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1、2011 年高考题全国卷数学试题文科全解全析莘县实验高中赵常举邮编：252400科目：数学试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷(文科)知识点检索号题目及解析新课标（1）设集合U 1,2,3,4,M 1,2,3,N 2,3,4,则U（MN）=（A）1，2（B）2，3（C）2，4（D）1，41【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求M进而求出其补集为1，4.【精讲精析】选 D.N 2,3,MN 2,3,U(MN)1,4.（2）函数y 2 x(x0)的反函数为x2(xR)（A）y 4（C）y 4x2(xR)4x2(x0)（B）y 4（D）y 4x2(x0)【思路
2、点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围，它是反函数的定义域。y2【精讲精析】选B.在函数y 2 x(x0)中，y 0且反解 x 得x，所以4x2y 2 x(x0)的反函数为y(x 0).4（3）设向量a,b满足|a|b|1,则a 2b（A）2（B）3（C）5（D）720【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P a b,a b推不出 P，逐项验证可选 A。x y 6（4）若变量 x，y 满足约束条件x3y -2，则z=2x3y的最小值为x 1（A）17（B）14（C）5（D）
3、3【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函29数z=2x3y的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系，进而确定过直线 x=1 与x-3y=-2 的交点时取得最小值。【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z=2x3y过直线x=1 与 x-3y=-2 的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为 5.（5）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是2233（A）ab1（B）ab1（C）a b（D）a b24【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命
4、题 P 使 P a b,a b推不出 P，逐项验证可选 A。（6）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d 2，Sk2Sk 24，则k（A）8（B）7（C）6（D）511【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二：利用Sk2Sk ak2ak1直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选 D.Sk2Sk ak2ak1 2a1(2k 1)d 2(2k 1)2 24 k 5.（7）设函数f(x)cosx(0)，将y f(x)的图像向右平移19所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）个单位长度后，31（B）3（C）6（D）93【思路点拨】此题理解好
5、三角函数周期的概念至关重要，将y f(x)的图像向右平个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。332k(k Z),解得 6k，令k 1，即得min 6.【精讲精析】选C.由题3移(8)已知直二面角l，点A，AC l,C为垂足，点B，BD l,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD=（A）2（B）3（C）2（D）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形40中求解即可。【精讲精析】选C.在平面内过 C 作CM/BD，连接BM，则四边形CMBD 是平行四边形，因为BD l，所以CM l，又AC l,ACM就是二面角l 的平面角。AC
6、M 90.所以AB2 AM2MB2 AC2 BD2CD2,代入后不难求出CD 2。(9)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有(A)12 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2 人选修课程甲，第二步再把剩余两45人分别选乙、丙.2【精讲精析】选 A.第一步选出 2 人选修课程甲有C4 6种方法，第二步安排剩余两2人从乙、丙中各选1 门课程有A2 2种选法，根据分步计数原理，有62 12种选法。(10)设f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)=2x(1 x)，则f()
7、=(A)-6521111 (B)(C)(D)4242【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量上进行求值。【精讲精析】选 A.5转化到区间0,12先利用周期性，再利用奇偶性得:f()f()f()5212121.2(11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2=(A)4 (B)4 2 (C)8 (D)8 2【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x 上并且在第一象限是解决这个问题42的关键。【精讲精析】选D.由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a0),则a(a 4)2(a 1)2,求出 a=1,a=9.所以C1
8、(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出C1C28 2.(12)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成60二面角的平面截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选 B.42作示意图如，由圆 M 的面积为 4，易得0MA 2,OM OA2MA2 2 3，RtOMN中，OMN 30。故MN OM cos30 3,S 32 9.(13)(1-x)的二项展开式中，x 的系数与 x 的系数之差为:.209rnr【思路点拨】解本题一个掌握展开式的
9、通项公式，另一个要注意Cn.Cn45218r【精讲精析】0.由Tr1C20,x 的系数为C20,而(x)20得x的系数为C209182.C20C20(14)已知 a(，173)，tan=2，则 cos=.2【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。【精讲精析】3515由 a(，)，tan=2 得cos.2555（15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为C1D1的中点，则异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解本题的关键。只要在平面 A1B1C1D139内过 E 作
10、及 B1C1的平行线即可。【精讲精析】2取 A1B1的中点 M 连接 EM，AM，AE，则AEM就是异面直线 AE 与3223252。BC 所成的角。在AEM中，cosAEM 2233x2y2(15)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1 的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为279(2，0)，AM 为F1AF2的平分线则|AF2|=.33【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：|AF2|MF2|1,|AF1|AF2|2a 6,故|AF2|6.|AF1|MF1|2(17)(本小题满分 l0 分)(注意：在试题卷上作答无效)设等比数列an的前n项
11、和为Sn,已知a2 6,6a1a330,求an和Sn.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比 q 的方程，求出a1和 q，然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可。12a1q 6【精讲精析】设an的公比为 q,由题设得6a a q 3011解得a1 3a1 2或，q 2q 3n1当a13,q 2时，an32当a1 2,q 3时，an 23,Sn3(2n1)n1,Sn3n1.（18）(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)21 ABC的 内 角A、B、C的 对 边 分 别 为a、b、c.己 知asin Acsin C 2asinC bsin B.()
12、求 B；（）若A 750,b 2,求a，c.【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。【精讲精析】(I)由正弦定理得a c 2ac b由余弦定理得b a c 2accosB。故cosB 2222222，因此B 45。2（II）sin Asin(30 45)sin30 cos45 cos30 sin452 64故a bsin A2 613sinB2c bsinCsin60 26.sin Bsin45(19)(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概
13、率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（）求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.46【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1 位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。(II)第（II）问，关键是求出“该地的1 位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助 n 次独立重复试验发生 k 次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记 A 表示事件：该地的
14、 1 位车主购买甲种保险：B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种；D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+BP(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(II)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,2P(E)=C30.20.82 0.384.(20）(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)如 图，四 棱 锥S ABCD中，ABCD,BC
15、 CD，侧面SAB为等边三角形.AB BC 2,CD SD 1.(I)(II)证明：SD 平面SAB求 AB 与平面 SBC 所成角的大小。S SD DC C【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这个条件，找出 AB 的中点A AB BE，连结 SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。39(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB 平行的其它线进行转移求解。【精讲精析】证明：（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2。连结 SE，则SE AB,SE 3又 SD=1，故ED SE SD所以DSE为直角。由AB DE,AB S
16、E,DE222S SSE E，得D DF FA AE EH HG GB BC CAB 平面SDE,所以AB SD.SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。所以SD 平面SAB（II）由AB 平面SDE知，平面ABCD 平面SDE作SF DE，垂足为 F，则SF 平面ABCD,SF 作FG BC，垂足为 G，则 FG=DC=1。连结 SG，则SG BC又FG BC，SGSDSE3DE2FG G,故BC 平面SFG,平面SBC 平面SFG，作FH SG，H 为垂足，则FH 平面SBC.FH SFFG3SG721。721。7即 F 到平面 SBC 的距离为由于 ED/BC，所以 ED/平面 SBC
17、，E 到平面 SBC 的距离 d 也为设 AB 与平面 SBC 所成的角为，则sin解法二：d2121,arcsin.EB77以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 C-xyz,设 D（1，0，0），则 A（2，2，0），B（0，2，0）。又设 S（x,y,z），则 x0,y0,z0.(I)AS (x2,y2,z),BS (x,y2,z),DS (x1,y,z)222由|AS|BS|(x 2)(y 2)zx2(y 2)2 z2得故 x=1.由|DS|1得y z 1，又由|BS|2得，x(y2)z 422222即y2 z24y1 0，故y 13。,z 22于是
18、S(1,13333313),AS (1,),BS (1,),DS (0,)，22222222DSAS 0,DSBS 0故DS AS,DS BS，又AS所以SD 平面SAB.（II）设平面 SBC 的法向量a (m,n,p)，则a BS,a CB,aBS 0,aCB 0,BS S又BS (1,33),CB (0,2,0)2233p 0mn故222n 0取p 2得a (3,0,2)，又AB (2,0,0)cos AB,a ABa21.7|AB|a|21.7故 AB 与平面 SBC 所成的角为arcsin（21）(本小题满分 l2 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数f(x)x33ax2(36a
19、)x+12a4aR()证明：曲线y f(x)在x 0处的切线过点（2，2）；53（）若f(x)在x x0处取得最小值，x0求 a 的取值范围。（1，3），【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程f(x)0的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I）f(x)3x26ax36a.由f(0)12a4,f(0)36a得曲线y f(x)在 x=0 处的切线方程为y (36a)x12a4由此知曲线y f(x)在 x=0 处的切线过点（2，2）。（II）由f(x)0得x 2ax12a 0（i）当 2 1 a 2 1时，f
20、(x)没有极小值；(ii)当a 22 1或a 2 1时，由f(x)0得x1 a a2 2a 1,x2 a a2 2a 1故x0 x2。由题设知1 aa22a13，当a 2 1时，不等式1 aa22a13无解；5 a 2 12当a 2 1时，解不等式1 aa22a13得综合(i)(ii)得a的取值范围是(5,2 1)。22y21在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且（21）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆C:x 2斜率为-2的直线l与 C 交与 A、B 两点，点P 满足OAOBOP 0.()证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四35点在同一圆上
21、.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把OAOBOP 0.用坐标表示后求出 P 点的坐标，然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、B 两点的横坐标表示出来。从而求出点P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明APB,AQB互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N，然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可.【精讲精析】(I)设A(x1,y1),B(x2,y2)y21
22、联立得4x22 2x1 0直线l:y 2x1，与x 22x16 26 2,x24421,x1x2 24x1 x2由OAOBOP 0.得P(x1 x2),(y1 y2)(x1 x2)2,2(y1 y2)(2x11 2x21)2(x1 x2)2 122(1)2()122所以点 P 在 C 上。（II）法一：tanAPB kPAkPB1kPAkPBy1(1)y(1)222x1()x2()22y(1)y(1)11222x1()x2()223(x2 x1)4(x2 x1)33 293x1x2(x1 x2)22同理tanAQB kQBkQA1kQAkQBy21y1122x2x1()22y21y11122x
23、2x1()22(x1 x2)4(x2 x1)3213x1x2(x1 x2)22所以APB,AQB互补，因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。法二：由P(22,1)和题设知，Q(,1),PQ 的垂直平分线l1的方程为22y 2x22 121,)，AB 的垂直平分线l2的方程为y x42242 1,)88设 AB 的中点为 M，则M(由得l1、l2的交点为N(|NP|(22213 11,)(1)228883 22|AB|1(2)2|x2 x1|AM|3 22221123 3,|MN|(,)()4482883 118|NA|AM|2|MN|2故|NP|NA|.|NP|NQ|,|NA|NB|所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上.