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1、2022年中考数学压轴题1.定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Z B C的边45平行于X轴.若 4 8。的三个 顶 点 都 在 二 次 函 数(。#0)的图象上，则称 4 8 C为该二次函数图象的“伴随三角形”.血?为 抛 物 产-#十 户 4 的“伴随三角形”.(I)若点力是抛物线与y轴的交点，求点8的坐标.(2)若点。在该抛物线的对称轴上，且到边力 8的距离为2,求4 8。的面积.(3)设 4、。两点的坐标分别为(加，y)(2加，J 2),比较y i 与J 2的大小，并求加的取值范围.(4)/8 C是抛物线=一3 2+内 一%2+2 ,3的“伴随三角形”，点A在点B的左侧，且A B=
2、2,点、C的横坐标是点A的横坐标的2 倍，设该抛物线在-1 -2 上最高1点的纵坐标为泗，当5 S r o W 6 时，直接写出的取值范围和 za c 面积的最大值.解：(1)当 x=0 时，y =|,.X(0,|),函数的对称轴：x=-=1,2x(f)5故点8的坐标为：(2,-)；(2)当 X 1 时，y=4 +1+=3,：.C(1,3),yA=yB=3-2=1,当y=l 时，即一1=i,解得：X=-f X 2=3,：.A(-1,1),B(3,1),：.AB=3-(-1)=4,1SABC 2 x 4 X 2=4；(3)点、A(?，一品2+加+1_)，点 c (2冽,-2?2+2加+?),第1
3、页 共1 0页当加=1 时，Z B C不成立，当一4-m 4-1=-27 n 2+2 m+擀时，2解得：mi=O,m2=29此时，4 B C不成立；当 OOnV 时，歹 1yif当加V 0 时，yy2f综上：当 0 m V 留寸，y W 且 加 时，yiy2；、I n 1 o 1 o(4)尸 一亍 +公一5 /+2-3=(x -n)2+2 -3,Z Z Z故函数的顶 点 为(力 2/7-3),当2M-2 W 时，即 W 2,1 1当 x=2n-2 时，y0=一讶(2九2-n)2+2n 3 =2n 2 4-4 n 5,，V 5蛆924一-23,v-yo4-n,3 2277-1-2得以=714:,
4、解yo:1-2，-2-综上，的取值范围为：4 -V5 n I；当九二3 时，y =一(.)2+6,当%8 =芋 时，y=一+6 =/，当%4=:时，x c=7 时，y =_*(7 一忘)2+6 =等,.11 23 21 n=T-=-8,第2页 共1 0页ABC面积的最大值=|x 2 x =芸L 9 21故的取值范围为：4-V5 n 为等腰直角三角形，过点工作工，8。于点H,设C=d,；NAHP=NCDP=90,NAPH=NCPD,AP=PC,:.AHP94CDP CAAS),:.AH=CD=d,HP=PD,在等腰 R t A 4 8。中，EH=AH=d=HD,则，P=OP=%在丛BPC 中，B
5、P=BE+EH+HP=CD+EH+HP=2d+9=|d,则 S=J xBP-CD=|x *d=*2,S=5PD-5r Jd 25.,7 1=5 4=5,解得：d=2,3PE=PH+EH=d=3.3.如图，在R t Z N8 C中，/4 C8=90,以 斜 边 上 的 中 线C O为直径作。O,与BC交于点M,与4 8的另一个交点为E,过作垂足为M（1）求证：是。的切线;（2）若。的直径为5,s i n 8=耳，求 瓦）的长.第 4 页 共 1 0 页【解答】(1)证明：连接0 M,如 图1,：OC=OM,J.ZOCMAOMC,在RtZ/8C中，C D是 斜 边 上 的 中 线,：.CD=AB=
6、BD,：.NDCB=NDBC,NOMC=ZDBC,C.OM/BD,:MNLBD,：.OMLMN,.,。历 过O,是。的切线;(2)解：连接。M,CE,；8 是。的直径,.ZCED=90,ZDMC=90,即 ZW_L8C,CErAB,由（1）知：BD=CD=5,为B C的中点，3V sinB=引第 5 页 共 1 0 页/.c o s 5=引在 R t员3 中，B M=B D sB=4,:BC=2BM=8,在 R tA C E B 中，BE=BCcosB=考，3 2 7：.ED=BE-BD=节-5=g4.已知N MPN 的两边分别与。相切于点4 B,。0的半径为八（1）如 图 1,点 C在点4
7、8之间的优弧上，ZMPN=80,求N/CB的度数；（2）如图2,点 C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形/P 8 C 为菱形，N ZP5的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.【解答】解：（I）如 图 1,连接。Z,08,图1：PA,P 8为。的切线，：.ZPAO ZPBO=90Q,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360,1,：.ZAPB+ZAOB=ISO,V ZAPB=iO,A ZAOS=100,A ZACB=50；第6页 共1 0页(2)如图2,当/尸8=6 0 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接。4,OB
8、,由(1)可知，N/O 8+N/P8=180,V ZAPB=60,A ZAOB=120,A ZACB=60=/A P B,.点C 运动到PC 距离最大，经过圆心，,：P A,尸 8 为。的切线，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30,又：PC=PC,:.A P gtX B P C (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,.N/PC=N 4C P=30,:.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形/P 8 C 是菱形；(3);。的半径为r,.OA r,OP2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZJO P=90-ZAPO=60a,而的长度=r,.阴影部分的周长=以+尸。+崩=
9、倔廿+$=(V 3+1+1)r.第7页 共1 0页5.如图，以 为。的切线，尸8c为。的割线，4），。产于点Q,4 J C的外接圆与8 c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接O N,OB,OC,BD.ADA.0P,二由射影定理可得：PA2=PDPO,4 ）2=p。.。（5分）又由切割线定理可得PA2=PB-PC,：.PBPC=PDP0,:.D、B、C、。四点共圆，（1 0分）NPDB=a PC0=N0BC=NODC,NPBD=/COD,：./PBD/C0D,.布PD=布BD，（1 5分）:.BD*CD=PD*OD=AN,BD ADAD=而又 NBDA=NBDP+90=
10、NO Q C+9 0 =A ADC,：.XBDA/ADC,:NBAD=NACD,：.AB是 Z O C的外接圆的切线，：.ZBAE=ZACB.第8页 共1 0页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x 轴对称，过点/任作直线交抛物线y =#于 P,0两点.（1）求证：NABP=2ABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP 8 0=6O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,
11、（x。，J 0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t=xPxQ.BC于 是 一 二BDyP+t|x p2+|x p2一|%p%Q|x p(x p-%Q)Xp%+t|X Q2+C XQ2-XpXQ XQ(XQ-Xp)XQ又因为而PC=一x五P 所”以,B访C=而PC因为/8。尸=/8。0=9 0 ,所以 B C PSB。，第9页 共10页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设P C=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30 ,BC=V 3 a,BD=V 3 b,所以/C=V 5 a-2,AD=2-Wb.因为 P C。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ AD b 2-y/3b所以Q+力=娼ab.由（1）中 px Q=-9 t,即一a b=一去 所以a b =9，c i b 于是可求得a =2b=V 3.将力=*代 入y =4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y =-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =-苧x +1或y =x+l.第i o页 共i o页