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1、创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日绝密启用前试卷类型：A创创 作人：作人：荧多莘荧多莘日日 期：期：二二 OO 二二二二 年年 1 1 月月 1717 日日20212021 年普通高等招生全国统一考试年普通高等招生全国统一考试(卷卷)数学数学(文科文科本套试卷一共 4 页，21 小题，满分是 150 分。考试用时 120 分钟。考前须知：1答卷前，所有考生必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔将本人的姓名和考生号、试室号、座位号填写上在答题卡上。需要用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。2选择题每一小题在选出答案以后，需
2、要用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求答题之答案无效。4 答题选做题时，请先需要用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。参考公式：锥体的体积公式v1Sh，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高3一、选择题：本大题一一共一、选择题：本大题
3、一一共 1010 小题，每一小题小题，每一小题 5 5 分，满分是分，满分是 5050 分分.每一小题给出得四个选每一小题给出得四个选项里面，只有一项十符合题目要求得项里面，只有一项十符合题目要求得.1.全集 U=R，那么正确表示集合M=1，0，1 和 N=x|x+x=0 关系的韦恩Venn图是2创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日【答案】B【解析】由 N=x|x2+x=01,0得N M,选 B.2.以下 n 的取值中，使i=1(i 是虚数单位的是A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5【答案】C【解析】因为i 1
4、,应选 C.4n（x,x）a a=，b b=，那么向量a ab b（x,1）A 平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线2y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】2【解析】a ab b(0,1 x),由1 x 0及向量的性质可知,C 正确.2xa0，且a 1）的反函数，且f(2)1，那么f(x)y f(x)是函数y a（Alog2xB1x2Clog1xD2x22【答案】A）【解析】函数y a（a0，且a 1的反函数是f(x)logax,又f(2)1,即loga2 1,所以,a 2,故f(x)log2x,选 A.5.等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a5，a2=1，那么a1=A.2x
5、21B.C.222【答案】B创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日2【解析】设公比为q,由得a1q2a1q8 2 a1q4,即q 2,因为等比数列an的公比为正数，所以q 2,故a1a212,选 Bq226.给定以下四个命题：假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；垂直于同一直线的两条直线互相平行；假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A和B和C和D和【答案】D【解析】错,正
6、确,错,7.ABC中，A,B,C的对边分别为 a,b,c 假设 a=c=6 A.2B42 3C42 3D6 2【答案】A2且A 75，那么 b=【解析】sin A sin75 sin(30 45)sin30 cos45 sin45 cos30 由 a=c=6 00000002 642可知,C 750,所以B 300,sin B 12由正弦定理得b asinB sin A2 61 2,应选 A2 624f(x)(x 3)ex的单调递增区间是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)【答案】D创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：xx【解析】f
7、(x)(x3)e(x3)e二 O 二二 年 1 月 17 日x (x2)e,令f(x)0,解得x 2,应选 D9函数y 2cos(x 24)1是A最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为【答案】A【解析】因为y 2cos(x2的奇函数D.最小正周期为的偶函数222)1 cos2x sin2x为奇函数,T,所以选422A.102021 年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E 五个城之间进展，各城之间的道路间隔 单位：百公里见下表.假设以 A 为起点，E 为终点，每个城经过且只经过一次，那么火炬传递的最短道路间隔 是A.20.6B.21C【答案】B【解析】由题意知,所有可能道路有
8、 6 种:A B C D E,A B D C E,AC B D E,AC D B E,A D B C E,A D C B E,其中,道路AC B D E的间隔 最短,最短道路间隔 等于4962 21,应选 B.二、填空题：本大题一一共5 小题，考生答题 4 小题，每一小题 5 分，满分是 20 分。创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：一必做题1113 题二 O 二二 年 1 月 17 日11.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员 i三分球个数123456a1a2a3a4a5a6图 1 是统计该 6 名队员在最近三
9、场比赛中投进的三分球总数的程序框图，那么图中判断框应填，输出的 s=(注：框图中的赋值符号“=也可以写成“或者“：=)图 1【答案】i 6,a1a2a6【解析】顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填i 6，输出的 s=a1a2a6.12某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为40 组 15 号，610 号，196200 号.假设第 5 组抽出的号码为 22，那么第 8 组抽出的号码应是。假设用分层抽样方法，那么 40 岁以下年龄段应抽取人.创
10、 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日图 2【答案】37,20【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22，所以第 6 组抽出的号码为 27，第 7 组抽出的号码为 32，第 8 组抽出的号码为 37.40 岁以下年龄段的职工数为2000.5100,那么应抽取的人数为40100 20人.20013以点2，1为圆心且与直线x y 6相切的圆的方程是.【答案】(x2)(y1)22252|216|5,所以圆的方程为112【解析】将直线x y 6化为x y6 0,圆的半径r(x2)2(y1)2252
11、(二)选做题14、15 题，考生只能从中选做一题14 坐标系与参数方程选做题假设直线那么常数k=.【答案】6x 12tt 为参数与直线4xky 1垂直，y 23t【解析】将x 12t373化为普通方程为y x,斜率k1,222y 23t43 4,由k1k2 1得k 6;k2 k当k 0时,直线4xky 1的斜率k2 当k 0时,直线y 综上可知,k 6.37x与直线4x 1不垂直.22创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日15.(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB=4，ACB 3
12、0，那么圆 O 的面积等于.图 3【答案】16【解析】连结 AO,OB,因为ACB 30,所以AOB 60,AOB为等边三角形,故圆 O的半径r OA AB 4,圆 O 的面积S r 16.三、解答题，本大题一一共 6 小题，满分是 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.本小题满分是 12 分向量a (sin,2)与b (1,cos)互相垂直，其中(0,1求sin和cos的值2假设5cos()3 5 cos，0【解析】222),求cos 的值2a b,a b sin2cos 0,即sin 2cos2又sincos1,4coscos21,即cos2,sin21545又(0,2)
13、sin2 55,cos55(2)5cos()5(coscossinsin)5cos2 5sin 3 5cos2cos sin,cos sin1cos,即cos22212又0 2,cos22创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：17.本小题满分是 13 分二 O 二二 年 1 月 17 日某高速公路收费站入口处的平安标识墩如图4所示,墩的上半局部是正四棱锥PEFGH,下半局部是长方体 ABCD、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.1请画出该平安标识墩的侧(左)视图;2求该平安标识墩的体积3证明:直线 BD平面 PEG【解析】(1)侧视图同正视
14、图,如以下图所示.该平安标识墩的体积为：V VPEFGHVABCDEFGH14026040220 3200032000 64000cm23如图,连结 EG,HF及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH,PO HF又EG HFHF 平面 PEG又BDHFBD 平面 PEG；18.本小题满分是 13 分随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均
15、身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.【解析】1 由茎叶图可知：甲班身高集中于160之间。因此乙班平均身高高于甲班;而乙班身高集中于170179之间，180创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：(2)x 二 O 二二 年 1 月 17 日1581621631681681701711791791821701012222甲班的样本方差为(158 170)2162 170163 170168 170168 1701017017017117017
16、9170179170182170573设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为A；从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：181，173181，176181，178 181，179 179，173 179，176 179，178178，173(178,176)176，173一共 10 个根本领件，而事件A 含有 4 个根本领件；PA2222242；10519.本小题满分是 14 分椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为223,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一2点到F1和F2的间隔 之和为 12.圆Ck:x y 2kx 4y 21 0(k R)的圆心为点Ak.
17、(1)求椭圆 G 的方程(2)求AkF1F2的面积(3)问是否存在圆Ck包围椭圆 G?请说明理由.x2y2【解析】1设椭圆 G 的方程为：221a b 0半焦距为 c;ab2a 12a 6222那么c,b a c 3627 93,解得c 3 32ax2y21.所求椭圆 G 的方程为：369(2)点AK的坐标为K,2SAKF1F211F1F22 6 32 6 322223假设k 0，由6 0 12k 021 512k0可知点6，0在圆Ck外，创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：22二 O 二二 年 1 月 17 日0可知点-6，0在圆Ck外；假设k
18、0，由(6)0 12k 021 512k不管 K 为何值圆Ck都不能包围椭圆 G.20.本小题满分是 14 分点1，1x是函数f(x)a(a 0,且a 1的图象上一点，等比数列an的前 n 项和3为f(n)c,数列bn(bn 0)的首项为 c，且前 n 项和Sn满足SnSn1=Sn+Sn1n2.1求数列an和bn的通项公式；2假设数列11000前 n 项和为Tn，问Tn的最小正整数 n 是多少?bnbn12009【解析】111f1 a,fx33x12,c,a2 f 2 c f 1 c 392a3.f 3 c f 2 c 2742a21又数列an成等比数列，a1281 c，所以c 1；a3233
19、27a1 f1c a121又公比q 2，所以an a1333n11 2nN*；3nSnSn1SnSn1SnSn1SnSn1n 2又bn 0,Sn 0,SnSn11；数列S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，nSn1n11n，Sn n2当n 2，bn SnSn1 n n1 2n1；22bn 2n1(nN*)；2Tn111b1b2b2b3b3b41111bnbn11335571(2n1)2n1创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：11111111123235257二 O 二二 年 1 月 17 日11122n12n111n1；22n12n1由Tn
20、n100010001000得n，满足Tn的最小正整数为 112.2n120099200921.本小题满分是 14 分二次函数y g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行,且y g(x)在x=1 处获得最小值m1(m 0).设函数f(x)g(x)x(1)假设曲线y f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的间隔 的最小值为2,求 m 的值(2)k(k R)如何取值时,函数y f(x)kx存在零点,并求出零点.【解析】1设gx ax bxc，那么gx 2axb；2又gx的图像与直线y 2x平行2a 2a 1又gx在x 1取极小值，b 1，b 22g1 abc 12c m1，c m；fxgxm x2，
21、设Pxo,yoxx222那么PQ x0y02m m222 x0 x0 2x022 2 2m22x0 x02；222 2m22 4m 2由y fxkx 1kx2m2 0，x得1kx 2xm 0*mm，函数y fxkx有一零点x ；221当k 1时，方程*有二解 44m1k 0，假设m 0，k 1，m当k 1时，方程*有一解x 创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日创 作人：荧多莘日 期：函 数y fxkx有 两 个 零 点x 二 O 二二 年 1 月 17 日1 1m1kk 1244m1k21k；假 设m 0，k 11244m1k1 1m1k，函数y fxkx有两个零点x；m21kk 1当k 1时，方 程*有一 解 44m1k 0,k 11,函数my fxkx有一零点x 1k 1创 作人：荧多莘日 期：二 O 二二 年 1 月 17 日