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1、20132013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷福建卷)第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 福建，文 1)复数 z12i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：答案：C解析：解析：在复平面内，z12i 对应点的坐标为(1，2)，故选 C.2(2013 福建，文 2)设点 P(x，y)，则“x2 且 y1”是“点 P 在直线 l：xy10 上”的()A充分而不必要条件
2、B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：答案：A解析：点(2，1)在直线 l：xy10 上，而直线l 上的点的坐标不一定为(2，1)，故“x2 且 y1”是“点 P 在直线 l 上”的充分而不必要条件3(2013 福建，文 3)若集合 A1,2,3，B1,3,4，则 AB 的子集个数为()A2B3C4D16答案：答案：C解析：解析：由题知 AB1,3，故它的子集个数为 224.4(2013 福建，文 4)双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于()A12BC1D222答案：答案：B解析：x2y21 的渐近线方程为 yx，顶点坐标为(1,0)，点(1,0)到 yx 的距
3、离为|1|122.225(2013 福建，文 5)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是()答案：答案：A解析：解析：由 f(0)0 可知函数图象经过原点又 f(x)f(x)，所以函数图象关于 y 轴对称，故选 A.x y 2,6(2013 福建，文 6)若变量 x，y 满足约束条件x 1,则 z2xy 的最大值和最小值分别为()y 0,A4 和 3B4 和 2C3 和 2D2 和 0答案：答案：B解析：解析：画出可行域如下图阴影部分所示画出直线 2xy0，并向可行域方向移动，当直线经过点(1,0)时，z 取最小值当直线经过点(2,0)时，z 取最大值故 zmax2204，zmin2102.
4、7(2013 福建，文 7)若 2x2y1，则 xy 的取值范围是()A0,2B2,0C2，)D(，2答案：答案：D解析：解析：2x2y12 2xy，212xy，即 2xy22.2xy2.8(2013 福建，文 8)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序如果输入某个正整数n 后，输出的 S(10,20)，那么 n 的值为()A3B4C5D6答案：答案：B解析：解析：若 n3，则输出 S7；若 n4，则输出 S15，符合题意故选 B.9(2013 福建，文 9)将函数 f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数22g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P0,A
5、3，则 的值可以是()255BCD3626答案：答案：B解析：解析：f(x)的图象经过点0,sin 3，23.2 又,，.32 2f(x)sin2x.3由题知 g(x)f(x)sin2x，33又图象经过点0,2，g(0)sin2当3.3253时满足 g(0)，故选 B.6210(2013 福建，文 10)在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A5B2 5C5D10答案：答案：CBD41220，解析：解析：ACACBD.S四边形 ABCD11222|AC|BD|12 4 2 5.22536411(2013 福建，文 11)已知 x 与 y 之间的几组数据如
6、下表：x1234y0213假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y bxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 ybxa，则以下结论正确的是()Abb，aaBbb，aaCbb，aaDbb，aa答案：答案：C解析：解析：x 1234567，6202133413y，66b x y nx yiii1nnxi12inx25，71a y bx ，320b2b，a2a.2112(2013 福建，文 12)设函数 f(x)的定义域为 R R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR R，f(x)f(x0)Bx0是 f(x)的极小值点Cx0是f(x
7、)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案：答案：D解析：由函数极大值的概念知 A 错误；因为函数 f(x)的图象与 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以x0是 f(x)的极大值点B 选项错误；因为 f(x)的图象与f(x)的图象关于 x 轴对称，所以 x0 是f(x)的极小值点故C 选项错误；因为f(x)的图象与f(x)的图象关于原点成中心对称，所以x0 是f(x)的极小值点故 D 正确第卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置2x3,x 0,13(2013 福建，文 13)已知函数 f(x)则tanx,0 x,2答案：答
8、案：2解析：解析：fff_.4 tan 1，44fff(1)2(1)32.414(2013 福建，文 14)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_答案：答案：131.3解析：解析：由 3a10，得 a0a1，0a1.311根据几何概型知所求概率为3.132xy215(2013 福建，文 15)椭圆：221(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y3(xabc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案：答案：31解析：解析：由 y3(xc)知直线的倾斜角为 60，MF1F260，MF2F130.F
9、1MF290.MF1c，MF23c.又 MF1MF22a，c3c2a，即e 23 1.3 116(2013 福建，文 16)设 S，T 是 R R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到 T 的函数 yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3 对集合：AN N，BN N*；Ax|1x3，Bx|8x10；Ax|0 x1，BR R.其中，“保序同构”的集合对的序号是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案：答案：解析：若 yx1 是从 A 到 B 的一个函数，且 xA，则满足()Bf(x)|
10、xA又 f(x)x1 是单调递增的，所以也满足()；9797若 f(x)2x2时，满足()Bf(x)|xA，又 f(x)2x2是单调递增的，所以也满足()；1 1y tanxfx tanx2(0 x1)时，满足()Bf(x)|xA又2在(0,1)上 若是单调递增的，所以也满足()故填.三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 福建，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列an的公差 d1，前 n 项和为 Sn.(1)若 1，a1，a3成等比数列，求 a1；(2)若 S5a1a9，求 a1的取值范围解：(1)因为数列an的公差 d1，且
11、 1，a1，a3成等比数列，所以 a121(a12)，即 a12a120，解得 a11 或 a12.(2)因为数列an的公差 d1，且 S5a1a9，所以 5a110a128a1，即 a123a1100，解得5a12.18(2013 福建，文18)(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥PABCD 中，PD平面 ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥 PABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC；(3)求三棱锥 DPBC 的体积解法一：(1)在梯形 ABC
12、D 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E，由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AECD3，在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依勾股定理得 BE3，从而 AB6.又由 PD平面 ABCD 得，PDAD，从而在 RtPDA 中，由 AD4，PAD60，得 PD4 3.正视图如图所示：正视图(2)取 PB 中点 N，连结 MN，CN.在PAB 中，M 是 PA 中点，MNAB，MN1AB3.2又 CDAB，CD3，MNCD，MNCD.四边形 MNCD 为平行四边形DMCN.又 DM平面 PBC，CN平面 PBC，DM平面 PBC.(3)VDPBCVPDBC1SDBCPD，3又 SDBC6，P
13、D4 3，所以 VDPBC8 3.解法二：(1)同解法一(2)取 AB 的中点 E，连结 ME，DE.在梯形 ABCD 中，BECD，且 BECD，四边形 BCDE 为平行四边形DEBC.又 DE平面 PBC，BC平面 PBC，DE平面 PBC.又在PAB 中，MEPB，ME平面 PBC，PB平面 PBC，ME平面 PBC.又 DEMEE，平面 DME平面 PBC.又 DM平面 DME，DM平面 PBC.(3)同解法一19(2013 福建，文 19)(本小题满分 12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名，25 周岁以下工人200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄
14、有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5 组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图25 周岁以上组25 周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人
15、所在的年龄组有关”？nn11n22n12n212附：n1n2n1n22P(2k)k20.1002.7060.0503.8410.0106.6350.00110.828n(ad bc)2(注：此公式也可以写成K)(ab)(c+d)(a+c)(b+d)解：(1)由已知得，样本中有25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中，25 周岁以上组工人有 600.053(人)，记为 A1，A2，A3；25 周岁以下组工人有 400.052(人)，记为 B1，B2.从中随机抽取 2 名工人，所有的可能结果共有10 种，它们是：(A1，A2)，
16、(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，7B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率 P10.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100 名工人中，“25 周岁以上组”中的生产能手 600.2515(人)，“25 周岁以下组”中的生产能手 400.37515(人)，据此可得 22 列联表如下：生产能非生产能合手手计25 周岁以上组15456
17、025 周岁以下组15254010合计30700nad bc21001525154522560403070所以得 K2abcdacbd141.79.因为 1.792.706，所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20(2013 福建，文 20)(本小题满分 12 分)如图，抛物线 E：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N.(1)若点 C 的纵坐标为 2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆 C 的半径解：(1)抛物线 y24x 的准
18、线 l 的方程为 x1.由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为(1,2)，所以点 C 到准线 l 的距离 d2，又|CO|5，22所以|MN|2|CO|d 2 542.y02y02y04y02222(2)设 Cy0，即 x xy22y0y0.,y0，则圆 C 的方程为x(yy0)416242y由 x1，得 y22y0y100，2设 M(1，y1)，N(1，y2)，2y0222 4y041 2y04 0,2则2y0y y 1.122由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，y02所以14，解得y0 6，此时 0.2 3 3所以圆心 C 的坐标为,6或,6.22333333从而|CO|2
19、，|CO|，即圆 C 的半径为.42221(2013 福建，文 21)(本小题满分 12 分)如图，在等腰直角OPQ 中，POQ90，OP2 2，点 M在线段 PQ 上(1)若 OM5，求 PM 的长；(2)若点 N 在线段 MQ 上，且MON30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值解：(1)在OMP 中，OPM45，OM5，OP2 2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos 45，得 MP24MP30，解得 MP1 或 MP3.(2)设POM，060，在OMP 中，由正弦定理，得OMOPsinOPMsinOMP，OPsin45所以 OMsin45.OPs
20、in45同理 ONsin75.1故 SOMN2OMONsinMON1OP2sin2454sin45sin751sin45sin4530131sin45sin(45)cos(45)221321sin(45)sin(45)cos(45)221311cos(902)sin(902441331sin2cos2444131sin23024.因为 060，30230150，所以当 30时，sin(230)的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值，即POM30时，OMN 的面积的最小值为84 3.22(2013 福建，文 22)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)x1a(aR，e 为自然对数的底数
21、)ex(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值；(3)当 a1 时，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点，求 k 的最大值解法一：(1)由 f(x)x1aa，得 f(x)1，exex又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，得 f(1)0，即 1(2)f(x)1a0，解得 ae.ea，xe当 a0 时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，xln a.x(，ln a)，f(x)0；x(ln a，)，f(x)0，所以 f(x)在(，
22、ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值(3)当 a1 时，f(x)x11.xe令 g(x)f(x)(kx1)(1k)x1，ex则直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点，等价于方程g(x)0 在 R R 上没有实数解假设 k1，此时 g(0)10，g11 10，1k 1ek1又函数 g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知 g(x)0 在 R 上至少有一解，与“方程 g(x)0
23、 在 R上没有实数解”矛盾，故 k1.又 k1 时，g(x)10，知方程 g(x)0 在 R R 上没有实数解ex所以 k 的最大值为 1.解法二：(1)(2)同解法一(3)当 a1 时，f(x)x11.ex1在 R R 上没有实数xe直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)没有公共点，等价于关于x 的方程 kx1x1解，即关于 x 的方程：(k1)x在 R R 上没有实数解1(*)ex1 0，在 R R 上没有实数解xe1当 k1 时，方程(*)化为xex.k 1当 k1 时，方程(*)可化为令 g(x)xex，则有 g(x)(1x)ex.令 g(x)0，得 x1，当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：xg(x)g(x)当 x1 时，g(x)min(，1)10(1，)1e1，同时当 x 趋于时，g(x)趋于，e 1e11所以当,时，方程(*)无实数解，解得 k 的取值范围是(1e,1)k 1e从而 g(x)的取值范围为,.综上，得 k 的最大值为 1.