BC yp+t|%p2+t|%p2一|%p%Q|%p（X p-X Q）X p于 是 右=2；-=2 7-2-=2：-7 =-HD YQ+C-%QZ+t 2XQZX p XQ XQ（XQ-Xp）XQe I PC Xp“BC PC又因为一,所以一=,QD xQ BD QD因为N B C P=N BDQ=90 ,所以 4 3 0 0 6i Z A B P=Z A B Q；（2）解：设D Q=b,不妨设a 2 b 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30 ,BC=V3a,B D=V3b,所以 ZC=百Q-2,AD=2-y3b.因为 P C Q Q,所以 Z C P s2 4O 0.于是空一些即士.金 Z tD（2-AD,即8-2 b b 所以 a +b =j3ab.由（1）中%p%Q =,3 即一 a b =9，所以a b =，a +b =,于是可求得Q =26 =V3.第 1 0 页 共 1 1 页将 力=*代 入 y=/,得到点0的 坐 标（,二）.乙。2 2.再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧 x+1或y=x +l.第1 1页 共1 1页