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1、2012 年福建省普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）数学试题（文史类）第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合 M=1，2，3，4，N=-2,2，下列结论成立的是A.NMB.MN=MC.MN=ND.MN=23.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a
2、b 的充要条件是A.x=-1B.x=-1C.x=5D.x=02【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以 x=0。D 正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B三棱锥C正方体D 圆柱、【解析】分别比较 A、B、C 的三视图不符合条件，D 符合【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。x2y25 已知双曲线2-=1 的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于a5A343 23 14BCD234146阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s
3、 值等于A-3B-10C0D-2【解析】1.S=21-1=1，K=22.S=21-2=0，K=33S=20-3=-3 K=4，输出-3【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。7.直线 x+2y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点，则弦 AB 的长度等于A.2 5B2 3.C.3D.1)的图像的一条对称轴是4A.x=B.x=C.x=-D.x=-42428.函数 f(x)=sin(x-9.设,则 f(g()的值为A 1 B 0 C -1 D .【解析】因为 g（）=0所以 f（g（）=f（0）=0。B 正确【答案】B【
4、考点定位】该题主要考查函数的概念，定义域和值域，考查求值计算能力。10.若直线 y=2x 上存在点（x，y）满足约束条件A.-1B.1C.【解析】则实数 m 的最大值为3D.22因为 x+y-3=0和 y=2x 交点为（1，2）所以只有 m1 才能符合条件，B 正确【答案】B【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力。逻辑推理能力和求解能力。11.数列an的通项公式，其前 n 项和为 Sn，则 S2012等于A.1006B.2012C.503D.012.已知 f（x）=x-6x+9x-abc，abc，且 f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：f（0）f（1
5、）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是A.B.C.D.第卷（非选择题共第卷（非选择题共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分。把答案填在答题卡的相分。把答案填在答题卡的相应位置。应位置。13.在ABC 中，已知BAC=60，ABC=45，则 AC=_。14.一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_。【解析】985628=1298【答案】12
6、【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法，明确分层抽样的本质是关键15.已知关于 x 的不等式x2-ax2a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_。【解析】因为 不等式恒成立，所以0，即a242a0 所以0a8【答案】（0，8）【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法，解法的三种情况的理解和把握是根本。16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方
7、案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_。三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）在等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=1，b4=8，an的前 10 项和 S10=55.（）求 an和 bn；（）现分别从an和bn的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。【答案】（1）an n，bn 2n（2）29【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识，考查运算求解能力，考查转化与划归思想、必然与或然思想，注意留
8、心学习18.(本题满分 12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程y=bx+a，其中 b=-20，a=y-bx；（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）19.（本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点。（1）求三棱锥 A-MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC。【解析】（1）又
9、长方体 AD平面CDD1C1.点 A 到平面CDD1C1的距离 AD=1，SMCC1=111CC1CD=21=1，VAMCC1ADS223MCC113(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转动 90展开，与侧面ADD1A1共面。当AM,C 共线时，1，A1M+MC 取得最小值 AD=CD=1,AA1=2 得 M 为DD1的中点连接 MC1在MCC1中，MC1=MC=2，CC1=2,CC1=MC1+MC,CMC1=90,CMMC1,B1C1平面CDD1C1，B1C1CMAMMC=C222CM平面B1C1M,同理可证B1MAMB1M平面 MAC【答案】13【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与
10、平面的位置关系以及体积等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想。20.（本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248-sin（-18）cos48（5）sin2（-25）+cos255-sin（-25）cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明
11、你的结论。、21.（本小题满分 12 分）如图，等边三角形 OAB 的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上。（1）求抛物线 E 的方程；（2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。【解析】（1）依题意OB 8 3,BOY 30设点 B（x，y），则 x=8 3sin30=4 3Y=8 3cos30=12，B（4 3，12）在抛物线上，(4 3)2=2p12，p=2，抛物线 E 的方程为X=4y2121X,Y x,421112切线方程：y-y0=x0(x x0)，即 y=x0 xx0224x
12、2-41x=0 x0 x x02y12x0 x20424由得Q（2x0，-1）Y1Y=1（2）设点 P（X0,Y0）,X00.Y=x204设 M（0，y1）MP (x0，y0y1），MPMQ=0MQ=（，1y1）2x012x204（x0 0）-y0-y0y1+y1+y12=0，又y0=x0，联立解得y1=142x0故以 PQ 为直径的圆过 y 轴上的定点 M（0，1）【答案】x=4y【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。222.（本小题满分 14 分）已知函数f(x)
13、axsin x33(aR),且在0,上的最大值为，222（1）求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。由（1）知 f（x）=xsinx-f（x）在0,33-3，f（0）=-0，2222上至少有一个零点，又由（1）知 f（x）在0,上单调递增，22故在0,上只有一个零点，当x，时，令 g（x）=f(x)=sin x+x cosx，22g（）=10，g（)=-0，g（x）在，上连续，m，g（m）=0222g（x)=2cos x-xsin xg（m）=0，f（x)0，f（x）递增，当 m（3，m）时，f（x）f（）=0222f（x）在（m，）上递增，f（m）0，f（）0,f（x）在（m，）上只有一个零点，综上f（x）在（0，）上有两个零点，【答案】（1）f（x）=xsinx-3；（2）2 个零点2【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。