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1、2022年中考数学压轴题1.抛物线了=以2-4*+5 与 x 轴 交 于 8两 点(点/在 点 8的左边)，且 48=6.已知。(1,0),E(0,?)，F(0,w+1),点 P 是第一象限的抛物线上的一点.(1)求该抛物线的解析式；(2)当?=1 时，求使四边形E/孑。的面积最大时的点尸的坐标；(3)若 P Q=P B,求加为何值时，四边形E F P 0 的周长最小？解：(1)设/(xi，0),B(X2 0),贝!J xi、X2 是方程办2-4 ax+5=0 的两根由根与系数的关系得：Xl+X2=4,XI *X2=又；AB=6,即：X2-XI=6,解得：xi =-1,X2 5,a-1；抛物线
2、的解析式：y=-x2+4x+5.故抛物线的解析式为：v=-r+4 x+5.(2)过点尸作尸C _ L x轴，垂足为C,如 图 1,设尸(机，)，则。C=加，PC=n,.点P在抛物线的解析式：y=-f+4 x+5 上，.n-nr+m+5 四 边 形 EFPQ=S 搬 形 PF O C -SAE。-5=4(2+)X m-x l X l-i tn-1)Xn =,1 1?+-2 n 于.1 2:S四 边 形 7 子。=-2 加+3?+2，当机=-厂=3时，S最大.2 x(4)当机=3 时，n=-9+1 2+5 =8,：.P(3,8)因此当四边形E F P。的面积最大时，点 P 的坐标为(3,8).第
3、1 页 共 1 7 页（3）过 点 尸 作 尸 轴，垂足为。，如图2,作。关于。的对称点0 1,连接E 01，则Q（-1,0）,由（1）得 B（5,0）%（-1,0）Q（1,0）,：,QB=4,*：PQ=PB,1：.Q D=D B=Q B=2,。=3,当 x=3 时，y=-9+1 3+5 =8,此时点尸（3,8）,P Q,跖的长固定，要使四边形的周长最小，即 0+P/最小即可,当*01 尸歹时、E 0+P9最小，即四边形的周长最小,设直线P/7的关系式为y=hx+b i，直线EQ的关系式为y=松+E由题意得:(3k1+比=8 B Nc +4 0解得：0-2c +4 2ii)如图3,若点P 在第
4、四象限.点N在第一象限，P A B Nc +40 解得：c V .6一(c +4)2综上所述，点 M、N在 x 轴的异侧时，c的取值范围为c -2.过点M作M CLP A于点C：.ZMC P=ZPA O=90Z P M C+Z M P C=ZMPC+ZOPA=90：.Z P M C=Z O P A第4页 共1 7页在PCM与OZ尸中ZPCM=W AP乙 PMC=P A、PM=OP:A P C M迫AOAP(AAS),.CW=H=|c+4|,PC=OA=2i)如图2,若点尸在第一象限，则 c+40，XM=O/+C M=2+C+4=C+6,yf=yp-PC=c+4-2=c+2，M(c+6,c+2)
5、:点 M 是伴随点，即点收在二次函数y=-x2+4x+c图象上-(c+6)2+4(c+6)+cc+2解得：c i=-4-a(舍去)，C2 4+V2i i)如图3,若点P 在第四象限，则点M 在点P 上方 二次函数图象开口向下.点M 不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点综上所述，关联函数的解析式为y=-x2+4x+近一4VS1 S2，S|+S2=S 正 方 形 O RW N；.S223sl；.Si+S22sl-S-2),对称轴与ON交于点。:.S=S&POD=OPOD：.OP-OD/0 户，OD O P,即 OD；ON,:AD BN：./O A D/O B N,-O-A -O-D 一1“OB
6、 ON 2第5页 共1 7页：.OAOB1：.2 c+4解得：c 2 0或cW-8ii）如图5,当点P、M在x轴异侧时（-6 c -2）,对 称 轴 与 交 于 点E延长MC交BN于F：.MF=0A=2-SSPME PMME1 1,：.-PMME PM2：.ME P M,即：.MCMF，|c+4|Wl 且 cW-4,解得：-5WcW-3 且 cW-4.综上所述，Si0.第6页 共1 7页图33.如图，抛物线y=2+加+2经 过(2,3),(-2,-3)两点，交x轴于4 8两点，交y轴于点C,与过点C且平行x轴的直线交于另一点。，点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式；(2)求点4 B,。的
7、坐标；(3)点E在x轴上，若以4 E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点尸的坐标；(4)过点尸作直线CD的垂线，垂足为0,若将C P。沿C P翻折，点。的对应点为Q.是否存在点P，使。恰好落在x轴上？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，说明理由.第7页 共1 7页解：(1)将 3),(-2,-3)代入抛物线表达式得”墨:2,解得卜 一;2一 一 口 一 ,b =2故 抛 物 线 的 表 达 式 为 产-#+%+2；(2)对 于 尸-#+1%+2,令x=0,则y=2,令尸一#+.+2=0,解得x=4或-1,故点”、B、C的坐标分别为(-1,0)、(4,0)、(0,2),故函数的对称
8、轴为x=*(4-1)=|,故点。(3,2),即点Z,B,。的坐标分别为(-1,0)、(4,0)、(3,2)；(3)A,E两点都在x轴上，Z E有两种可能：当力 为一边时，A E/PD,：.P(0,2),当/E为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、。点到直线/E (即x轴)的距离相等，二尸点的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式：-%解 得:x=玛 强3-V 4 1 3+V 4 1.P 点的坐标为(一y,-2),(1 ,-2),3-V 4 1 3+V 4 1综上所述：P(0,2)或(-,-2)或(-,-2)；(4)存在满足条件的点P,显然点尸在直线C D下方，设直线尸。交
9、x轴于F,点尸的第 8 页 共 1 7 页当尸点在y 轴右侧时(如图1),CQ=m,1、3 1、3PQ=2-(26+2)=2 厂-2m，又Y N C 0 O+/F Q 尸=90,ZCOQ=Z Qf FP=90,：.Z.FQ P=ZO C Qr,1 7 3QC QP m 5帆-5mCO。s/。F P,则 三=3 即T =,?w CO FQ，2 QF：.Q F=m-3,：.OQf=O F-Qr F=rn-(w-3)=3,贝 ij CQ=CQ，=J CO2+OQi=V32+22=V13,-9+3V13此时m=V H,点 P 的坐 标 为(旧，一-).4.如图，月 8 是。的直径，点 C 是。上一点(
10、与点/,8 不重合)，过 点 C 作直线产。,使得 N Z C 0=/N 8C.(1)求证：直线尸。是。的切线.1(2)过点Z 作 4)_ L P 0 于点。，交O。于点,若O O 的半径为2,sin/N C=W，求图中阴影部分的面积.第9页 共1 7页0解：（1）证明：如图，连接OC,：A B 是。的直径,A ZJCB=90,：OA=OC,.,.ZC ABZAC O.ZCAB+ZABC NACO+/ACQ=NOCQ=90直线P。是。的切线.(2)连接。,1sinZD AC=,AD1PQ,4c=30,ZACD=60.*.N/8C=N/C O=60,.ZO B=90-60=30,：.ZEAO=Z
11、DAC+ZCAB=60,又,；O4=OE,：./E O 为等边三角形，A ZAOE=60.:S 阴 影=S 扇形-SAEO,即 OC_LP0,第1 0页 共1 7页=S 扇 形-/o/O.sin60=1 x 2 2-4x2X 2x 空=冬3.图中阴影部分的面积为5.如图，在4B C中，NACB=90,将NBC沿直线48翻折得到48。，连接CQ交4B于点M.E是线段C N上的点，连接8 E.尸是8D E的外接圆与/。的另一个交点，连接ER BF.(1)求证：4 8跖是直角三角形；(2)求证：ABEFsBCA；(3)当48=6,8 C=w时，在线段CM上存在点,使得防和4 5互相平分，求机的值.备
12、用图(1)证明：-：ZACB=90,将力8 c沿直线翻折得到：.N4DB=NACB=90,：4EFB=NEDB,NEBF=NEDF,NEFB+NEBF=NEDB+NEDF=/ADB=9Q,：.ZBEF=90,.8户是直角三角形.(2)证明：,:BC=BD,：.ZBDC=NBCD,NEFB=NEDB,：./EFB=NBCD,第1 1页 共1 7页9：AC=ADf BC=BD,：.ABLCD,：.ZAMC=90,V ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90,:./B C D=/C A B,:/BFE=N C 4B,V ZACB=ZFEB=90Q,:、XBEFsM BCA.(3)解：没E F交.
13、A B于J.连接4E.:EF与A B 互相平分，四边形是平行四边形，:/E F A=/FEB=90,即9：BDLAD,:EFBD,:AJ=JB,：.AF=DF,：.FJ=与BD=y,:.EF=m,*/A B C s B M,：.BC：MB=AB：BC,m2：.BM=%,:BEJsABM E,：.BE：BM=BJ：BE,:*BE嗓 ：ABEFsABC A,AC_ _BC_ =,EF BE第1 2页 共1 7页V36m2 m即 nT，m 五解得机=2%(负根己经舍弃).6.如 图1,已知四边形N 8 C Q是菱形，G是线段8上的任意一点时，连接B G交Z C于F,FH FG过F作FHCD交BC于H
14、,可以证明结论:二=*成立.(考生不必证明)AB BG(1)探究：如图2,上述条件中，若G在C。的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;(2)计算：若菱形4 8。中4 8=6,ZADC=60,G在直线C D上，且C G=1 6,连接8 G交N C所在的直线于尸，过尸作尸/C D交8 c所在的直线于“，求8 G与F G的长.FH FG(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线8上时，结论二=*还成立吗？AD DGFH FG【解答】解：(1)结论77=77成立AD DG证明：由已知易得尸，4 8,.FH_ HC 布一丽HC FG:F H/G C,=BC
15、BG第 1 3 页 共 1 7 页FH FGAB-BG(2)：G 在直线CQ上，分两种情况讨论如下：G 在 CO 的延长线上时，0G=10,如 图 1,过 8 作于 ,由于四边形/8CZ)是菱形，/4)。=60,:.BC=AB=6,N8C0=6O,：.BQ=33,CQ=3,：.BG=J192+(375)2=2府.,FH BH又由“G C,可得大7 =6 7，GC DC而是等边三角形，：.BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,*FH 6-FH16 6 FH-48,FH FG由（1）知7；=，AB BG.口/G=FH B-G=48 1?r=16 商1r2.97=五,97.G 在。C 的延长线上时
16、，CG=16,如图2,过 8 作 8QJ_CG于 0,.四边形/8C。是菱形，Z J）C=60,：.BC=AB=6,NBCQ=60.:.B Q=3 CQ=3.：.BG=J132+（3 遮）2=14.,一,FH BH又由EHC G,可得打 二 ，GC D C _F_H_ BH 16 6：BH=HC-BC=FH-BC=FH 6,第 14 页 共 17页：.FH=48：FH/CG,.BF FH丽而48 42A F=1 4 x-y 1 6=-.：.FG=1 4+42 1125=FH 48 8(3)G在。的延长线上时，=-6 =AB 5 5FG 112 8=-+1 4 =,BG 5 5结合上述过程，发现
17、G在直线 8 上时，结碟=得 还 成立.7.如图，在平面直角坐标系中，0 B 1.0 4,且 0 8=2 0/,点Z的坐标是（-1,2）（1）求点8的坐标；（2）求过点4、。、8的抛物线的表达式；（3）连接4 8,在（2）中的抛物线上求出点P,使得SJ B P=SM B。.第1 5页 共1 7页【解答】解：(1)过点/作轴，垂足为点尸，过点8 作轴，垂足为点E,则 4尸=2,OF=1.：OA1OB,：.ZAOF+ZBOE=90 度.又,：NBOE+NOBE=90,NAOF=NOBE,：.RtAFO Rt/O EB,BE OE OB ,-9j，OF AF 0A:BE=2,0E=4,：.B(4,2
18、).(2)设过点/(-1,2),8(4,2),O(0,0)的抛物线为歹=/+b x+c.a-b+c=2 16a+4b+c=2r =0(1a =2解之，得h 3,b=2 c=0.所求抛物线的表达式为尸身一|x.(3)由题意，知/8 x 轴.设抛物线上符合条件的点P 到 A B 的距离为d,则SIBP=%B 2F=5.：.d=2.二点尸的纵坐标只能是0,或 4.第1 6页 共1 7页-1 o令y=0，得，=2、2_另=0.解之，得 x=0,或 x=3.,符合条件的点Pi (0,0),0 2(3,0).1 Q令y=4,得于2-/=4.解之，得 =延”.符合条件的点P3（鱼”，4）,4（三 尹，4）.综上，符合题意的点有四个:Pi(0,0),Pi(3,0),P 3(，4),4).第1 7页 共1 7页